第二十二章 二次函数（知识归纳+题型突破）（八大题型100题）（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第二十二章二次函数（知识归纳+题型突破）1、会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；2、会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图；通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系；3、会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题；4、知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求-元二次方程的近似解。知识点1：二次函数的概念及解析式1.二次函数的定义y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.知识点2：二次函数的图像和性质2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.3.二次函数的图象和性质图象开口向上向下对称轴x＝顶点坐标增减性当x>时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小.当x>时，y随x的增大而减小；当x＜时，y随x的增大而增大.最值x=，y最小＝.x=，y最大＝.3.系数a、b、c的作用a决定抛物线的开口方向及开口大小当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下.b决定对称轴（x=-b/2a）的位置当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时，-b/2a=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．c决定抛物线与y轴的交点的位置当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b2－4ac决定抛物线与x轴的交点个数b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点知识点3：二次函数的平移4.平移与解析式的关系注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分）题型一二次函数图象与各项系数符号【例1】二次函数图象如图，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）

A．②③④ B．①②④ C．②③ D．①②③④【答案】C【分析】由二次函数图象可知，，，即可判断①；由二次函数的对称轴为直线即可判断②；将代入即可判断③；将代入即可判断④．【详解】解：①∵开口向下，∴，∵对称轴为∴，∵二次函数图象与y轴交于正半轴∴∴，故①错误；∵对称轴为∴，即，故②正确；由图象可得，当时，，故③正确；由图象可得，当时，，故④错误．综上所述，正确的有②③．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．巩固训练：1．（2023·全国·九年级专题练习）二次函数的图象如图所示，则下列各式正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由图知，，对称轴，得，，；时，；时，，变形求解．【详解】由图知，，对称轴，得，，，故A选项错误，D选项错误；时，，故B错误；时，，得，故C正确；故选：C．【点睛】本题考查二次函数的解析式，图象性质，运用数形结合思想，将图象信息转化为数量信息是解题的关键．2．（2022秋·山西朔州·九年级校考阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，则0（填“”“”“”）

【答案】【分析】分别根据开口方向，与y轴交点，对称轴的位置，可判断出a，b，c的符号，即可得解．【详解】解：由图可知：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，∴，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，准确读图．3．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于，B两点，下列判断正确的是（

）

A． B．当时，y随x的增大而减小C．点B的坐标为 D．【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：A、抛物线开口向下，，选项错误，不符合题意；B、，对称轴为，当时，y随x的增大而减小，选项错误，不符合题意；C、∵抛物线与x轴交于，对称轴为，∴点B的坐标为，选项正确，符合题意；D、∵抛物线与x轴交于，∴，∴，∴，故选项D错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．4．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论：①；②；③；④若m为任意实数，则，其中正确的是（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】根据抛物线的开口方向，判定；对称轴的位置，判定；抛物线与y轴的交点，判定，从而判定；根据对称轴是直线，确定；根据，得，求出点B的坐标，从而得到，确定，可以判定②③；计算函数的最小值为：，从而得到，代入化简，判定④．【详解】解：因为抛物线的开口方向，所以；因为对称轴是直线，所以，；因为抛物线与y轴的交点位于负半轴，所以，所以；故①错误；因为，

所以，，所以，即，所以，所以，所以，即②正确；所以，即③正确；根据题意，得抛物线有最小值，且最小值为：，所以，所以，所以，所以，④正确．故选B．【点睛】本题考查了抛物线的图像及其性质、对称轴、最值、抛物线与x轴的交点坐标等知识点，熟练掌握抛物线的性质，特别是对称性和最值是解题的关键．5．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）已知二次函数的图象如图所示且过，有以下结论：①；②；③；④；⑤．⑥若实数则；其中正确结论的个数是（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由抛物线对称轴是直线，即得出，整理得：，可判断④；由图象开口向下，与y轴交于正半轴，可确定，即可判断①；根据当时，即可判断②；根据当时，，即可判断③；由，即可判断⑤，由对称轴是直线和定点坐标可判断⑥．【详解】解：由图可知，抛物线对称轴是直线，∴，即，故④错误；∵抛物线开口向下，∴，∴．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴，∴，故①错误；由图象经过点可得：，故②错误；∵抛物线对称轴是直线，∴和时，函数值相等．∵时，，∴，故③正确；∵，，∴，即，故⑤错误；当时，，即为最高点，二次函数的最大值为，∴，又，∴，即，故⑥正确；综上可知正确的只有③⑥，2个．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．6．（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④．正确结论的个数为（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①，由开口方向和对称轴以及根据抛物线时的函数的取值即可判断②，根据抛物线时的函数的取值即可判断③，根据抛物线时的函数的取值即可判断④；【详解】∵对称轴为直线∴，①正确；∵抛物线开口向上，与轴的交点在轴下方由题意可知时，②正确；由题意可知时，若则时，二次函数取得最小值，③正确；由题意可知时，，④正确；正确的是：①②③④故选：D【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．7．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）某足球队在某次训练中，一队员在距离球门处挑射，正好射中了高的球门横梁．若足球运动的路线是抛物线，如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（

）

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】C【分析】根据二次函数的性质得出a，b的符号，再利用图上点的坐标得出a，b关系，进一步即可作出判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，即，∴，，由抛物线过点，，代入得：，得，，而，解得：，故此选项①正确，②错误；，∵，∴，∴，故③错误；由图象可知，抛物线的对称轴的横坐标小于6即，∵∴，∴，故此选项④正确；综上可知，①④正确，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意得出图象上的点进而得出a，b的关系是解决问题的关键．8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，，∵抛物线的对称轴为直线，∴，即，即②错误；∴，即①正确，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，即，故③正确；∵关于x的一元二次方程，，，∴，，∴无法判断的正负，即无法确定关于x的一元二次方程的根的情况，故④错误；∵∴点，关于直线对称∵点，均在该二次函数图像上，∴，即⑤正确；综上，正确的为①③⑤，共3个故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．9．（2023·山东泰安·校考三模）如图是二次函数图象的一部分，函数图象经过点，直线是对称轴，有下列结论：①；②；③若是抛物线上两点，则；④；其中正确结论有（

）个．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据对称轴为求出，即可判定①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，即可判断②；根据二次函数开口向下，离对称轴越远函数值越大即可判断③；求出，结合即可判断④．【详解】解：二次函数对称轴为直线，，即，故①正确；二次函数经过，二次函数与轴的另一个交点坐标为，当时，，故②正确；抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，是抛物线上两点，，且，，故③正确；，，，即，故④正确；故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③，是抛物线上两点，则；④若关于x的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与轴轴的交点，综合判断即可．【详解】解：抛物线开口向上，则，对称轴，则，，，所以①正确；抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，于是有，联立，解得，，所以②正确；抛物线的解析式为，，是抛物线上两点，，，即，所以③错误；若关于x的一元二次方程没有实数根，，，，，，所以④正确；抛物线与轴有两个不同交点，因此关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④正确；对于任意实数m，总有故⑤正确．综上所述，正确的结论有：①②④⑤．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．11．（2020秋·广东广州·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，正确的结论有．

【答案】②③④【分析】利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴得到，则可对①③进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的一个交点坐标为，再根据二次函数的图象可对④进行判断．【详解】解：抛物线开口向上，，抛物线的对称轴为直线，，所以①错误，，所以③正确；抛物线的对称轴为直线，当和时，函数值相等，所以②正确；抛物线与轴的一个交点坐标为，而抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，当时，，所以④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是利用图象进行分析，得到相应系数的符号．12．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④已知、在该二次函数图像上，当且时，都有．其中正确的结论有．（填序号）

【答案】①③④【分析】根据开口方向、与y轴的交点、对称轴即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据图象过点得到，由得到，则，即可判断③；分三种情况根据二次函数的性质即可判断④．【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴，，∵对称轴为直线，即，∴，∴，故①正确；∵图象过点，对称轴为直线，∴当时，，即，则，故②错误；∵图象过点，∴，∵，∴，即，∴，故③正确；当时，，不符合题意，当时，∵，∴，∵抛物线开口向下，∴，当时，，∵当时，y随x的增大而减小，∴，故④正确；正确的结论有①③④，故答案为：①③④【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象和性质判断式子的符号，比较函数值的大小等知识，数形结合是解题的关键．13．（2023·辽宁朝阳·校联考三模）如图，已知抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴的负半轴交于点C，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有．

【答案】②③④【分析】由图，，，，得，推知；由知，代入，得，化简得；将代入得，，由对称轴得，解得；将代入得．【详解】解：由图，，，，∴∴，，故①错误；，由知，代入，得，，化简得，，故②正确；将代入得，，对称轴，得，代入上式得，，解得，故③正确；将代入得，故④正确；综上分析可知，正确的是②③④.故答案为：②③④.【点睛】本题考查二次函数图象性质，运用数形结合思想，理解图象与方程的联系是解题的关键．题型二二次函数对称性应用【例2】（2023·陕西西安·校考二模）已知抛物线过不同的两点和，若点在这条抛物线上，则的值为（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】根据对称性可得，代入解方程即可求解．【详解】解：∵抛物线，对称轴为直线，又抛物线过不同的两点和，∴，∴即，代入解析式，得，解得：或，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【例3】（2023·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、．(1)求抛物线的表达式；(2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题．（2）根据二次函数图象的对称性求得的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得的坐标．【详解】（1）解：由题意得，，，．，．这个抛物线的表达式为．（2）由（1）得，．该抛物线的对称轴是直线．点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，点的横坐标为，的横坐标是4．当时，．．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．巩固训练1．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）若抛物线上的，Q两点关于直线对称，则Q点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，因为抛物线上的，Q两点关于直线对称，故，，则，即可知道Q点的坐标．【详解】解：依题意，设，因为抛物线上的，Q两点关于直线对称，所以，，即，那么Q点的坐标为，故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次函数图象的点的坐标以及二次函数图象的对称性等知识内容，经过函数的某点一定在函数的图象上．2．（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分和两种情况根据二次函数的对称性确定出与的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．【详解】解：∵∴令，即∴解得或∴二次函数与x轴的交点为和∴二次函数的对称轴为，①当时，二次函数图象开口向上，∵，∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，∴，即，∴，无法确定的正负情况，②时，二次函数图象开口向下，∵，如图，∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，∴，即，∴，无法确定的正负情况，综上所述，正确的是．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数a的正负情况分情况讨论．3．（2023·江苏南通·统考一模）抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征得出的取值范围．【详解】解：抛物线顶点坐标为，抛物线对称轴为，抛物线经过点和，，，，故选：．【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，准确找到对称轴，利用对称轴表示出是解答本题的关键．4．（2023·浙江宁波·校考二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线，根据，，设的对称点为，得出，则在对称轴右侧，随的增大而减小，则当时，．【详解】解：∵，∴，∴当时，有最大值为，∴抛物线开口向下，∵抛物线对称轴为直线，设的对称点为，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小．5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则抛物线上的点在抛物线上的对应点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在抛物线上取两点，根据对称性求出对应坐标，代入抛物线中计算出的值即可．【详解】∵抛物线：∴抛物线过，，∵抛物线：与抛物线：关于直线对称，∴抛物线：过，，代入可得，解得，∴点∴抛物线上的点在抛物线上的对应点的坐标是，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据对称性求出的值是解题的关键．6．（2023·全国·九年级假期作业）已知点、、在二次函数的图象，且C为抛物线的顶点．若，则n的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由抛物线顶点为最高点可得抛物线开口向下，由抛物线解析式可得抛物线对称轴，求出点，关于对称轴对称时的值，结合抛物线开口方向求解．【详解】解：点为抛物线顶点，，抛物线开口向下，顶点为最高点，，抛物线对称轴为直线，当点，关于抛物线对称轴对称时，，解得，，，故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，正确理解题意得到抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大是解题的关键．7．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）已知二次函数图像经过点和，那么该二次函数图象的对称轴是直线．【答案】【分析】根据抛物线的对称性可知：点和关于抛物线的对称轴对称，从而求出结论．【详解】解：∵二次函数图像经过点和，∴该二次函数图像的对称轴是直线故答案为：．【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，求抛物线对称轴是解题关键．8．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）抛物线经过和两点，则a值为．【答案】3【分析】由抛物线的对称轴公式建立方程求解即可．【详解】解：∵抛物线经过和两点，∴对称轴为：直线，解得：，故答案为：3【点睛】本题考查的是利用抛物线的对称轴公式求解，熟练的求解抛物线的对称轴是解本题的关键．9．（2023·浙江·九年级假期作业）如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是．【答案】/【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，关于称轴是直线的对称点是，，．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．10．（2023·上海·一模）二次函数图像上部分点的坐标满足如表：x……y……那么m的值为．【答案】【分析】根据二次函数的对称性解答即可．【详解】解：、时的函数值相等都是，函数图像的对称轴为直线和也关于直线对称，当和时的函数值也相等，，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．11．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．(1)若对于，有，求的值；(2)若对于，，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；（2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解．【详解】（1）解：∵对于，有，∴抛物线的对称轴为直线，∵抛物线的对称轴为．∴；（2）解：∵当，，∴，，∵，，∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，∴，即．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．12．（2023秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．

(1)求抛物线的对称轴及值；(2)抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标；(3)点是抛物线上一动点，且在第三象限，当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积．【答案】(1)(2)(3)，最大，最大值为【分析】（1）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线，将点代入解析式，待定系数法即可求解；（2）连接，交对称轴于点，根据两点之间，线段最短可得点即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解；（3）连接，如图1，设点坐标为，根据，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，把代入得，；（2）连接，交对称轴于点，∵两点之间，线段最短，∴的最小值为的长，则点即为所求

对于，令，则，解得，，点坐标为，点坐标为，设直线的关系式为：，把，代入得，解得，直线的关系式为，当时，，点坐标为；（3）连接，如图1，设点坐标为，

，当时，最大，最大值为．【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13．（2023·山东临沂·统考二模）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．

(1)求抛物线的解析式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形的面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，直接写出P点坐标．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）将、代入，求解可得坐标，根据二次函数的性质可得点坐标，设抛物线的表达式为，将代入求值，最后代入化简成一般式即可；（2）如图1，过作于F，交于E，，，则，，根据二次函数的性质求解即可；（3）线段与对称轴的交点即为使的值最小的点P，将代入直线的解析式即可求出点P的纵坐标，从而得解．【详解】（1）解：将代入得，，∴，将代入得，解得，∴，∵对称轴为直线，∴，设抛物线的表达式为，将代入得，，解得，∴，∴抛物线的表达式为；（2）解：如图1，过作于F，交于E，

∴，，则，∵，∴当时，四边形面积最大，值为；将代入得，，∴，∴四边形面积S的最大值为，此时D点的坐标为．（3）∵点A与点B关于对称轴直线，∴当点P是线段与对称轴的交点时，的值最小，标记点P如下，连接，

将代入直线的解析式可得：，∴【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数与面积综合，线段和最小问题(将军饮马问题)．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．题型三二次函数图象的综合问题【例4】（2023·全国·九年级专题练习）在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是(

)A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨的情况，即可求出答案.【详解】解：二次函数为，，二次函数的开口方向向上，排除C选项.一次函数，，一次函数经过轴正半轴，排除A选项.当时，则，一次函数经过一、二、四象限，二次函数经过轴正半轴，排除B选项.当时，则一次函数经过一、二、三象限，二次函数经过轴负半轴，D选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系.【例5】（2023春·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．【详解】解：设，，由图像知，，，，，，，，∴，∵函数的图像开口大于函数的图像开口，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意；B．图像开口向上，故此选项不符合题意；C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意；D．图像开口向上，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小．巩固训练1．（2023·全国·九年级专题练习）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据一次函数与二次函数的性质判断即可．【详解】解：∵，∴经过一、三象限；当时，二次函数开口向上，与y轴的交点在负半轴上，当时，二次函数开口向下，与y轴的交点在正半轴上，∴只有选项C符合题意；故选：C．【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数图象的判断，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图是一次函数的图象，则二次函数的图象可能为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据一次函数图象确定，进而确定二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，由此即可得到答案．【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限且与y轴交于y轴的正半轴，∴，∴二次函数的图象的开口向上，∵二次函数的对称轴为直线，∴二次函数的对称轴在y轴左侧，∴四个选项中只有C选项中的函数图象符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确求出是解题的关键．3．（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）不经过第三象限，那么的图象大致为

（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】首先根据直线不经过第三象限判断出a、b的取值范围，再根据a的取值范围可判断出开口方向，再加上b的取值范围可判断出对称轴，最后根据判断出与y轴交点，进而可得答案．【详解】解：∵直线不经过第三象限，∴，，∴的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于，∴D符合．故选：D．【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数图象，关键是掌握一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．4．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）抛物线与直线同一坐标系的大致可能是（

）A． B． C．D．【答案】D【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中的正负情况，即可判断哪个选项是正确的；【详解】A、一次函数中，二次函数中，即，故选项A不符合题意；B、一次函数中，二次函数中，即，故选项B不符合题意；C、一次函数中，二次函数中，即，故选项C不符合题意；D、一次函数中，二次函数中，即故选项D符合题意；故选D【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，用数形结合的思想解答．5．（2023·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝．【详解】设A（m，m2），则B（m，m2），∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，∴C（2m，m2），D（m，m2），∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，.故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键．6．（2023春·广西南宁·八年级三美学校校考期末）记实数、，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为（

）A．－3 B．－2 C．2 D．3【答案】D【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，观察最大值的位置，通过求函数值，求出最大值．【详解】画出函数和的图象，如图：

由图可知：当时，函数有最大值，最大值为3，所以的最大值为3，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质和正比例函数的性质，画出函数的图象，数形结合容易求解．7．（2023·河南漯河·统考二模）已知二次函数图象的对称轴为直线，与y轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）．

(1)求该二次函数的表达式；(2)是x轴上方抛物线上的一动点，且与点不重合，设点的横坐标为，过点作轴，交于点，设的长为，当随的增大而减小时，求的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据对称轴求出，用待定系数法求出，即可求出二次函数的表达式．（2）①当点在点与点之间运动时，进而求解；②当点在点与点之间运动时，同理可解．【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴为直线，，解得：．由点的坐标知，．二次函数的表达式为．故答案为：．（2）解：令，即，解得：或4，点坐标为，点坐标为．，设直线的表达式为：，则，解得：，故直线AC的表达式为．点的横坐标为，点的纵坐标为．，在直线上，．①当点在抛物线上点与点之间运动时，，时，随的增大而减小，②当点在抛物线上点与点之间运动时，，，当，随的增大而减小，的取值范围为：或．故答案为：或．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质、待定系数法求函数表达式等，解题的关键是要注意分情况讨论．8．（2022春·九年级课时练习）已知抛物线与轴交于点，其关于轴对称的抛物线为：，且经过点和点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，抛物线与轴的交点记为点和点（在的右侧），与轴交于点，如果满足与相似，请求出平移后抛物线的表达式．【答案】（1）的解析式为；（2）平移后抛物线的表达式为或.【分析】（1）根据抛物线关于轴对称的原则可以得到均互为相反数，所以可以设：，同时经过点和点，那么也经过点和点，将这两点代入即可求解；（2）首先根据函数图像的平移原则，设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线，继而写出的解析式，然后分别求出点和点的坐标，再结合与相似，可得△DOQ为等腰直角三角形，利用坐标建立方程，求解即可.【详解】解：（1）抛物线和抛物线关于轴对称，且：，：，经过点和点，经过点和点，把点和点代入：可得：，解得：，：；（2）设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线，：，的解析式可以表示为：，抛物线与轴的交点为点和点，且在的右侧，，抛物线与轴交于点，，∵A（-3，0），C（0，3），∴△AOC为等腰直角三角形，∴当△AOC和△DOQ相似时，△DOQ为等腰直角三角形，∴OQ=OD，当点Q在y轴正半轴上时，OQ=OD=OA=OC，∴，解得：a=0（舍）或2，此时：；当点Q在y轴负半轴时，OD=OQ，则，解得：a=-1（舍）或4，此时：；综上：平移后抛物线W3的表达式为：或.【点睛】本题主要考查二次函数的图象变化，以及二次函数和相似三角形的存在性问题，熟练掌握二次函数的图象平移和对称变化规律，同时对相似三角形的存在性进行正确的分类讨论是求解本题的关键.题型四二次函数待定系数法【例7】（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）在直角坐标平面内，抛物线，经过点与点．求：(1)求抛物线的表达式；(2)写出该抛物线的顶点坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）把（1）中的解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标．【详解】（1）解：∵经过点与点∴解得：∴抛物线的表达式为：（2）∵∴该抛物线的顶点坐标为【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数关系式：要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【例8】（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）在直角坐标平面内，抛物线，经过点与点．求：(1)求抛物线的表达式；(2)写出该抛物线的顶点坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）把（1）中的解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标．【详解】（1）解：∵经过点与点∴解得：∴抛物线的表达式为：（2）∵∴该抛物线的顶点坐标为【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数关系式：要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．巩固训练1．（2020秋·广东惠州·九年级校考期中）抛物线的顶点在，且过点，则函数的关系式：．【答案】【分析】设抛物线解析式为，将点代入，即可求解．【详解】解：设抛物线解析式为，将点代入得，，解得：，∴抛物线解析式为，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）将抛物线沿轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是．【答案】【分析】根据点关于y轴对称时“纵坐标相等，横坐标互为相反数”，可得新抛物线的解析式．【详解】∵点关于y轴对称时“纵坐标相等，横坐标互为相反数”，∴沿轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是即．故答案为：．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．3．（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）一抛物线以为顶点，且经过点，求该抛物线的解析式及抛物线与y轴的交点坐标．【答案】抛物线的解析式为，抛物线与轴的交点坐标为【分析】设顶点式再代入计算即可．【详解】∵抛物线以为顶点，∴设抛物线的解析式为，将代入，得，解得，∴抛物线的解析式为，令，则，∴抛物线与轴的交点坐标为．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．4．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）已知二次函数的图象经过点，．(1)求这个函数的解析式；(2)求这条抛物线的顶点坐标．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）利用配方法计算坐标即可．【详解】（1）根据题意得，解得，∴二次函数解析式为；（2），，，∴抛物线的顶点坐标为．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线的顶点坐标，熟练掌握知识点且正确计算是解题的关键．5．（2020秋·广东广州·九年级校考期中）已知抛物线过点和，．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线的顶点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出函数的对称轴，得到，从而得到，再把代入抛物线可得，即可得到答案；（2）把函数解析式化成顶点式，再得出顶点坐标即可．【详解】（1）解：抛物线过点和，对称轴是直线，即，解得：，，抛物线过点，，解得：，抛物线的解析式为：；（2）解：，顶点坐标．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，把二次函数解析式化成顶点式，根据题意求出的值是解题的关键．6．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）关于的函数的图像是一条开口向上的抛物线，对称轴为直线，求这条抛物线的顶点坐标．【答案】【分析】根据二次函数的定义，求得的值，进而根据对称轴确定的值，进而化为顶点式，即可求解．【详解】解：∵关于的函数的图像是一条开口向上的抛物线，∴，即，且，解得：，或（舍去）∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，∴抛物线解析式为．∴抛物线的顶点坐标为．【点睛】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，化为顶点式，熟练掌握二次函数的定义以及二次函数的性质是解题的关键．7．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．(1)求抛物线的解析式．(2)拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，点的坐标为或【分析】（1）采用待定系数法，将点和点坐标直接代入抛物线，即可求得抛物线的解析式．（2）过线段的中点，且与平行的直线上的点与点，点连线组成的三角形的面积都等于，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答案．【详解】（1）解：因为抛物线经过点和点两点，所以，解得，所以抛物线解析式为：．（2）解：如图，设线段的中点为，可知点的坐标为，过点作与平行的直线，假设与抛物线交于点，（在的左边），（在图中未能显示）．设直线的函数解析式为．因为直线经过点和，所以，解得，所以，直线的函数解析式为：．

又，可设直线的函数解析式为，因为直线经过点，所以．解得．所以，直线的函数解析式为．根据题意可知，．又，所以，直线上任意一点与点，点连线组成的的面积都满足．所以，直线与抛物线的交点，即为所求，可得，化简，得，解得，所以，点的坐标为，点的坐标为．故答案为：存在，点的坐标为或．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程、一元一次方程等，灵活结合二次函数和一次函数图象特点是解题的关键．8．（2022秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点是抛物线的顶点，连接、，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，求得，，代入抛物线解析式即可求解；（2）根据抛物线解析式求得顶点的坐标，勾股定理求得的长，勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，当时，；当时，∴，；∵抛物线经过、两点，∴解得：∴抛物线解析式为；（2）解：∵∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，化为顶点式，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．9．（安徽省安庆市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．

(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点和点的坐标；(3)若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标．【答案】(1)；(2)，；(3)．【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据二次函数解析式求图象与交点坐标，顶点坐标即可，（3）设点坐标，然后根据数量关系列一元二次方程，求解即可．【详解】（1）解：由点和点得，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）由（1）得：，当时，，∴点，由，∴顶点；（3）设，，，∵，∴，∴，∴，解得：（不合题意，舍去），，∴点．【点睛】此题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用．10．（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，，点P是直线下方抛物线上的一个动点．过点P作轴，交直线于点E．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值是________；(3)求的最大值；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）先求出点C的坐标为，根据、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上，得出，根据，两点之间线段最短，当点A、M、C在同一直线上时，最小，即最小，求出最小值即可；（3）求出直线的解析式为，设，其中，则，求出，得出当时，取得最大值．【详解】（1）解：∵，，∴，，∴，，将点A，的坐标代入，得，解得：，∴．（2）解：把代入得：，∴点C的坐标为，∵、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上，∴，∴，∵两点之间线段最短，∴当点A、M、C在同一直线上时，最小，即最小，∴的最小值为的长，∵，∴的最小值为．故答案为：．

（3）解：设直线的解析式为，将点A，的坐标代入，得：，解得：，∴直线的解析式为，设，其中，则，∴，∴当时，取得最大值，即的最大值为．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．11．（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）已知：，是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点．

(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求的面积；(3)是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标．【答案】(1)(2)(3)点或【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的解，从而得到点的坐标，再代入抛物线解析式即可解答；（2）令抛物线解析式中，可求得点坐标，利用公式法求出顶点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为点，分别求出、梯形、的面积，利用=解答即可；（3）先利用待定系数法求得直线的解析式，再设直线与相交于点，点，则点，从而求得，最后分两种情况讨论①当时或②当时，分别计算解答即可．【详解】（1）解：，是方程的两个实数根，且，把点代入抛物线解析式得，解得，；（2）解：令如图，过点作轴的垂线，垂足为点，

=；（3）解：如图，

设直线的解析式为，代入点得，设直线与相交于点，点则点直线把分成面积之比为的两部分，分两种情况讨论：①当时（舍去）②当时综上所述，点或．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、配方法求二次函数顶点坐标、解析法求线段的长等知识，利用等高三角形面积比等于底边比，掌握相关知识是解题关键．题型五二次函数图象平移【例9】（2023秋·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的解析式（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据抛物线平移后的形状不变，即a不变；然后求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移的性质即可求出平移后的抛物线的顶点坐标即可确定解析式．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为：，∴抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的顶点坐标为：，∴所得新抛物线的解析式为：．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．巩固训练：1．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如果点在抛物线上，将此抛物线向右平移3个单位后，点同时平移到点，那么坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先把代入得，于是得到点坐标为，由于抛物线向右平移3个单位，则抛物线上所有点都右平移3个单位，然后根据点平移的规律可确定点坐标．【详解】解：把代入得，则点坐标为，把点向右平移3个单位后所得对应点的坐标为．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．2．（2023秋·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（

）A．抛物线开口方向向下 B．当时，函数有最大值C．当时，随的增大而减小 D．该抛物线可由经过平移得到【答案】B【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象的平移规律进行求解即可．【详解】解：∵二次函数解析式为中，，∴二次函数开口向下，对称轴为直线，故A结论正确，不符合题意；∴当时，函数有最大值，当时，随的增大而减小，故B结论错误，符合题意，C结论正确，不符合题意；抛物线向左移动3个单位长度，向下移动2个单位长度得到抛物线，故D结论正确，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象的平移，对于二次函数，当时，二次函数开口向上，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，当时，函数有最小值k；当时，二次函数开口向上，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，当时，函数有最大值k．3．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象关于x轴对称后，再向下平移2个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定二次函数的顶点坐标为，然后求得关于x轴对称的二次函数为，再利用点平移的规律得到平移后的顶点坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可．【详解】解：二次函数顶点坐标为，点关于x轴对称的点为，开口向下，∴二次函数的图象关于x轴对称的二次函数为，再向下平移2个单位长度的二次函数顶点为，∴将二次函数的图象关于x轴对称后，再向下平移2个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：关于x轴对称的二次函数，a互为相反数，由于抛物线平移后形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可以利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，掌握平移规律是解题的关键．4．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）若将抛物线所在的平面直角坐标系中的x轴向上平移1个单位，把y轴向右平移2个单位，则该抛物线在新的平面直角坐标系下的函数表达式为．【答案】【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】解：∵，∴顶点坐标为，将x轴向上平移1个单位长度，将y轴向右平移2个单位长度得到抛物线的顶点为，∴该抛物线在新平面直角坐标系中的函数解析式为．故答案为：．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握抛物线顶点平移的变化规律是解题的关键．5．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）点是抛物线：上一点，将抛物线平移，得到抛物线：，点P平移后的对应点为点，则点坐标为．【答案】【分析】根据顶点式得到平移规律，即可求解．【详解】解：将抛物线：平移，得到抛物线：，平移规律为向左平移4个单位，向下平移3个单位，则点平移后的对应点的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据二次函数图象的平移确定平移是解答此题的关键．6．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，求得到的新抛物线的解析式．【答案】【分析】先将抛物线化为顶点式，即，可得该抛物线的顶点坐标是，根据先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得平移后的抛物线的顶点坐标为，即可得．【详解】解：∵抛物线，∴该抛物线的顶点坐标是．∵抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为，∴得到的新抛物线的解析式是．【点睛】本题考查了图象的平移，解题的关键是掌握图象的平移．7．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）已知二次函数图像的对称轴为直线．(1)求a的值；(2)将该二次函数的图像沿x轴向右平移2个单位后得到一个新的二次函数，求新二次函数的解析式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对称轴列式求解即可解答；（2）将a的值代入，结合抛物线解析式求平移后图像所对应的二次函数的表达式即可．【详解】（1）解：∵二次函数图像的对称轴为直线∴，解得．（2）解：∵，∴，∴平移后为：．∴新二次函数的解析式为．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的平移等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．8．（2023·全国·九年级专题练习）已知一个二次函数的图像如图所示，将该函数图像先向左平移2个单位再向下平移1个单位得到新函数的图像，求出新函数的表达式．【答案】【分析】由图像可知该函数为二次函数，对称轴为直线且过点、．设该函数的表达式为，再建立方程组求解解析式，最后利用平移规则可得答案.【详解】解：由图像可知该函数为二次函数，对称轴为直线且过点、．设该函数的表达式为，把、代入得：，解得：，∴，把先向左平移2个单位再向下平移1个单位得，∴新函数的函数表达式为．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数图像的平移，掌握待定系数法是解本题的关键.9．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，二次函数的图像经过点，顶点坐标为．

(1)求这个二次函数的表达式；(2)当时，的取值范围为_______；(3)直接写出该二次函数的图像经过怎样的平移恰好过点，且与轴只有一个公共点．【答案】(1)(2)(3)该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好经过点，且与轴只有一个公共点【分析】（1）由题意设二次函数的顶点式，代入进行计算即可得到答案；（2）由函数表达式可知：二次函数的图象有最高点，对称轴是直线，从而可得此时的取值范围；（3）该二次函数的图象平移后的顶点在轴上，设它的表达式为，再把点代入，求出的值，即可得出结论．【详解】（1）解：二次函数的图像经过点，顶点坐标为，设这个二次函数的表达式为：，把代入得：，解得：，这个二次函数的表达式为：；（2）解：，二次函数的表达式为，二次函数的图象有最高点，对称轴是直线，当时，，当时，，的取值范围为：，故答案为：；（3）解：该二次函数的图象经过平移后，与轴只有一个公共点，该二次函数的图形平移后的顶点在轴上，设它的表达式为，该二次函数的图像经过怎样的平移恰好过点，，解得：，即该函数的图象平移后的表达式为：或，该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好经过点，且与轴只有一个公共点．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的函数值的取值范围、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与特征是解题的关键．题型六二次函数图象、方程与不等式【例10】（2022秋·河北保定·九年级校考阶段练习）根据下列表格对应值：判断关于x的方程的一个解x的范围是（）x1.11.21.31.40.842.293.76A． B． C． D．无法判定【答案】A【分析】由表格可发现y的值和0.84之间有个0，再看对应的x的值即可得．【详解】解：由表可以看出，当x取1.1与1.2之间的某个数时，，即这个数是的一个根．所以的一个解x的取值范围为．故选：A．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．【例11】如图，二次函数的图象与y交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B．(1)求二次函数与一次函数的表达式．(2)根据图象，写出满足的x的取值范围．【答案】(1)二次函数解析式为，一次函数解析式为(2)或．【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，再求出点B坐标，利用方程组求出一次函数解析式；（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上方或二者的交点处即可写出自变量x的取值范围．【详解】（1）解：∵二次函数经过点，∴，∴，∴二次函数解析式为，在中，当时，∴点C坐标，∵对称轴为直线，B、C关于对称轴对称，∴点B坐标，∵一次函数经过点A、B，∴，解得，∴一次函数解析式为，（2）解：由函数图象可知，当二次函数图象在一次函数图象上方或二者的交点处时，或，∴不等式，即不等式的x的取值范围为或．【点睛】本题考查二次函数与不等式、待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定好解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型．巩固训练：1．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解为（

）

A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】由抛物线与轴的交点横坐标可得方程的解．【详解】解：由图象可得抛物线经过，∴方程的解为．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．2．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）如图，二次函数的图象与y轴的交点在与之间，对称轴为，函数最大值为，结合图象给出下列结论：①；②；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则；⑤当时，随的增大而减小．其中正确的结论有(

)

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据二次函数图象与性质逐个结论进行分析判断即可．【详解】解：二次函数的对称轴为，故①正确；函数图象开口向下，对称轴为，函数最大值为，函数的顶点坐标为当时，，二次函数的图象与轴的交点在与之间，，故②正确；抛物线与轴有两个交点，，故③错误；抛物线的顶点坐标为且方程，即即有两个不相等的实数根，故④错误；由图象可得，当时，随的增大而减小，故⑤错误．所以，正确的结论是①②，共个，故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．3．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（

）

A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】直接根据图像求解即可．【详解】解：∵，∴，∴方程的解为抛物线与直线的两个交点的横坐标，∵两个交点坐标分别为，，∴方程的解为，，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．4．（2020秋·广东惠州·九年级校考期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标为．【答案】【分析】根据题意得出令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标，令，然后求出的值，即可以得到与轴的交点坐标．【详解】由图象与轴相交则，代入得：，解方程得，∴与轴交点的坐标是，由图象与轴相交则，代入得：，∴与轴交点坐标是；故答案为；．【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键．5．（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）已知：二次函数，①当时，随的增大而减小②若图象与轴有交点，则③当时，不等式的解集是④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点，则其中，正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）【答案】①④/④①【分析】①根据二次函数的增减性判断即可；②根据根的判别式判断即可；③当时，求出的解即可判断；④根据平移规律求出平移后的解析式，把代入可以求出a的值，然后判断是否正确．【详解】解：二次函数为，对称轴为直线，图象开口向上．则：①当时，y随x的增大而减小，故①正确；②若图象与x轴有交点，即，则，故②不正确；③当时，方程的解为，∴不等式的解集是或，故③不正确；④原式可化为，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是，函数过点，代入解析式得到：．故④正确．故答案为：①④．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点，二次函数的平移及二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．6．（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴是直线．(1)求函数的解析式；(2)当x取何值时，y随x的增大而减小？(3)当x取何值时，函数值y大于0．【答案】(1)(2)当时，y随x的增大而减小(3)或时，函数值y大于0【分析】（1）把P点坐标代入解析式得到b、c的方程，再利用抛物的对称轴方程得到b的值，然后求出c的值得到抛物线解析式；（2）根据二次函数的性质求解；（3）先解方程得到抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴是直线，∴解得，故函数解析式为（2）由（1）知二次函数的解析式为．∵，∴抛物线的开口向上，又对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而减小．（3）令，则解得∵，∴抛物线图象开口向上，∴或时，函数值y大于0．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点，利用抛物线解不等式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．7．（2022秋·广东韶关·九年级翁源县龙仙第二中学校考期中）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点、是二次函数图像上一对对称点，一次函数的图像过点、．

(1)直接写出点、的坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)将二次函数向左平移2个单位，并向下平移2个单位，写出得到的图像的解析式；(4)根据图像求的解集．【答案】(1)，(2)二次函数解析式为(3)(4)或【分析】（1）由图象可得点坐标，根据抛物线的对称性可得点坐标；（2）根据待定系数法求抛物线解析式即可；（3）根据抛物线平移规律求解即可；（4）由抛物线在直线下方时的取值范围求解即可．【详解】（1）解：由图象可得点坐标为，∵抛物线经过、，∴抛物线对称轴为直线，∴点坐标为．（2）解：将、代入得，，解得：，∴二次函数的解析式为．（3）解：二次函数的图象向左平移2个单位后解析式为，再将抛物线向下移动2个单位后解析式为．（4）解：∵点坐标为，点坐标为，∴当或时，抛物线图象在直线下方，∴当或时，．【点睛】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．8．（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）已知二次函数．(1)求出该抛物线与轴的交点坐标，与轴的交点坐标，顶点坐标，并画出函数的图象；(2)直接写出当时，的取值范围_____，当时，的取值范围_____．【答案】(1)抛物线与轴的交点坐标为，；与轴的交点坐标为；顶点坐标为；函数图象见解析(2)，【分析】（1）令，则，求解即可得到抛物线与轴的交点坐标，令，则，即可得到抛物线与轴的交点坐标，将抛物线化为顶点式即可得到抛物线的顶点坐标，列表、描点、连线，即可得到抛物线的图象；（2）由图象即可得到答案．【详解】（1）解：，抛物线的顶点坐标为，令，则，解得：，，抛物线与轴的交点坐标为，，令，则，抛物线与轴的交点坐标为，列表如下：012306860描点、连线，如图：；（2）解：由图象可得：当时，的取值范围，当时，的取值范围，故答案为：，．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，正确画出二次函数的图象，是解题的关键．9．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期中）如图，已知二次函数的图象过和两点，

(1)求二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线，并直接写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【答案】(1)(2)点D坐标为(3)【分析】（1）根据二次函数的图象过和两点，代入得出关于a，b的二元一次方程组，求得a，b从而得出二次函数的解析式；（2）令，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点D的坐标；（3）联立一次函数和二次函数解析式，求解出交点坐标，按照函数解析式运用描点法画出图象，观察二次函数与一次函数图象，找到一次函数值高于二次函数值的部分，其对应自变量即是x取值范围．【详解】（1）解：二次函数的图象过和两点，，，，二次函数的解析式为；（2）当时，得；解得，，点D坐标为；（3）解：联立一次函数和二次函数，，解得：，，即一次函数与二次函数图象如图，

当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，描点法画函数图象，二次函数与一次函数的交点等知识，熟练掌握各个知识点是解答关键．题型七二次函数图象实际应用问题【例12】（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）某商店开始时，将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件，店方想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．(1)如果涨价3元，每天的销售利润是多少？(2)如何定价，使每天所得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)350元(2)涨价4元利润最大，最大利润是360元【分析】（1）直接根据题中的逻辑关系即可求解；（2）题中等量关系为利润（售价进价)售出件数，根据该等量关系列出函数关系式，再的函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值．【详解】（1）解：如果涨价3元，则每天售：（件），每件单价为13（元），涨价3元利润为：；（2）解：设涨价x元，利润为y元，则每天售：（件），每件单价为：（元），，，∴当时y有最大值，最大值为360（元），即涨价4元利润最大，最大利润是360（元）．【点睛】本题考查了二次函数的应用，准确理解题目中的逻辑关系及正确列出二次函数是解题的关键．【例13】（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．

(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．【答案】(1)的最高点坐标为，，；(2)符合条件的n的整数值为4和5．【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值；（2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线，∴的最高点坐标为，∵点在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为，令，则；（2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，∴点A的坐标范围为，当经过时，，解得；当经过时，，解得；∴∴符合条件的n的整数值为4和5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．巩固训练：1．（2020秋·广东广州·九年级校考期中）为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成