2023-2024学年山东省淄博市临淄中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat17页2023-2024学年山东省淄博市临淄中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知随机事件和互斥,且,,则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因为和互斥,由求出,再由即可得到答案.【详解】因为和互斥,所以,又,所以,因为,所以.故选:B.2．湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假期间两草原供游客休闲旅游，记事件“只去甲草原”，事件“至少去一个草原”，事件“至多去一个草原”，事件“不去甲草原”，事件“一个草原也不去”.下列命题正确的是（

）A．E与G是互斥事件； B．F与I是互斥事件，且是对立事件；C．F与G是互斥事件； D．G与I是互斥事件.【答案】B【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可；【详解】依题意基本事件有“去甲草原”、“去乙草原”、“一个草原也不去”、“去甲、乙草原”共四个，事件“至少去一个草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、“去甲、乙草原”三个基本事件；事件“至多去一个草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、“一个草原也不去”三个基本事件；事件“不去甲草原”包含“去乙草原”、“一个草原也不去”两个基本事件；对于A，事件，有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，事件与不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；对于C，事件与有可能同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，事件与有可能同时发生，不是互斥事件，故D错误.故选：B3．已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则直线与平面的位置关系是（

）A．或 B．C．与相交但不垂直 D．【答案】A【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的位置关系可判断直线与平面的位置关系.【详解】，所以，所以或.故选：A.4．经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，55500371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为A． B． C． D．【答案】A【分析】根据20组随机数可知该运动员射击4次恰好命中3次的随机数共8组，据此可求出对应的概率．【详解】由题意，该运动员射击4次恰好命中3次的随机数为：7525，0347，7815，5550，6233，8045，3661，7424，共8组，则该运动员射击4次恰好命中3次的概率为.故答案为A.【点睛】本题考查了利用随机模拟数表法求概率，考查了学生对基础知识的掌握．5．某天下课以后，教室里最后剩下两名男同学和两名女同学，若没有两位同学一起走，则第二位走的是男同学的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据古典概率模型计算概率即可.【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是个同学要第二个离开教室，共有种结果，满足条件的事件是第二位走的是男同学，共有种结果，∴根据等可能事件的概率得到，故选：C.6．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间向量数量积的运算性质和定义，结合投影向量进行求解即可.【详解】因为空间向量，，所以向量在向量上的投影向量为：，故选：C7．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（

）

A． B． C．4 D．2【答案】C【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由二面角的平面角的定义知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故选：C.8．已知空间向量，，，则（

）A． B．0 C．4 D．【答案】A【分析】先根据已知条件求出，再由可求得结果.【详解】因为，所以，因为，，所以，所以，故选：A二、多选题9．已知空间四点，则下列说法正确的是（

）A． B．C．点到直线的距离为 D．四点共面【答案】BD【分析】根据空间向量的坐标表示公式、夹角公式，结合四点共面的性质、点到线距离公式逐一判断即可.【详解】A：因为，所以，因此本选项不正确；B：因为，所以，因此本选项正确；C：，，所以所以点到直线的距离为，因此本选项不正确；D：因为，所以有，因此是共线向量，所以四点共面，因此本选项正确，故选：BD10．在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（

）A．B．C．向量与的夹角是60°D．【答案】BD【分析】A选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；B选项，利用空间向量基本定理求出，由；C选项，由图可知与的夹角为钝角，也即与的夹角为钝角；D选项，首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得；【详解】对于A选项，，故A错误；对于B选项，，，，故，B正确；对于C选项，，三角形是等边三角形，因为，，，可知与的夹角为钝角，也即与的夹角为钝角，C选项错误.对于D选项，因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，故，，，所以，故，所以，所以，故D正确.故选：BD.11．在某次数学测试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.”已知某道多项选择题的正确答案是，且某同学不会做该题（该同学至少选一项且可能全选），下列结论正确的是（

）A．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是；B．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是；C．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是；D．该同学随机选择选项，能得分的概率是.【答案】BC【分析】列出所有情况，根据选项结合古典概型公式即可得到答案.【详解】该同学随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，，，.随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为，，，，，.随机选三个选项，共有4个基本事件，分别为，，，.随机选四个选项，共有1个基本事件，即.对A，仅随机选一个选项，能得分的概率是，故A错误.对B，随机至少选择二个选项，能得分的情况有，共4种，能得分的概率是，故B正确.对C，仅随机选三个选项，能得分的情况只有，则概率是，故C正确.对D，随机选择选项，能得分的概率是，故D错误.故选：BC.12．在正三棱柱中，已知，，为中点，点在直线上，点在直线上，则（

）A．B．平面C．异面直线与所成角的余弦值为D．线段长度的最小值为【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】在正三棱柱中，为中点，所以，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，,，故A正确；所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，因为，即，又平面，所以平面，故B正确；异面直线与所成角为异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；，，,设向量，,令，则，，所以，线段EF长度的最小值为，故D正确；故选：ABD三、填空题13．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则至少取得一个红球的概率为.【答案】【分析】“至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率.【详解】由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为.故答案为：.14．已知向量，，且与互相垂直，则的值是.【答案】/【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.【详解】，，因为与互相垂直，所以,即，解得：.故答案为：15．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为.【答案】/【分析】由列方程，化简求得的值.【详解】∵，，，∴，又∵A，C，D三点共线，∴，∵，不共线，∴，∴，∴.故答案为：16．一个数字不重复的三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为，，，当且仅当，，中有两个不同数字的和等于剩下的一个数字时，称这个三位数为“有缘数”（如213，341等）．现从1，2，3，4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数，则这个三位数为“有缘数”的概率是．【答案】/【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足“有缘数”的数字个数，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从1，2，3，4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数的个数为，1，2，3，4这四个数字中两个的和等于第三个的有123，134，因此“有缘数”个数为，所以这个三位数为“有缘数”的概率．故答案为：．四、解答题17．在2016珠海航展志愿服务开始前，团珠海市委调查了北京师范大学珠海分校某班50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据如下表：单位：人参加志愿服务礼仪培训未参加志愿服务礼仪培训参加赛会应急救援培训88未参加赛会应急救援培训430（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；（2）在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的8名同学中，有5名男同学A，A，A，A，A名女同学B，B，B现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A被选中且B未被选中的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据表中数据知未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有30人，故至少参加上述一个培训的共有人.从而求得概率；（2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，列出其一切可能的结果，从而求得被选中且未被选中的概率.【详解】解：由调查数据可知，既未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有30人，故至少参加上述一个培训的共有人.从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个培训的概率为；从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：，，，共15个，根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共2个，被选中且未被选中的概率为.18．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点．(1)求直线与所成角的余弦值；(2)求直线到平面的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可；（2）利用向量法求线面距离作答即可.【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，所以直线与所成角的余弦值为.（2）由（1）知，，，，，显然，所以，而平面，平面，于是平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，设平面的法向量为，则，令，得，所以点到平面的距离为，所以直线FC到平面的距离是.19．某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可继续参加科目的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目每次考试成绩合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．(1)求他在科目考试第一次合格的概率；(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他可获得证书的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据独立事件概率计算公式求解即可；（2）先计算他考试的次数为2、3、4且获得证书的概率，进而即可求解.【详解】（1）科目考试合格的概率为，则他在科目考试第一次合格的概率为.（2）他考试的次数为2且获得证书的概率为，他考试的次数为3且获得证书的概率为，他考试的次数为4且获得证书的概率为，所以他可获得证书的概率为.20．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．(1)证明：；(2)求点B到直线EF的距离.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）根据给定条件，证明，再利用线面垂直的性质、判定推理作答.（2）由（1）中信息，以点A作原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量求解作答.【详解】（1）在四边形中，，取中点，连接，由，得，则四边形是平行四边形，又，因此是矩形，即有，有，，从而，即，而平面，平面，则，又平面，于是平面，而平面，所以.（2）由（1）知，三线两两垂直，以点A作原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，所以，，，所以，，所以，所以点B到直线EF的距离为.21．甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；(2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.【详解】（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，.（2）设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”，所以，则，由事件的独立性与互斥性，得，故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学