2021届高中数学知识点

高考数学知识要点详解第0页共26页

2021届高中数学知识点目录

第一部分预备知识................................................................1

1.1集合与常用逻辑用语..........................................................1

1.3不等式......................................................................2

1.4运算........................................................................2

1.4.3求导运算.................................................................3

1.4.4向量...................................................................4

第二部分.........................................................................8

2.1函数的定义和性质...........................................................8

2.2导数.......................................................................9

2.3三角函数...................................................................11

2.4数列（离散型函数）........................................................12

第三部分几何...................................................................14

3.1直线和圆.................................................................14

3.2圆锥曲线.................................................................16

3.3立体几何...................................................................19

4.1计数原理.................................................................22

4.2概率与统计.................................................................23

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第一部分预备知识

1.1集合与常用逻辑用语

一、集合的含义与表示

1.集合的含义：把一些确定的不同的无序的对象看成一个整体即为集合(或集).构成集

合的每个对象叫做这个集合的元素.不含任何元素的集合叫空集，记为0.元素a属于集合4

记作aeA,元素a不属于集合A记作a史A.

2.集合的分类：有限集、无限集.

3.集合的表示：列举法{0,1,2},特征性质描述法{xeN|x<3},以及韦恩图、数轴等.

4.常见数集的表示符号：自然数集N,正整数集N*(或N.),整数集Z,有理数集Q,实数

集R.

二、集合间的基本关系

1.子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A就叫做集合B的子

集，记作Aq3或83A.如果集合A中存在着不是集合B的元素，则集合A不包含于B,记

作或B至A

2.真子集：如果AqB,并且BaA,那么集合A叫做集合B的真子

集，记作或B^A维恩图表示如图

3集合的相等：如果A=8,并且B=A,则称集合A与集合B相等,

记作A=B.

三、集合的基本运算

1.交集：Ar|B={%|xeAJLxeB}.

2.并集：AUB={x|xeAWtxeB}.

3.全集：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集,

通常用U表示.

4.补集：如果A是全集U的一个子集，A在U中的补集C“A={x|xcA月/GU}.

1.2常用逻辑用语

1.量词与命题：

(1)“所有”“任意”、“每一个都”等逻辑中通常叫做全称量词，用符号V表示;

含有全称量词的命题叫全称命题，用符号简记为：VxeM,p(x).

(2)“有一个”、“有些”、“至少有一个”、“存在”逻辑中通常叫做存在量词，

用符号三表示；含有存在量词的命题叫存在性命题，用符号简记为：

2.含量词的命题的否定(也称为“非”用「表示)：

①存在性命题p:HxeM,p(x).=>它的否定为：VxeM,—

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②全称命题q:VxwM,q（x）.n它的否定为：-iqHxeA/,-1g（x）.

3.充要条件

〃=q：P是q的充分条件，q是P的必要条件；

1.3不等式

1.不等式的基本性质：

（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a>"c>d,则a+c>8+d

（2）同向同正不等式：同向的不等式可以相乘，若a>0>0,c>d>0,则ac>叫/；

（3）同向同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a>b>0,则或后〉诟；

（4）不等式的两边同乘（或除）一个数时，一定要考虑该数的符号.若a>人>0,则

ah

（对）；若a匕<0,a>b,则（对）.a>b<^>ac2>be2（错）

ab

注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，尤其适用于不成立的命题.

2.比较大小的常用方法：

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;

（2）作商（常用于分数指数基的代数式）；（3）分析法；

（4）利用函数的单调性；（5）寻找中间量或放缩法；（6）图象法.

3.不等式的解法：

（1）一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为办〉b

的形式，要注意讨论a>0,a<0及a=0的情况.

（2）一元二次不等式的解集（结合二次函数的图象求解）.设a>0,是方程

3

办2+bx+C=0的两实根，且王<々，则以2+匕x+C〉0的解集为（T3o,xJU（x2，+°）；

ax2+bx+c<0的解集为（七,9）；当△<0和△=0时的解集你会正确表示吗？

简单的一元高次不等式、分式不等式：参照一元二次不等式的解法中的函数思想，结合相

应函数的正负讨论画图写结论.

4.均值不等式：若a。>0,则土心之/茄（当且仅当a=8时取等号）

2

基本变形：若a,beR+,则/+》2221a小ab<^^,ab<^^~

运用均值不等式时，一定要检查条件（。,。>0）,最后一定要注明等号成立的条件.

L4运算

1.4.1塞指对运算

1.实数指数幕的运算

负指数累〃-=」-；分数指数累a?=海；无理数指数累

a

实数指数基的底数限制在正数范围内，运算法则与整数指数基相同.

X

（优）>'=axy,（ab）x=axbx,axay=ax+y,ax^ay=ax-y=—,

2.对数及其运算

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对数式b=logoN和指数式a"=N(a>0且aH1)等效，对数6也就是指数b

"呜M=N，log”=x,bglog,„b"=—logab,

log"m

M

log“M+logaN=k)g〃(WV),k)g“M一log“N=log„(—)

1.4.2.三角运算

1.角度与弧度的互换关系

360°=27180°=万1°«0.017451«57,30°«57°18'

扇形弧长公式：/=|a|R,

扇形面积公式：S=1//?=1|a|/?2,其中a为圆心角的弧度数

tin0

2.同角三角函数关系式：sin2e+cos2g=l,tane="

COS。

3.诱导公式：可结合图形理解，画出单位元，将任意角a的终边画在第一象限，再做

TTTT

出相应的+a7—a7+a,—a,-----cc,—Fa等，观察终边的位置关系，即可得到相应

22

三角函数值的关系。脑中一定要有图，有图有公式。

4.和差倍角公式：

要求掌握的十一个公式灵活应用的四个示例

sin(a±J3)=sinacosp±cosasin/,asinx+〃cosx=V^+T^sin(x+e)

其中，角。的终边经过点。力)

cos(a±/?)=cosacos，干sinasin0

♦

tan(a±0Jana±tanJ

1+tancrtan/?tana±tan6=tan(a±')(1+tanatanp)

sin2a=2sinccosa,2sinacosa=sin2a

cos2a=cos26Z-sin2a

.2l-cos2a21+cos2a

=2cos2a-\=l-2sin2asina=-------------,cosa=-------------

22

八2tan<7

tan2a=-------；—

1-tan^a

公式中的角是‘任意’的。关注已知及所求公式可以变形后再使用，这也是灵活运用公

角的和差倍半关系，常可适当换元。式的要求。

1.4.3求导运算

1.基本函数的导数公式表：

(1)(x"y=nx"T(〃eQ),特别的:

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(2)(sinx)'=cosx；(cosx)'=-sinx；(log£Zxy=----(x>0)；(优)'=a”na,

xIna

2.求导的四则运算法则

若以下各代数式都有意义，则

①"(x)土g(x)y=f'(x)±g'(x)；②[C./(x)r=Cf'(x)；

③[/(x)g(x)]'=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)；

④fZH],=—(x)-/(x)g'(x)

[g(x)_l(g(x))2

1.4.4向量

1.向量概念及表示方法：既有大小又有方向的量称为向量，特殊地，

零向量，模长为0,方向是任意的；

单位向量，模长为1,每个方向都有自己的唯一的单位向量；

相等向量的差为零向量；

相反向量的和为零向量.

向量的表示方法：符号法(如AB或a)；有向线段(图示法)；坐标法；

在单位正交基底下的坐标，也就是平面或空间直角坐标系下，坐标法方便计算：

数轴(1维)向量筋=(x).平面(2维)向量诟=(*/).空间(3维)向量Q=(x,y,z).

2.向量运算及运算律：

①向量的和与差：(减去一个向量等于加上它的相反向量).

平行四边形法则、三角形法则：以向量Q=a、而=方为邻边作平行四边形ABCD,则两

条对角线的向量元=a+b,BD=b-a,DB=a-b.也就是有

回一同《卜士〃同《+网.(当£时才有可能取等号)

力口法运算律：a+b-b+a,(a+b)+c=a+(b+c),

②数乘向量：实数％与向量。的积是一个向量.其满足I而I=I%I•I。I;当4

>0时，4a与a的方向相同；当4co时、4a与。的方向相反；当a=0时、4a=0.

数乘运算律：x{ya)=(xy)a,=xa+ya,x{a+b)=xa+xb

③向量的数量积：

⑴向量的夹角：已知两个非零向量。也作近二a,而二。，则N/6庐。(0°<^<180°)

叫做向量。与b的夹角.

(2)两个向量的数量积：已知两个非零向量。与人它们的夹角为夕，则

a-b=\a\•\b\cos0.

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也就是£.b等于4的长度与j_在&的方向上的投影数量的乘积.

数量积算律：a-b=b-a,[xa）-b=x（a-b）=a-（xb）,a-（b+c）=a-b+a-c

特别的，a-b=O<^a1b,（£>=@,注意不满足消去律。

坐标运算:

例如A（x,y）,5（4,当），则A片=（巧—%,当—X），।1=J（X|-々）-+（乂-%）一；

。=（不乂）"=（工2，％）则。±人=（%±工2，必±必）；

4a=（4玉,九,））（/I是实数）、a//b<=>x}y2-x2yx-0.

a-h^\a\\h\cos0=xtx2+yty2,进而容易得到

IaI7a-a=+*XR+)1%

V+X

£在B的方向上的投影数量Ia|cose=4=隼里善

网病三

3.共线、共面基本定理

（1）共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数/1,使得b=%。

若三点A、B、C共线oNZ与前共线

三点共线定理：平面上三点4B、C共线的充要条件是：存在实数a、B,使苏=a0B

+B历，其中a+B=l,。为平面内的任一点.

----,1---*---*

特别地：平面内有任意三个点0,A,B.若M是线段AB的中点，则0M=-（0A+0B）.

2

（2）平面向量基本定理：若&、金是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内

的任一向量a，有且只有一对实数％,九2，使得a=4q+毋2

四点共面定理：空间中四点从&a〃共面的充要条件是：存在实数a、B,使04=a0B

+&OC+yOD,其中a+B+Y=l,0为平面内的任一点.

,1----

特别地：空间内有任意三个点A,B,C.若G是三角形ABC的重心点，则。G=—（04+

3

OB+OC).

（3）空间向量基本定理：若勺,02,03是同一空间内的三个（两两不共线的）向量，那么对

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于这一空间内的任一向量。，有且只有一组实数4，42，4，使得。=44+402+463

1.4.4.复数

复数的基本概念

1.虚数单位：虚数单位为i,它的平方等于-1,即i2=-l,（一/尸=-1.

2.复数及其相关概念：设a,b为实数，形如a+bi的数叫复数，a叫做实部，b叫做虚部.

［注］

①当b=0时，复数z=a+历为实数；

②当2W0时，复数z=a+历为虚数：

③当a=0且bH0时，复数z=a+bi为纯虚数，即bi.

④全体复数所构成的集合叫做复数集，通常用大写字母C表示.

⑤两个复数相等：a+万=c+龙oa=c,且。=d（其中a,b,c,d,GR）.

特另ll地,a+bi=Q<^>a=b=0

复数的代数运算

复数的加、减、乘类似于多项式运算.特别地，复数的除法是指：将分子、分母同乘以分

母的共貌复数（分母实数化）2=（"+〃）（c：力）=3、+吗+孰—ad）i

2222

z2c+dc+d

复数的几何意义

1.复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中的x轴叫实轴，y轴叫

虚轴，x轴的单位是1,y轴的单位是i,原点（0,0）对应复数0.实轴上的点都表示实数，实

轴以外的点都表示虚数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

----对应----对应

2.复数z=a+bi<->有序实数对（a,b）<------>点21,b）

3.复数的模：设方=。+万（a,beR）,则向量次的长度叫做复数a+bi的模（或绝对

值），记作|a+例，且卜+次|=+/2.

4.共辗复数：实部相等、虚部互为相反数的两个复数互为共规复数.任一实数的共规复数

是它本身.复平面内，表示两个共转复数的点关于实轴对称.

1.4.5排列组合数公式二项式定理

几!

1.排列数公式：=〃（〃一1）・・・（〃一加+1）=--:—（m<n.n.meN）

（n—m）!

［注］①规定0!=1；②耳=川；③〃・〃!=（〃+l）!f!；

2.组合数公式：C>=n（n-l）---（n-m+l）

Mm！

［注］①c：=C7"；②c："T+c：=c.：；

»7I

③A-；©C；；'=——；⑤C?=C：=1.

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3.二项式定理：3+勿〃=。，％°+。）〃-%+・-+。,〃-7/+・-+。〉％〃，〃《擀

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第二部分

2.1函数的定义和性质

1.求函数定义域的常用方法

(1)偶次根式的被开方数非负；分母不能为零；对数式log“尤中x>0,且awl；

TTTT

三角形中0<A<%,最大角2一,最小角〈一等.

33

(2)根据实际问题的要求确定自变量的范围.注意单位.

2.函数的零点：使函数值为零的自变量x的值，也就是函数图象与横轴交点的横坐标

3.函数的单调性.

(1)定义：函数f(x)的定义域为D,区间M=D,VxglM,记△X=X2-XI>0,△y=f(X2)-

f(xi),若ay〉。总成立，则称f(x)在区间M上递增，区间M是f(x)的增区间；若△*()总成立，

则称f(x)在区间M上递减，区间M是f(x)的减区间.

(2)确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

①熟悉函数的图象与性质(理解记忆)；②描点归纳(合情推理)；

③复合函数分析(从x逐步计算到y)；

TT541\jr

例如：函数y=sin(2x—；)的单调递减区间是(%乃十五#7十五),左eZ

④借助导函数(在区间(a,b)内，若总有/'(幻>0,则/(x)在区间(a,为上递增，(a1)

是函数的增区间;若总有了'(幻〈0,则在区间(a,。)为上递减，(a,8)是函数

的减区间)

4.函数值域(最值)的方法.

①应用熟悉函数(如基本初等函数)的单调性；

②特殊值描点归纳(合情推理)；

③应用基本不等式：

④应用恒等变换、整体代换、借助导函数等转化熟悉的函数的问题.

提示：函数的单调性主要用于①比较大小；②解不等式.

5.函数的奇偶性.

(1)定义：函数f(x)的定义域为D,VxWD,则-xGD且f(-x)=f(x),则称函数f(x)是偶

函数.显然，偶函数的图象关于y轴成轴对称，反之亦然。

函数f(x)的定义域为D,VxdD,则-xED且f(-x)=-f(x),则称函数f(x)是奇函数.显然，

奇函数的图象关于原点成中心对称，反之亦然。

(2)判定函数奇偶性的常用方法：

①熟悉函数的性质(理解记忆)；②描点归纳(合情推理)；③用定义或x)=0

等代数式恒等变形方法.

(3)函数奇偶性的应用：可由该函数在x>0时的性质，判定它在x<0时的性质，反之亦然.

例如：①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致；偶函数在关于原点对称的区间上

的单调性恰恰相反.

②奇函数、偶函数的零点总是成对出现的，这一对零点互为相反数.

③若/(x)为奇函数，且0在函数的定义域中，则必有/(0)=0.

(4)常见的图象变换：

①平移“X\\。②伸缩"X\③翻折；；

①函数y=/(x土a)(。>0)的图象是把函数丁=/々)的图象沿％轴左(右)平移。个单

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位得到的；函数y=/々)±。(。>0)的图象是把函数〉=/(x)的图象沿y轴向上(下)平移

。个单位得到的；

②函数)=/'(取)(。>0)的图象是把函数〉=/U)的图象沿x轴伸缩为原来的,倍得到

a

的；函数y=4(x)(。〉0)的图象是把函数)，=/(x)的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的;

③先把函数y=/(x)的图象x轴左侧的图象删除，再把x轴右侧的图象翻折(复制粘贴)

到左侧，就得到了函数y=/(|x|)的图象；把函数y=/(x)的图象x轴下方的图象翻折(剪切

粘贴)到上方，就得到了函数y=|/(x)|的图象。

拓展练习：把函数y=/(x)的图象，先向右平移2个单位，再把每个点的横坐标变为原来

的1/2倍，得到的是函数y=/⑵:一2)的图象.

7.函数的周期性

对于函数/(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值，都满足

/(x+T)=/(x),那么这个函数“X)就叫作周期函数.定义在实数集R上的周期函数的图

象平移T个单位后与原来的图象重合。

特别地

①定义在R上的常数函数也是周期函数，也就是说周期函数不一定有最小正周期；

拓展练习：

若a#0,且/(%)满足一/(x)=/(a+x)，或/(x+a)=-^—；或/(x+a)=———；

/W/(幻

均可得出2a是/(%)的一个周期.

2.2导数

1.导数的定义：对于函数y=f(x),当AX-O,/(,+")-/⑷—g"),则称g(x)

△X

是/(x)的导函数，记作/(X)

2.导数的几何意义：函数/*)在点/处的导数的几何意义，就是曲线y=/(x)在点

P(XoJ(x。))处的切线的斜率，即曲线y=/W在点P(x0./(x0))处的切线的斜率是:(公)，

相应地切线的方程是了一为=./(入0)(工一天).

特别提醒：在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过

某点的切线？曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲

线上也不一定只有一条.

3.导函数的应用1(单调性)：

(1)在上，若/")>0恒成立，则/(x)为增函数；

(2)在区间(a,b)上，若可导函数y=/(x)单调递增，则.f'(x)20恒成立；

在区间(a,b)上，若可导函数y=f(x)单调递减，则r(x)WO恒成立.

4.导函数的应用2(函数的极值)：

(1)定义：设函数/(幻在点小两侧附近有定义，如果对/两侧附近所有的点，都有

/(x)</(/),就说是/(%)是函数的一个极大值，%是/(x)一个极大值点.如果对飞

两侧附近所有的点，都有/(外〉/(/)，就说/(%)是函数/(x)的一个极小值，%是/(均一

个极小值点.极大值和极小值统称为极值，/统称为/(x)的一个极值点.

(2)求函数y=/(x)在某个区间上的极值的一般步骤：

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<i)求导数f\x)；(iD求方程r(x)=o的根/；(iii)列表，检查r(x)在鼻的左

右两端的符号：“左正右负”0〃*)在/处取极大值；“左负右正”0/(方在/处取极小

值.

特别提醒：(1)当函数可导时，X。是极值点oX。是/'(幻=0的变号零点

也就是说，已知二是函数/(x)的极大(小)值点，一定要既考虑尸(不)=0,又考虑串验

/'(x)"左正右负”(“左负右正”)的转化.

5.导数的应用3(函数的最大值和最小值)：

(1)定义：函数/(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数

值中的最大值；函数/(X)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的

最小值.

(2)求函数y=/(x)在［a,上的最大值与最小值的常用步骤：

①求函数y=/(x)在(a,b)内的极值(极大值或极小值)；

②将y=f(x)的各极值与/(a),/(与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最

小值.

特别注意：利用导数研究函数的单调性与最值(极值)时，要注意列表！

写清自变量X范围，导函数/(x)的正负，函数/(x)增减之间的关系

2.2幕指对函数

指数函数：>=优的图象分两类(a>0、a<0)；

对数函数y=log.x的图象也分两类(。>1、0<«<1)；

嘉函数y=x"的图象首先关注第一象限，再根据定义域及奇偶性作出其它象限的图象.在

同一坐标系中作出不同类型的基函数.

【注】指数函数/(x)=a%a>0,且a/1)与对数函数尸(x)=log,x(a>0,且a。1),

互为反函数.

指数、对数值的大小比较的常用方法：化同底后利用函数的单调性；利用中间量(0或1

等).

拓展练习：常有些抽象函数(没有给出函数的具体的解析式)，而只给出了它的一些性质(如

定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等).求解这样的抽象函数问题的常用方法是：

(1)利用赋值法(令x=0或1,求出/(0)或/⑴、令y=%或>=—x等)探究性质；

(2)利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究：

(3)借鉴模型函数进行类比探究.几类常见的抽象函数：

①正比例函数型：f(x)=kx(k0)---------f(x±y)=f(x)±f(y);

②基函数型：f(x)=x2-------------/(w)=/(x)/(y)，/(£)=黑；

y/(y)

③指数函数型：/(X)="-----------f(x+y)=f(x)f(y),f(x-y)=驾;

/(>)

X

④对数函数型：/(x)=log“尤-----/(xy)=/(x)+/(y),/(一)=/(x)—/(y)；

y

需要注意的是：函数模型只是满足所对应的抽象函数的一种函数类型，但该抽象函数并不

一定就是该函数模型，所以，函数模型只能帮助我们思考，但不能作为推理、论证的依据.

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2.3三角函数

1.把角放在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，

与角a终边相同的角的集合(角。与角夕的终边重合)：,R=&x360°+a«ez}.例如:

⑴终边在x轴上的角的集合：{B\/3=kx,kwZ\

(2)终边在y轴上的角的集合:如£=Axl80°+90°,4ez}

(3)终边在坐标轴上的角的集合：物|/?=kx90°«ez}

(4)终边在尸x轴上的角的集合：Mip=kxl80°+45°,kez}

2.任意角正弦、余弦、正切的定义：

定义1：:在角的终边上任取一点P(x,y)(P点不与原点重

合)，尸点到原点的距离为r=+,2>o,定义:Cosa,

r

yy

sina=—,tana=—(x#0).

rx

定义2：角的终边与单位圆交点P的坐标定义为

(cosa,sina),角终边所在直线与直线x=l的交点T坐标定义为

(1,tana)

【注】三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关.与锐角三角函数值的

区别在于可正可负可为零.

3.基本初等函数2及其性质(性质可看图说话)

4.正弦型函数：(0>0)

(1)y=Asin((ar+°)图象与y=sinx图象的变换关系

./⑴y=sin(x+。)-y=sin(«yx+。)\.、

y=sinx(=Asin(tyx+*)

\(2)y=sin(<yx)y=six(a)x+(p)/

(2)A--振幅，7=若-一周期，/-=-=———频率，皿+°——相位，。一一初相.

囱T24

(3)研究函数^=Asin(的+。)性质的方法：类比于研究j-sint的性质，只需将

y=4sin(3x+o)中的+e看成产sint中的t,但在求y=Asin(69x+0)的单调区间时,

要特别注意A和。的符号，若。<0则通过诱导公式先将刃化为正数，若A<0则增减互换.

(4)注意y=Atan(3x+0)的最小正周期：T=

阿

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2.4数列(离散型函数)

L数列的定义：有顺序的一列数.数列可以看成一个定义在序号n的集合上的函数，数列

的通项公式也就是相应函数的解析式.

2.数列的前n项和s“=4+a,+...+Q“，一般地=10°c

⑸-(〃22)

3.等差数列的概念：

(1)等差数列的定义：。田-"为常数).|〃一1|

(2)等差数列的通项公式：an=at+(n-l)d^an=am+｛n-ni)d.

(3)等差数列的前〃项和：5“=S“=〃q+〃"Dd.

4.等差数列｛&,｝的常用性质：一

(1)当w+〃=p+q时，则有+a“=a。+4,特别地，当机+〃=2p时，则有

am+an=2ap.(a。为a,“，％的等差中项)

(2)当公差0时，等差数列的通项公式a“=q+(〃-l)d=山+a/d是关于〃的一次

函数，且斜率为公差d；前〃项和5“=叫+妁?。〃=3〃2+(卬—_|)“是关于〃的二次函数

且常数项为0.(图象为通过原点的抛物线上的孤立点)

(3)若公差d〉O,则为递增等差数列，若公差d<0,则为递减数列，若公差d=O,则

为常数列.

(4)”首项为正数”的递减等差数列中，前〃项和的最大值是所有非负项之和；”首项为

负数”的递增等差数列中，前〃项和的最小值是所有非正项之和.求S”的最大值(或最小值)

常用下面的方法：

法一：由不等式组［2之。(或卜"V。［确定出前多少项为非负(或非正)；

1«„+IW［«„+1N

法二：因5“是关于〃的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性

(neN*).

5.等比数列的有关概念

(1)等比数列的定义：也=4(4为常数)4=0,a“NO.

a«

nn

(2)等比数列的通项公式：«„=//或=amq-.

(3)等比数列的前〃项和:|当q=l时，当4"时，S"=T)=a'~a1,q.

-----------------1-<71-q

注意：当不能判断公比q是否为1时.，要对q分<7=1和4工1两种情形讨论求解.

(4)等比中项：若a,A/成等比数列，那么A叫做。与〃的等比中项.不是任何两数都有

等比中项，只有同号两数才存在等比中项，并且土疯都是.

等差、等比数列问题的求解：注意利用基本量结合公式得到方程组求解的方法.

基本量法：等比(差)数列的通项公式及前〃和公式中，涉及到5个量：q、q(d)、〃、

a“及S“，其中为、q(d)称为基本量.只要已知这5个量中的任意3个，便可求出其余2个，

即知3求2

6.等比数列的性质:

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aa

(1)当，%+〃=〃+<7时，则有=P*q，特别地，当m+"=2p时，则有=a；.

(ap为4,a”的等比中项)

⑵若｛4｝是等比数列,且公比夕。一1,则数列5“,52”一5”,53”一邑”，…也是等比.当

“=—1,且”为偶数时，数列S”,S2,—S“偶3.—S2.，…是常数数列｛0｝，而不是等比数列.

(3)若4>0应>1,则仅“｝为递增数列；若4<0国>1,则｛%｝为递减数列；若

4>0,0<q<l,则>“｝为递减数列;若则>“｝为递增数列;若”0,则

｛&｝为摆动数列；若q=l,则｛%｝为常数列.

(4)如果数列｛七｝既是等差数列又是等比数列，那么数列｛《,｝是非零常数数列，'｛4｝是常

数数列’是‘此数列既是等差数列又是等比数列'的必要不充分条件.

7.一般数列的通项公式的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.

⑵用作差法：已知S.求％,用/噌22厂

⑶累加法：若4M-4,=/(〃)求4，

则an=(an-)+3“t-4-2)t----F(2一q)+q(〃22).

⑷累乘法：若如=/(〃)求%4=上匚.=•幺q(〃N2).

an«„-2%

8.数列求和的常用方法：

(1)分组求和法：如a“=2n+3"

(2)错位相减求和，如4+Z■+…+《•

2222"

(3)裂项相消法：如②1

①新土土;〃("+k)k'-1nn+k''

9.判断数列a｝的增减性方法：

(1)相邻两项作比较：

>0"“

4+1—怎=<=0如勺=-2〃2+29〃―3或%=…，=1(a„>0),如9

n1U

[<0"[<1

nJ97—

(2)4=/(九)研究函数/Xx)的单调性：如一，以=:n,问最大(最

n2+156V98-n

小)值

10.等差、等比数列的应用题：首先要辨析是等差数列还是等比数列，必要时从n=l,2,3...

开始，逐个观察项与序号、相邻项的差、前儿想的和等，归纳判断一般规律.

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第三部分几何

3.1解三角形

正弦定理：

在AABC中，角A、B、C所对的边长依次记为“、b、c,则：

/一=—丝=」一=27?（A48c外接圆的直径）

sinAsinBsinC

△ABC的面积S=—aZ?sinC=—/?csinA=—casin

222

余弦定理：

a2-b2+c2-2/?ccosA,b1-c2+cr—2cacosB,c2-a2+b2-2abcosC,

）2+c2-/a2+b2-c2

cosA=,cosB=,cosC=

2bclab

注：内角和定理：三角形内角和为乃，这是三角形中三角函数问题的特殊关系式，解题可

不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.

特别提醒：@A+B-TT-C,sin(A+B)-sinC,sin'=cos—：

22

②锐角三角形=sinA>sin8)=cos6；

已知两边及一对角求解三角形时，先考虑用余弦定理，若用正弦定理，则注意两解的喇舍.

常用余弦定理判断三角形的形状.求解三角形中含有边角混合关系的问题时;常运用正弦定

理、余弦定理实现边角互化.

(5)大边对大角：当出现多个解时，常用于判断哪些是符合题意的解，哪些不是.

在三角形中，4>3osinA>sin3,这是“正弦定理+大边对大角”的应用.