新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数-2022新高考一轮复习课件

1、任意角和弧度制、三角函数的概念2、同角三角函数的基本关系及诱导公式P343、三角函数的图象与性质P644、三角恒等变换P1065、函数y=Asin(ωx+φ)P1516、解三角形P1857、三角函数模型的应用P229第五章三角函数课标要求1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.备考指导本节内容是三角函数的基础,复习时要熟记三角函数的定义、各象限符号值特点以及特殊角的三角函数值,注意角度与弧度的互化.特别地,理解并掌握终边相同的角的集合对于记忆后面三角函数的性质大有好处.【知识筛查】

1.任意角(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类:我们规定,一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角.这样,我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角.(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.2.弧度制(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式3.任意角的三角函数

温馨提示1.各象限三角函数值符号的记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.即第一象限正弦函数值、余弦函数值和正切函数值均为正,第二象限正弦函数值为正,第三象限正切函数值为正,第四象限余弦函数值为正.2.利用角的终边上任意一点的坐标定义三角函数:设点Q(x,y)是角α终边上任一点,则1.象限角

2.轴线角

4.特殊角的三角函数值

【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)小于90°的角是锐角.(

)(2)若sinα>0,则α是第一、第二象限的角.(

)(3)相等的角的终边一定相同,终边相同的角也一定相等.(

)(4)锐角是第一象限角,反之亦然.(

)(5)三角形的内角必是第一、二象限角.(

)×××××DB4.已知角θ的终边经过点P(12,-5),则cosθ的值为

.

5.若角θ同时满足sinθ<0,且tanθ<0,则角θ的终边一定落在第

象限.

四

由sin

θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合.由tan

θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.能力形成点1角的表示及象限的判定(3)已知角α为第三象限角,则2α的终边在

.

第一或第二象限或y轴的非负半轴

由α是第三象限角,得则2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).故角2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴.拓展延伸例1(1)改为求“终边在射线”上的角α的集合.解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α所在的象限即可.CC二或第四

能力形成点2利用三角函数定义求三角函数值D(2)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sinα+5cosα+4tanα=

.-2或-4解题心得用定义法求三角函数值的两种情况:(1)已知角α终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求三角函数值;(2)已知角α的终边所在的直线方程,注意角α的终边位置有两个,对应的三角函数值有两组.B<能力形成点3扇形弧长、面积公式的应用例3

(1)已知扇形的半径为10cm,圆心角为120°,则扇形的弧长为

,面积为

.

(2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角α=

弧度时,其面积最大,最大面积是

.

2解题心得求扇形面积的最值常用的思想方法是转化法.一般从扇形面积公式出发,在弧度制下先使问题转化为关于α的函数,再利用基本不等式或二次函数求最值.对点训练3(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,则扇形的圆心角是

弧度,扇形的面积是

.

π-2设扇形的圆心角为θ,则扇形的周长是2r+rθ.依题意,2r+rθ=πr,所以θ=π-2.故扇形的面积(2)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10,则弦AB所对的圆心角α的大小为

,α所在的扇形弧长l为

,弧所在的弓形的面积S为

.

审题线路图——挖掘隐含条件寻找等量关系

典例

如图,在平面直角坐标系Oxy中,某单位圆的圆心的初始位置在点(0,1)处,此时圆上一点P的位置在点(0,0)处,圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为

.

审题要点1.已知条件:滚动后的圆心坐标为(2,1)和圆的半径为1.2.隐含条件:点P转动的弧长是2.3.等量关系:P转动的弧长等于弧长所对的圆心角.4.解题思路:求点P坐标可借助已知的坐标(2,1),通过构造直角三角形,并在直角三角形中利用三角函数定义可求出.答案:(2-sin2,1-cos2)解析:如图,作CQ∥x轴,PQ⊥CQ,Q为垂足.反思提升1.解决本例应抓住在旋转过程中角的变化,结合弧长公式、解三角形等知识来解决.2.审题的关键是在明确已知条件的基础上,寻找出隐含条件;解题的关键是依据已知量寻求未知量,通过未知量的转化探索解题突破口.2、同角三角函数的基本关系及诱导公式课标要求备考指导本节的重点是同角三角函数的基本关系式及诱导公式的记忆与应用,复习时在理解的基础上熟记公式,注意训练它的直接或变形应用,提升数学运算的素养.【知识筛查】

2.三角函数的诱导公式

同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α=1-cos2α=(1+cosα)(1-cosα);cos2α=1-sin2α=(1+sinα)(1-sinα);(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.【知识巩固】

××××DCDD6.已知tanθ=2,则sinθcosθ=

.

能力形成点1同角三角函数基本关系式的应用C能力形成点2利用sinα±cosα与sinαcosα的关系求值2.利用上述关系,对于sin

α+cos

α,sin

α-cos

α,sin

αcos

α这三个式子,可以知一求二.DC能力形成点3诱导公式的应用命题角度1利用诱导公式化简三角函数式例3

(1)sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)=

.1命题角度2利用诱导公式求值解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式化大角为小角;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.C(2)sin600°+tan240°的值等于

.

逻辑推理素养——三角恒等式的证明1.非条件等式的证明证明三角恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程,证明方法有以下几种(1)由繁到简,当恒等式的一边较繁而另一边较简时,一般以较繁的一边恒等变形到另一边.(2)左右归一,当恒等式的两边都较繁时,可将两边分别化简为同一个式子.(3)作差为零,即比较法的应用,当恒等式的两边都较简时常使用此法.(4)综合证明,利用已知的恒等式或公式,经过推理得到所要证明的等式.2.条件等式的证明含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前所述,但应注意条件的利用,常用方法有以下三种(1)直接法:从条件直接推到结论.(2)代入法:将条件代入到结论中,转化为非条件恒等式证明.(3)换元法:通过换元转化为代数恒等式证明.典例2

已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.证明:由tan2α=2tan2β+1,得tan2α+1=2(tan2β+1),即cos2β=2cos2α,即1-sin2β=2(1-sin2α),故sin2β=2sin2α-1.原式得证.3、三角函数的图象与性质课标要求1.能画出三角函数y=sin

x,y=cos

x,y=tan

x的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上,正切函数在区间

上的性质.备考指导本节重点是三角函数图象与性质的应用,尤其是周期性、单调性和对称性,是高考的热点.复习时要熟记正弦函数、余弦函数、正切函数图象的特点及其性质,注意整体思想在三角函数性质问题中的应用,提升数学运算素养,注重数形结合思想的运用.【知识筛查】

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

问题思考正弦函数、余弦函数的最值是多少?在何处取得?(2)余弦函数当x∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z)时,余弦函数y=cos

x单调递增,函数值由-1增大到1;当x∈[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)时,余弦函数y=cos

x单调递减,函数值由1减小到-1.当且仅当x=2kπ(k∈Z)时,y=cos

x取得最大值1;当且仅当x=(2k+1)π(k∈Z)时,y=cos

x取得最小值-1.温馨提示1.周期函数的周期不止一个.例如,2π,4π,6π,…以及-2π,-4π,-6π,…都是正弦函数的周期.事实上,∀k∈Z,且k≠0,常数2kπ都是它的周期.2.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是

个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.奇偶性若f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),则(1)f(x)为偶函数的充要条件是(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)y=cosx是减函数.(

)(2)若y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值是k+1.(

)(3)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.(

)(4)函数y=sinx图象的对称轴方程为

.(

)(5)函数y=tanx在整个定义域上是增函数.(

)××√××DC能力形成点1三角函数的定义域、值域BBCy=sin2x+sin

x-1,令sin

x=t,则有y=t2+t-1,t∈[-1,1],作出函数图象,如图所示,从图象可以看出,解题心得1.求与三角函数有关的函数的定义域通常要解三角不等式(组),解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.2.求三角函数值域、最值的方法(1)利用sin

x和cos

x的值域直接求.(2)形如y=asin

x+bcos

x的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式求值域;形如y=asin2x+bsin

x+c的三角函数,可先设sin

x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).(3)利用sin

x±cos

x和sin

xcos

x的关系转换成二次函数求值域.对点训练1(1)已知f(x)的定义域为[0,1],则f(cosx)的定义域为

.(2)函数y=sinx-cosx+sinxcosx(x∈[0,π])的值域为

.

[-1,1]2能力形成点2三角函数的单调性CA解题心得1.三角函数单调区间的求法(1)将函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的形式,根据y=sin

x与y=cos

x的单调区间列不等式的方法去解答.列不等式的原则是:①一般当ω为负值时,应用诱导公式化为正值;②把“ωx+φ(ω>0)”视为一个“整体”;③当A>0(A<0)时,所列不等式的方向与y=sin

x(x∈R),y=cos

x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要作出图象,结合图象判定.注意:求函数的单调区间首先要求函数的定义域,单调区间是定义域的一个子集.2.已知函数在某区间上单调求参数ω的范围的解法:先确定出已知函数的单调区间,再利用已知的单调区间为函数的单调区间的子集的关系求解.B能力形成点3三角函数的周期性、奇偶性、图象的对称性命题角度1三角函数的周期性

A2或3命题角度2三角函数的奇偶性例4

已知函数

是偶函数,则θ的值为

.命题角度3三角函数图象的对称性B

ACB数形结合思想在三角函数中的应用

1.判断方程的解(函数的零点)的个数典例1

求方程

的解的个数.解题心得此类含有三角式、指数式、对数式的方程,用初等方法不能求它的解.通常把这类方程分解成两个函数相等,把求方程的解转化为求两个函数图象的交点问题,利用函数图象的交点个数来确定方程的解的个数.变式训练1已知x∈(0,π],函数

在区间(0,π]上有两个不同的零点,则实数a的取值范围为

.

解题心得对于可化为形如sin(ωx+φ)≥a或sin(ωx+φ)<a(ω>0)的正弦函数不等式,可把(ωx+φ)视为一个整体,借助于y=sin

x(x∈R)的图象,首先在长度为2π的一个周期上找出适合条件的区间,然后两边加上2kπ(k∈Z),把它扩展到整个定义域上,最后解关于x的不等式,便可求出x的解.4、三角恒等变换课标要求1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).备考指导三角恒等变换是求解三角函数问题的重要工具,很多问题都需要先对已知函数进行恒等变形,化为适合于解答的形式,变形的方向是关键.复习时要牢记各个公式及公式的变形,理解公式之间的关联,会应用公式转化和解决问题,提升数学运算素养.【知识筛查】

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2.二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)sin2α=2sinαcosα;

(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;温馨提示1.二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α=β的特殊情况.3.辅助角公式

【知识巩固】

××√√×Dsin

20°sin

80°-cos

160°cos

80°=sin

20°cos

10°+cos

20°sin

10°=sin(10°+20°)=sin

30°=D4.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为

.

1∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin

φcos(x+φ)=sin

[(x+φ)+φ]-2sin

φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos

φ+cos(x+φ)sin

φ-2sin

φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos

φ-cos(x+φ)sin

φ=sin

[(x+φ)-φ]=sin

x,∴f(x)max=1.能力形成点1三角函数公式的直接应用解题心得三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.能力形成点2三角函数公式的逆用及变形应用B

BB解题心得运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟悉公式的直接应用,还要熟悉公式的逆用及变形应用,如tan

α+tan

β=tan(α+β)(1-tan

αtan

β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.对点训练2(1)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=

.

因为(sin

α+cos

β)2+(cos

α+sin

β)2=1,所以sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2sin

αcos

β+2sin

βcos

α=1+1+2sin(α+β)=1.所以sin(α+β)=能力形成点3三角函数公式运用中角的变换C解题心得求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.cos(30°-2α)=cos(180°-150°-2α)=-cos(150°+2α)=-2cos2(75°+α)+1能力形成点4三角函数式的化简-cosθ解题心得1.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂,“1”的代换,辅助角公式等.2.三角函数式化简的基本思路“一角二名三结构”,即:一看“角”,这是最重要的一环,通过角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式;二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”,关于sin

αcos

α的齐次分式化切等;三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”,“遇根式化被开方式为完全平方式”等.3.三角函数式化简的主要技巧(1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;(2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值.能力形成点5三角函数的求值命题角度1给角求值问题例5

求值:1命题角度2给值求值问题命题角度3给值求角问题解题心得1.“给角求值”:解决给角求值问题的关键是两种变换:一是角的变换,注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系,从而选择相应公式进行转化,把非特殊角的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函数;二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上,结合所求式子的特点合理地进行变形.2.“给值求值”:给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外某些函数式的值,以备应用.同时也要注意变换待求式,便于将由已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.3.“给值求角”:实质上也可转化为“给值求值”,关键是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围.半角公式及其应用

1.半角公式及其推导

温馨提示应用半角公式时,(1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正、负两个符号;答案:D5、函数y=Asin(ωx+φ)课标要求1.结合具体实例,了解函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义.2.能借助函数的图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.备考指导复习本节时,要掌握正弦函数、余弦函数图象平移、伸缩变换的规律,能根据已知的部分函数图象确定函数的解析式,并与前面三角恒等变换综合,能准确解答y=Asin(ωx+φ)型函数的性质问题.通过渗透数形结合思想和整体思想,提升数学运算和逻辑推理素养.【知识筛查】

1.φ对y=sin(x+φ)图象的影响把正弦曲线y=sinx上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度,就得到函数y=sin(x+φ)的图象.2.ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)图象的影响3.A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)图象的影响一般地,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.4.由函数y=sinx的图象变换到函数y=Asin(ωx+φ)的图象一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,可以用下面的方法得到:先画出函数y=sinx的图象;再把正弦曲线向左(或右)平移|φ|个单位长度,得到函数

y=sin(x+φ)的图象;然后把曲线上各点的横坐标变为原来的

倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(ωx+φ)的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的

A倍(横坐标不变),这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.温馨提示函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象也可以由函数y=sin

x的图象这样变换得到:问题思考如何使用“五点(画图)法”作函数y=Asin(ωx+φ)的简图?①列表:即三行六列表(如下表).②描点、连线,即得其在一个周期内的简图.③利用函数的周期性,将其向左、右平移周期的整数倍个单位长度,即得函数在R上的简图.类比正弦函数的性质得函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的性质【知识巩固】

×××√×AAB能力形成点1函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换解题心得1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种作法(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取

来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.(2)图象变换法:由函数y=sin

x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径,“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.2.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用

来确定平移长度.D能力形成点2求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式命题角度1由函数的图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式例2

(多选)(2020山东,10)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=(

)BC命题角度2由函数y=Asin(ωx+φ)的性质求解析式2.由函数y=Asin(ωx+φ)的性质确定其解析式的方法由函数的最值确定A,由函数的周期性确定ω,由函数的奇偶性或对称性确定φ,要注意φ的取值范围.对点训练2(1)若函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则(

)A能力形成点3函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用解题心得解决三角函数的图象与性质综合问题的方法先将y=f(x)化为y=asin

x+bcos

x的形式,再用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,最后借助y=Asin(ωx+φ)的性质(周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.D一题多解——根据函数的图象确定解析式6、解三角形课标要求1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理.2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.备考指导应用正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考必考考点之一,一般作为解答题出现,且常具有一定的开放性.此外,应用正弦定理、余弦定理解决生活中的一些实际问题也是新高考的热点,复习时要注意与三角恒等变换的综合应用,提升逻辑推理、数学运算、数学建模素养.【知识筛查】

1.余弦定理(1)余弦定理(2)余弦定理的推论

2.正弦定理

3.三角形的元素与解三角形(1)三角形的元素三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.(2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.问题思考在△ABC中,已知a,b和A时,三角形解的个数是否确定?不确定,解的情况如下:三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定.5.余弦定理、正弦定理的实际应用(1)基线在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.(2)实际测量中的有关名称、术语三角形中常用的结论(1)三角形中的三角函数关系sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;(2)在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c.(

)(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.(

)(3)在△ABC中,sinA>sinB的充分不必要条件是A>B.(

)(4)在△ABC中,a2+b2<c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件.(

)(5)在△ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个.(

)√√×√×2.在△ABC中,化简bcosC+ccosB的结果为(

)A.a B.b C.c D.A由正弦定理得bcos

C+ccos

B=2R(sin

Bcos

C+cos

Bsin

C)=2Rsin(B+C)=2Rsin

A=a(R为△ABC外接圆的半径).D由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos

A,即3b2-8b-3=0,又b>0,解得b=3,故选D.4.一船以15km/h的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为

km.

5.在△ABC中,若acosA=bcosB,则这个三角形的形状为

.等腰三角形或直角三角形

由正弦定理,得sin

Acos

A=sin

Bcos

B,即sin

2A=sin

2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或

故△ABC为等腰三角形或直角三角形.能力形成点1利用正弦定理、余弦定理解三角形解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多样,其中a=2Rsin

A,b=2Rsin

B,c=2Rsin

C(R为△ABC的外接圆的半径)能够实现边角互化.2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角进行判断.4能力形成点2与三角形面积有关的问题(1)若是求多边形的面积,则可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系,则需要运用正弦定理、余弦定理求出某两边及其夹角,利用三角形的面积公式进行求解.对点训练2在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)(b2-a2+c2)=2abccosC.(1)求角A的大小.解

(1)因为(2b-c)(b2-a2+c2)=2abccos

C,由余弦定理,可得(2b-c)cos

A=acos

C,由正弦定理,可得2sin

Bcos

A-sin

Ccos

A=sin

Acos

C,因为A+B+C=π,所以2sin

Bcos

A=sin

Ccos

A+cos

Csin

A=sin(C+A)=sin

B,能力形成点3判断三角形的形状例3

在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求角A的大小;(2)若,试判断△ABC的形状.解

(1)由2asin

A=(2b-c)sin

B+(2c-b)sin

C及正弦定理,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,∵0°<A<180°,∴A=60°.解题心得要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.主要有以下两条途径(1)“角化边”:把已知条件(一般是边的一次式,角的正弦、余弦)转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得到边的对应关系,从而判断三角形形状.(2)“边化角”:把已知条件(边的二次式、两边的积、角的余弦)转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形形状,此时要注意A+B+C=π这个结论.注意:(1)在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,以免漏解.(2)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.对点训练3在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC的形状.能力形成点4正弦定理、余弦定理与三角变换的综合问题解题心得1.在三角形中进行三角变换要注意隐含条件A+B+C=π,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.2.在解三角形问题中,因为面积公式

中既有边又有角,所以要和正弦定理、余弦定理联系起来;要灵活运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,为三角变换提供条件.能力形成点5正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用例5

如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山脚C在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山脚C在西偏北75°的方向上,山顶D的仰角为30°,则此山的高度CD=

m.

解题心得利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.对点训练5某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°、距离为10km的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以10km/h的速度行驶,海军舰艇立即以

的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.三角形中的边角关系设△ABC的三边是a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA.证明:如图,在△ABC中,AD⊥BC,则bcosC=CD,ccosB=BD,故bcosC+ccosB=CD+BD=BC=a,即a=bcosC+ccosB,同理可证b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.典例1

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是(

)A.a=2b B.b=2a

C.A=2B D.B=2A答案:A解析:(方法一)因为sin

B(1+2cos

C)=2sin

Acos

C+cos

Asin

C,所以sin

B+2sin

Bcos

C=sin

Acos

C+sin(A+C),所以sin

B+2sin

Bcos

C=sin

Acos

C+sin

B,即cos

C(2sin

B-sin

A)=0,所以cos

C=0或2sin

B=sin

A,即C=90°或2b=a.因为△ABC为锐角三角形,所以0°<C<90°,故2b=a.故选A.(方法三)由正弦定理及sin

B(1+2cos

C)=2sin

Acos

C+cos

Asin

C,得b+2bcos

C=2acos

C+ccos

A=acos

C+(acos

C+ccos

A)=acos

C+b,即2bcos

C=acos

C.因为△ABC为锐角三角形,所以cos

C≠0,则2b=a.典例2

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=

.

解析:(方法一)由2bcos

B=acos

C+ccos

A及正弦定理,得2sin

Bcos

B=sin

Acos

C+sin

Ccos

A,则2sin

Bcos

B=sin(A+C).∵A+B+C=π,∴A+C=π-B,∴2sin

Bcos

B=sin(π-B)=sin

B.答案:B解析:由sin

B+sin

A(sin

C-cos

C)=0及正弦定理,得b+asin

C-acos

C=0.由三角形的边角关系,得b=acos

C+ccos

A,可得asin

C+ccos

A=0,即sin

Asin

C+sin

Ccos

A=0.因为sin

C≠0,得sin

A+cos

A=0,所以tan

A=-1.7、三角函数模型的应用课标要求会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.备考指导现在高考越来越重视情境应用题,故三角函数模型在实际中的应用也会是命题的热点.复习时要理解实际问题的本质,通过题目已知条件建模,转化为三角函数的图象和性质问题.主要考查数据分析、数学建模和数学运算的素养,对数形结合思想渗透较多.【知识筛查】

1.函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞),其中A>0,ω>0.物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:(1)A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;(2)这个简谐运动的周期是,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;(3)这个简谐运动的频率由公式

给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;(4)ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.2.三角函数模型的建立

【知识巩固】

×√√√×2.已知某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin160πt+115,其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为(

)A.60 B.70 C.80 D.90C能力形成点1三角函数模型在物理中的应用例1

已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(单位:cm)随时间t(单位:s)的变化规律为(1)用“五点法”作出这个函数的简图;(2)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?(3)经过多长时间小球往复振动一次?解

(1)列表如下:描点、连线,图象如图所示.解题心得三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.对点训练1单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系为(1)作出它的图象;(2)单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少厘米?(3)单摆摆动到最右边时,离开平衡位置多少厘米?(4)单摆来回摆动一次需要多长时间?解

(1)列表如下:能力形成点2三角函数模型在生活中的应用例2

某风景区宾馆的工作人员为了控制经营成本