2021届全国Ⅰ卷高三高考临考仿真冲刺卷数学（文）试题（五）及答案

2021届全国I卷高三高考临考仿真冲刺卷数学（文）试题（五）

一、单选题

1.设集合A={y|y=2，},B={x|y=lg（4-x）},贝iJApI低B）=（）

A.（0,4]B.（0,4）C.[4,-KO）D.（4,+<»）

【答案】C

【分析】由指数函数和对数函数性质求得集合A8,然后由集合的运算法则计算.

【详解】由题可得A=（0,4W）,8=（F,4）,

所以Q8=[4,+w）,则Ac仅8）=[4,内）.

故选：C.

2.若复数z满足士=i+2,则z在复平面内对应的点位于（）

Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】求出z=g+gi,即得解.

【详解】由题得i+z=zi+2z,/.z（l+i）=i,二.z=—^—,

l+z

ma_Hl—）_i+l」J

（1+0（1-0222

复数z对应的点为（!，!），在第一象限.

22

故选：A

3.已知命题P：WxN。，或sinxKl,则力为（）

A.3x<0,ex<lMsinx>lB.3x<0,ex>1sKsinx<l

C.3x>0,ex<1W<sinx>lD.3x>0,ex<l^sinx>l

【答案】D

【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.

【详解】命题P：VxN。，1或sinxKl,为全称命题，

则T7为：Hx>0,产<1且sinx>l,

故选：D.

4.某个国家某种病毒传播的中期，感染人数）’和时间工（单位：天）在18天里的散点图如图所示,

下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数y和时间x的回归方程类型的是（）

S

S

A.y=a+bxB.y=a+he'C.y=a+61nxD.y=a+by[x

【答案】B

【分析】根据散点图据曲线形状判断.

【详解】b>0,xe(0,+oo),

bb

A中y'=b是常数，B中丫'=加'是增函数，C中y'=Z是减函数，D中丫'=三尸是减函数，

x2、x

散点图所有点所在曲线的切线的斜率随x的增大，而增大，而四个选项中，A斜率不变，CD的斜率

随x的增大而减小，只有B满足.

故选：B.

5.等差数列⑷中，4=2020,前〃项和为5“，若*》2则/«)=()

A.1010B.2020C.1011D.2021

【答案】B

【分析】.

根据已知条件求得“，由此求得Szg.

【详解】依题意*强=-2,

12q+66d10〃1+45d

即----------------------=-2,

1210

119

即]1_丁=1=_2,

所以%20=2020x2020+故。*、x(-2)

=2020x2020-2020x2019=2020x(2020-2019)=2020.

故选：B

6.已知直线1与曲线y=/+lnx相切，则下列直线不可能与1平行的是()

A.y=3x-\B.y=7x+l

C.y=\/2x—1D.y=25/2x+l

【答案】C

【分析】利用曲线在某点的导函数值为曲线在该点的切线方程的斜率.对曲线求导，根据导函数的

取值范围即可得出切线斜率的取值范围.即可选出答案.

【详解】y=2x+L.20,(x>O),即直线1的斜率"2近，故直线>=缶-1不可能与1平行，

X

故选C.

【点睛】本题考查曲线的切线方程.属于基础题.熟练掌握函数的求导公式是解本题的基础.

7.在AABC中，AB=3,AC=2叵,ABAC=45°,P为AC的中点，而=g丽，则丽・丽=()

A.—叵B.0C.3D.—

363

【答案】B

【分析】用丽，而表示出丽，说，然后可得答案.

[详解】由题易知丽=-福+而=_丽+：而，CQ=AQ-AC=^AB-AC,

贝IJ丽.质+福+g呵｛^通一码=、丽.*通2_；/2=:X3X2&*_3_4=0

故选：B

8.己知A(-1,O),3(0,2),直线/：2x-2,+3+。=0上存在点p,满足1PAi+|P8|=不，贝心的倾

斜角的取值范围是()

7124]「八乃•~|八「2)、「乃3乃](八41i「3乃)

AEB.也已匕刁C.[-，T]D.(0,[U匕-

【答案】D

【分析】根据IM=技IPAI+1PB1=石上，得到点P在线段AB上，其方程为y=2x+2,xe[-1,0]

又点在直线1上，联立其方程，求得。=套，然后由tana求解.

4x+3a2x+3

【详解】将A(-l,0)代入2x-2欧+3+a=0得a=—l,

将8(0,2)代入2》-2◎+3+〃=0得4=1,

所以A,B不在直线1上，

又|AB|=6,|PA|+|PB|=石上,

所以点p在线段AB上，

直线AB的方程为：y=2x+2,xe[-l,为

y=2x+2

2x+32x+32x+3

由v2x-lay+3+=0解得“-2丫-1-2（2；1+2）-1-4犬+3'

-l<x<0

直线方程2x—2ay+3+a=O,即为y=L+半，

a2a

设直线/的倾斜角为a,

i14x4-3.3

则h1Itana=—=-----=2------,

a2x+32x+3

因为-IWXWO,

所以1V2X+3V3,

3

则"上R3,

3

所以T42-K”，

即一l«tana<l,

因为2£（0,%），

所以ae（0,勺口畔,乃），

44

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题关键是得到点P在线段AB上，再根据点P的直线1上，联立求得

2x+3_2x+3_2x+3

,再利用斜率与倾斜角的关系而得解.

2y-\2（2x+2）-l4x+3

9.已知/（x）=sin（ftzx+a+g同时满足下列三个条件：①|/（占）-/（々）|=2时阮-司最小值为

②是奇函数;③若Ax）在[OJ）上没有最大值，则实数t的范围是（）

（乃]LH1（4111<511_

A.It]B.C.D.1r]

【答案】D

【分析】由条件①得出函数的半周期，进而求得3的值，结合条件②③讨论并确定3和6的值,

得函数解析式，最后结合函数图像可求得t的取值范围.

【详解】因函数/（X）=sin（s+9+至最大值为1,最小值为T,而|/（占）-/（电）|=2,则x=为，x=々

为函数/（X）图象的两条对称轴，

|占-到最小值为六,而相邻两条对称轴间距离为半周期，即周期7=乃，|切=申=2,

当。=一2时，/（x）=sin（-2x+s+。），

/（x-y）=sin[-2（x-y）+^+y]=sin（-2x+Q+%）=sin（2x—夕）是奇函数，则9=k兀（keZ）,

f(x)=sin(-2x++^),/(O)=sin(br+"/(£)=sin%万，而,

336Vo7

rr

sin囱r+§)>sinbr,当k为偶数时成立，

TT27r

此时,f(x)=sin(-2x+g)=sin(2x+~y),

7T

当G=2时，f(x)=sin(2x+9+§),

7T7TTTTT7T

f(x--)=sin[2(x_§)+0+1]=sin(2x+°-§)是奇函数,则°一彳二%万/eZ),

(p=k7r-¥—,/(x)=sin(2x+k兀+—),/(0)=sin(女4+—),/(—)=sin(27r+4),

3336

而/(0)>/但],即$也(题+4)>5皿%4+笈)，当k为偶数时成立，/(x)=sin(2x+^),

(6J33

综上得〃x)=sin(2x+争，

0W时，y27<r2x+y27<r2r+y27r,因f(X)=sill(2x+q24)在没有最大值,

则有函数丫=5皿》在［与,2f+符)上没有最大值，如图是y=sinx的部分图象，

,171净寸，sinx取最大值1,从而有与<2f+笄寿，*

sm一

33

故选：D

24

【点睛】结论点睛：正余弦型函数y=Asin(3x+4^y=Ac°s(3x+3)中'最小正周期为7=两,

最大值为IA|,最小值为-|A|.

1

10.若函数/(x)=lnx-f+QX在XE一,e上有两个零点，则实数”的取值范围为()

e

l,e-l

A.B.l,ed—

C.l,e--D.1,eH—

ee

【答案】C

【分析】原问题等价于。=犬-9日在xeLe上有两解，即直线>与函数/z(x)=x-也，

xLeJx

xe-,e的图象有两个不同的交点即可求解.

_e_

【详解】解：由题意，Inx-V+G^o在xeLe上有两解，

e

即a=x-皿在xeLe上有两解，

xLe

令〃(x)=x一处，故/f(x)='+］竽―1,

XX

令夕(x)=%2+inx-l,故0(x)在xwLe上单调递增，且9⑴=0,

e_

所以当xe时，"'。)<0，当xe(l,e］时，h'{x}>0,

・•・〃(x)在一“上单调递减，在(Le］上单调递增，

，人(x)min=〃⑴=1，又从1)=e+L/2(e)=e--,

ee

/.67€|1,e—,

Ie.

故选：c.

【点睛】思路点睛：已知函数有几个零点或方程有几个根求参数的取值范围的问题，常常分离参数,

将原问题等价转化为直线与函数图象的交点来解决.

11.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球。的球面上，圆锥的母线长为3,侧面展开图的面积为3万，

则球0的表面积等于()

,811、81万门121乃八1211

A.——B.—C.-------D.------

8282

【答案】A

【分析】由圆锥侧面面积求得圆锥的底面半径，作出圆锥的轴截面，其外接圆是球的大圆，由图形

求得球半径，从而可得球表面积.

【详解】设底面半径为，圆锥母线为/=3,所以万"=3仃=3万，所以/■=1,

如图，A/WC是圆锥轴截面，外接圆。是球的大圆，£)是圆锥底面的圆心，

设球半径为R,则AB=3,BD=1,所以AD=JAU-BD2=^/^l=2-，

如图1,BO2=BD2+OD2,即R?=1+(AO-A£>)2=l+(R-2&『，

解得区=吟=层<AD=2&=况,不符合题意，

当为如图2时，即代=l+(AO-AO)2=l+(2&-R『，

解得及=1，所以球表面积为5=4万/?2=4万、［乎］=%.

故选：A.

【点睛】方法点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是求得球的半径.在球圆锥或圆柱、圆台问

题中可以作出圆柱（圆锥，圆台）的轴截面，轴截面的外接圆为球的大圆，由此建立了球半径与圆

柱（圆锥圆台）的量之间的关系.

12.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到.任画

一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把“中间一段”去掉，这

样，原来的条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小

线段重复上述步骤，得到了16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“"次

构造”，就可以得到一条科曲线.若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，至少需要通过构造的次

数是（）.（取1g2=0.3010,1g3=0.4771）

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

【分析】由折线长度变化规律得到n次构造后，曲线的长度为=建立不等

式a>100«,利用对数运算求解.

【详解】设原线段长为a,经过n次构造后，曲线的长度为/“，

则经过1次构造后，曲线的长度为4=?X4=1，

经过2次构造后，曲线的长度为4=3x4x4x4=U[a,

233

经过3次构造后，曲线的长度为g=Wxgx；x4x4x4=（q]a,

依次类推,

经过n次构造后,曲线的长度为m若=电”〃

若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，

则仁)aNIOOa,

.....IglOO22

匚厂］、In>log&100=-=-------------=------------------------=16.013

所以：,421g2-lg32x0.3010-0.4771，

e3

所以至少需要通过构造的次数是17.

故选：C

【点睛】本题主要考查数列新定义运算问题涉及到对数运算，还考查了推理论证的能力，属于中档

题.

二、填空题

13.某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校

学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样

本中的高三学生人数为.

【答案】78

【分析】由题意求出高三学生人数，再根据高一学生的抽样比计算高三抽样人数即可.

【详解】设学校有高三学生x人，则高二学生x+30人，.•.x+(x+30)+480=1290,解得x=390

.96

人，该样本中的高三人数为4X390=78人.

480

【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，意在考查学生的基本运算能力，属于中档题.

14.在中，角A,B,C所对的边分别是b,c,已知acos3+bcosA=2ccosC,

sinA=4sin8,c=V5.则AABC的面积为

【答案】6

【分析】由正弦定理的边角关系，结合两角和正弦公式得sin(A+B)=2sinCcosC,根据三角形内

角的性质求角C,再由余弦定理求。力，利用三角形面积公式求AABC的面积.

【详解】由正弦定理，有：sinAcosB+sinficosA=2sinCeosC,即5皿4+3)=25m6'(：05(7,

C=TT-(A+B),0<A,B,C<TV,

1兀

：.cosC=-,即。=一，

23

又-a-=—"-,sinA=4sinB,即a=4〃，

sinAsinB

c2-er+h2-2abcosC=\3,解得b=l,〃=4,

故答案为：石.

【点睛】关键点点睛：由已知三角恒等关系，应用正余弦定理解三角形，由三角形的面积公式求面

积即可.

15.已知函数/")=怆(9/+1)+/-1,则不等式，(1%3力+2的解集为.

【答案】g，3

【分析】推导出函数y=是R上的偶函数，且在区间[(),”)上为增函数，且有"1)=1,进而

可将所求不等式变形为/(|1曜3助4/⑴，利用函数的单调性与对数函数的单调性可求得x的取值

范围.

【详解】函数〃“=怆(9/+1)+--1的定义域为R,

/(-x)=lg[9x(-x)2+l]+(-x)2-l=lg(9x2+l)+x2-l=/(x),该函数为偶函数，

由于函数“=9丁+1在xe[0,+oo)时单调递增，而y=lg"在〃e[l,+oo)时单调递增，

由复合函数的单调性可知，函数y=lg(9d+l)在xe[O,E)时单调递增，

又函数y=x?-1在xe[0,+oo)时单调递增，

故函数〃力=炮(9/+1)+/_1在[0,”)上单调递增，

log,,J=-唾3%，"1)=1，由/(1呜x)+小%&2得2/(|log3x|)<2/(l),

即可1幅动</(1)，所以|10g3H41，得-141呜》《1,解得卜万43.

因此，不等式“log3X)+2的解集为-3

故答案为：最3.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解函数不等式，推导出函数的单调性与奇偶性是解答

的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

22

16.设7K是双曲线E:*-方=1(“>0,"0)的左、右焦点，。为坐标原点，若E上存在点A,

使得/片4居=120°,且|OA|=A,则此双曲线的离心率为

【答案】卓

【分析】根据题意作出图示，在中根据余弦定理以及根据西+近=2而求解出M制,|A四的

长度，由此可求解出“，c的关系，从而离心率可求.

【详解】如下图所示：不妨设A为第一象限内的点，

因为在,①心中，由余弦定理可知|A用2+恒用2+|4用.恒国=属用2=4/,

又因为正+而'=2同，所以（而+正丫=（2正『，

22

所以M国+\AF2^-\AFt\-\AF2\=\FtF2^=4b,

所以21A用.|A局=牝2一助2=而2,所以|明卜|明|=2412,

又因为|A司-|A段=2a,

所以卜耳『+卜桂+|A片卜恒用=（|A用—M用）2+3|4用以用=10/,

所以10Y=4c2,所以《=»,所以e=@=巫，

a22c2

故答案为：叵.

2

【点睛】方法点睛：求解双曲线离心率的值或范围的常用方法：

（1）根据双曲线的方程直接求解出〃，c的值，从而求解出离心率；

（2）构造关于“，c的齐次方程，求解出的值，从而离心率可知；

a

（3）根据离心率的定义以及双曲线的定义求解离心率；

（4）利用双曲线及图形的几何性质构建关于e的不等式，从而e的范围可求.

三、解答题

17.已知数列｛4｝满足：q=g,数列的前"项和S,,=用巴.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若数列也｝满足:b“=ana„+i,求数列也｝的前项和列

n

【答案】（1）。"=不？(2)1=2(3〃+2)

【分析】（1）由可求出;

a„

（2）利用裂项相消法求解即可.

【详解】解：（1）当〃=10寸，5=2=',

当“22时，_L=S,_S,产即*-出工业二11=3〃-1,

a„""T22

则％=工，当”=1时也满足，

3n-l

•・•数列｛%｝的通项公式为：勺=5匕；

(2)由(1)可知2=44+1=7^~~

(3〃一l)(3〃+2)313〃-13n+2)

北=4+,+&+…+b,i+4

3n+2

lfl__11〃

=3U3n+2）2（3〃+2），

,、-n

••.数列包｝的前"项和I，=2（3〃7）•

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于｛。，伍｝结构，其中｛%｝是等差数列，也“｝是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于｛4+〃｝结构，利用分组求和法；

（4）对于」一结构，其中｛4｝是等差数列，公差为d,则——=3-----------，利用裂项相

消法求和.

18.为进一步提倡餐饮节约、制止餐饮浪费行为，商务部支持行业协会发挥自律作用，推动建立制

止餐饮浪费的长效机制，厉行勤俭节约、反对铺张浪费、倡导光盘行动.某酒店推出半份菜、“N-1”

点菜法、光盘就赠礼、免费打包等措施，大大减少了餐饮浪费，该酒店记录了采取措施前40天的

日浪费食品量和采取措施后40天的日浪费食品量的频数分布表，如下表所示：

采取措施前40天的日浪费食品量的频数分布表

日浪费食品

[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)

量（单位：kg）

天数1224141421

采取措施后40天的日浪费食品量的频数分布表

日浪费食品量

[0,1)亿2)12,3)[3,4)[4,5)15,6)16,7)[7,8)

（单位：kg）

天数1215622111

（1）将下面的2x2列联表补充完整,

浪费小于5kg的天数浪费不小于5kg的天数总计

采取措施前40天

采取措施后40天

总计

并回答：在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能否判断食品浪费情况与是否采取措施有关?

（2）估计该酒店倡导节约、采取措施后，日浪费食品量小于4kg的概率;

（3）估计该酒店倡导节约、采取措施后,一年能节省多少食品？（一年按365天计算，同一组中

的数据用该组区间的中点值为代表）

niad-hc)2

参考公式及数据：犬=其中〃=a+/?+c+d.

(a+i>)(c+d)(a+c)(h+d)

P(K2>k„)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）填表见解析；在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能判断食品浪费情况与是否采

取措施有关；（2）0.875；（3）949kg.

【分析】（1）根据题中信息完善2x2列联表，并计算出R2的值，结合临界值表可得出结论;

（2）利用频率估计概率即可；

（3）计算采取措施前40天和后40天的日浪费食品量的平均数的差，再乘以365即可.

【详解】解：（1）补充完整的2x2列联表如下：

浪费小于5kg的天数浪费不小于5kg的天数总计

采取措施前40

231740

天

采取措施后40

37340

天

总计602080

因为胪的观测值人畸Q萨金，i3.067X0.828.

所以在犯错误的概率不超过O.(X)1的前提下，能判断食品浪费情况与是否采取措施有关.

(2)由题可知，采取措施后40天的日浪费食品量小于4kg的频率为四笔竺=：=0.875,

408

所以估计该酒店倡导节约、采取措施后，日浪费食品量小于4kg的概率为0.875.

(3)该酒店采取措施前40天的日浪费食品量的平均数为

—x(0.5xl+1.5x2+2.5x2+3.5x4+4.5x14+5.5x14+6.5x24-7.5x1)=4.575(kg),

40

该酒店采取措施后40天的日浪费食品量的平均数为

—x(0.5x12+1.5x15+2.5x6+3.5x2+4.5x2+5.5x1+6.5x1+7.5x1)=1.975(kg),

因为(4.575-1.975)x365=949(kg),

所以估计该酒店倡导节约、采取措施后，一年能节省949kg食品.

【点睛】方法点睛：独立性检验的一般步骤为：(1)列出2x2列联表；(2)利用独立性检验的K?公

式求出K?;(3)查表下结论.

19.如图，己知四棱锥P-A3CD中，/^/(。，。，"分别是^^/^的中点，「。_1_底面43。。，

S.PO=OD=DA=AB=BC.

(1)证明：P4〃平面

(2)若尸0=2,求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

3

【分析】（1）中位线性质、线面平行的判定有0M//平面PAO,由平行四边形的判定及性质有

OB//AD,结合线面平行的判定有03〃平面皿＞,根据面面平行的判定和性质可证/%//平面

OBM.

（2）由几何体的组合关系有乙“他=匕＞一佃8=%-叱-匕/一八必，结合三棱锥体积的求法求三棱锥

M-R4B的体积.

【详解】（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，。是CQ中点，M是PC的中点，

QW是△CPD的中位线，即QM//PO,又PDu平面PAD,平面PA。，

0M〃平面PAD,

AB//8且AB」CO=OO,

2

四边形480。是平行四边形，有OB//AD,

：A£＞u平面PAD,03平面PAD,

二08〃平面R4Z）,而QA/cQB=O,

...平面O8M〃平面aw,又P4u平面PAD,

二P4〃平面OBM.

（2）连结M4,AC,由他=3C=CO=OB=2,

.,.△ABC的面积5AAec=6，又尸0=2,

•••三棱锥P-ABC的体积为%T%=；XS,A8CX2=：X括x2=半，%_ABC=¥

故三棱锥M-PA8的体积为：VM_PAB=VP.MAB=VP.ABC-VM*当

【点睛】关键点点睛：

（1）应用线面平行、平行四边形的判定及性质证线面平行，再由面面平行的判定和性质证线面平

行;

（2）将三棱锥分割为两个棱锥，再由棱锥的组合关系结合棱锥的体积公式求体积.

20.已知抛物线V=4x,焦点、为F.

(1)若圆心在抛物线丁=4尤上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线x+l=()相切，求所有

的圆都经过的定点坐标；

(2)若过尸点的直线与抛物线相交于用、N两点，若前=T成，求直线的斜率.

【答案】(1)(1,0)；(2)土*

【分析】(1)根据抛物线的定义可得出结果；

(2)设M(AX)、N(x2,y2),设直线MN的方程为》=W)，+1,与抛物线的方程联立，列出韦达

定理，由两=-4而可得出乂=-4%，代入韦达定理可求出，”的值，即可得出直线MN的斜率.

【详解】(1)抛物线V=4x的准线方程为x=-l,焦点F为(LO),

由抛物线的定义可知所有的圆都经过的定点为焦点F,坐标为(1,0)；

(2)设例(%,%)、N(x2,y2).

由成=T而，可得(玉一1,)|)=-4&-1，%)，二乂=-4)，2，

若直线MN与x轴重合，此时直线MN与抛物线y2=4x只有一个交点，不合乎题意.

设直线MN的方程为x=冲+1,

Ix=/ny+1,

联立〈2:，可得»-4机)，-4=0,A=16/n2+16>0,

/=4x

fy.+y,=4机4

由韦达定理可得'”,则,+必=-3%=4"，可得当=-；胆，

1y访=-43

My2=-4y；=-4,可得y；=£]=l,解得加=土;，

14

因此，直线MN的斜率为一=±二.

m3

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标为(与方)、(&,%)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X(或y)的一元二次方程，必要时计算4；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为%+々、x,x,(或x+%、力%)的形式；

(5)代入韦达定理求解.

21.已知函数/（犬）=一，/+（。+1）*2-01.

（1）若/（x）在（2,叱）上有极值，求。的取值范围;

（2）求证：当一/<〃<2时，过点尸（0,-1）只有一条直线与〃x）的图象相切.

【答案】（1）（4,内）；（2）证明见解析.

【分析】（1）由/'（*）=0可求得两根，由〃x）在（2,内）上有极值可构造不等式求得结果；

（2）设切点为0,-y+（a+i）/一a，，由切线斜率左=尸⑺和两点连线斜率公式可化简得到

QQ

+/+1=0,将问题转化为y+产+1=0有且仅有一个实根；令

Q

g（r）=1?-（a+l）r+l,利用导数可求得g⑺的单调性和极值，结合零点存在定理可确定g（f）=0

在（9,0）上有唯一的实数根%e（-l,0）,由此证得结论.

【详解】（1）由题意得：/（司=7/+2（。+1）工一。=—（2x—l）（2x—。）,

由r（x）=0得：玉=；,电，，

•.•/（X）在（2,内）上有极值，.•/>2,解得：a>4,

的取值范围为（4,y）.

（2）设过点P（（）,-l）的直线与“X）的图象切于点口.-gr+S+i）产一可，

则切线斜率&=/⑺=4+2（“+1）f=-+丁：i”-

Q

整理可得：-t3-（a+l）t2+l=O,

Q

若过点p（o,-1）只有一条直线与/（x）的图象相切，则关于f的方程|『-S+1）/+1=0有且仅有1个

实根，

Q

设g（f）=]/_（a+l）/+l，则g'（f）=8产-2（a+l）f,

由g'（f）=0得：6=0,，2=?>。，

.,.当fe（-8,0）U（^^,+°o）时，g'（「）>0;当时，g'（f）<。；

；.g⑺在（y,0）,（等,+8）上单调递增，在上单调递减，

+1=」（〃+1八1

•••g（。乩g然卜I•空〔噜48V7

•，,―1<6!<2,0<6!+1<3>——(a+1)+1>0,即g(4)>0，

oo«

・・・当f>()时，g(f)>o,5(-1)=-1-(^+1)=-1-0<-|<0,又g(r)在(f,0)上单调递增，

，g(r)=0在(3,0)上有唯一的实数根1,0),

即当时，过点尸(0,-1)只有一条直线与/(x)的图象相切.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，本题证明切线有且仅有一条的关键是能

够将问题转化为方程根的个数的问题，即函数零点个数的问题，进而利用导数确定函数的单调性和

极值，结合零点存在定理确定零点个数.

22.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为

p+2cos0-1-0,曲线G的极坐标方程为。sin,+£|=^