微分中值定理的研究

微分中值定理的研究

在一般教科书中，偏离平均理论指的是罗尔理、拉格朗日理论和科西理性。它们是微分学的基本理论，也是高等数学的难题。一元函数的微分学中,泰勒定理、罗必塔法则、函数的单调性与极值以及函数的凹凸性等相关知识涉及到众多的定理和结论,让初学者眼花缭乱,不知从何下手。事实上,这些定理和结论都是微分中值定理在理论推导方面的应用。深入研究微分中值定理,有助于加深对这些定理的理解;熟悉这些定理的证明,能促使学习者更好地掌握微分中值定理的具体应用。1在开区间内可导罗尔定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导且f(a)=f(b),则至少存在一点ξ∈(a,b),使f′(ξ)=0.1.1辅助函数fb-bbb-abb-abb-abb-abb-bb-bbb-bb-bbb-bb-bbb-bb-bbbb-bbbb-bbbb-bb-bbbbbb-bbbb-bbbb-bbbb-bbbbbbb-bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb定理1(拉格朗日中值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点ξ∈(a,b),使f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a.f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a.证定理结论可改写为:f′(ξ)-f(b)-f(a)b-a=0.f′(ξ)−f(b)−f(a)b−a=0.令F(x)=f(x)-f(b)-f(a)b-axF(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−ax,则只需证明存在ξ∈(a,b),使F′(ξ)=0.作辅助函数F(x)=f(x)-f(b)-f(a)b-ax‚(a≤x≤b)F(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−ax‚(a≤x≤b)直接计算知F(b)-F(a)=0即F(b)=F(a),并且F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导。由罗尔定理知,至少存在一点ξ∈(a,b),使F′(ξ)=0.即f′(ξ)=f(b)-f(a)b-af′(ξ)=f(b)−f(a)b−a.即证!1.2m值法求解bbgafab-fb-ga-gb-gb-gb-gb-gb-gb-gb-gb-gb-gb-ga-mb-b-gb-gb-gb-gb-mb-mb-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b的gb-g的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的gb-b-b-b-bb-b-b-bb-b-bb-b-b-bb-b-b-bb-b-bb-b-b-bb-b-m值m值m值m值m值m值m值m值m值m值法求解定理2(柯西中值定理)设函数f(x)、g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,g′(x)≠0,则存在ξ∈(a,b)使f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f′(ξ)g′(ξ).f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ).证(用M值法)令f(b)-f(a)g(b)-g(a)=Μf(b)−f(a)g(b)−g(a)=M,于是有f(b)-f(a)-M(g(b)-g(a))=0.令F(x)=f(x)-f(a)-M(g(x)-g(a))(把b换成x),则F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导且F(b)=F(a)=0.由罗尔定理知:至少存在一点ξ∈(a,b),使F′(ξ)=0,即f′(ξ)-Mg′(ξ)=0或者f′(ξ)g′(ξ)=Μf′(ξ)g′(ξ)=M,将M的值代入即得f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f′(ξ)g′(ξ)f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ),即证!1.3辅助函数n+1.定理3(泰勒定理)若函数f(x)在(a,b)上n+1阶导数存在,则对任何x,x0∈(a,b)有f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)2+f‴(x0)3!(x-x0)3+⋯+f(n)(x0)n!(x-x0)n+Rn(x)f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x),其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x-x0)n+1,ξ∈(x,x0).Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1,ξ∈(x,x0).证令f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)2+f‴(x0)3!(x-x0)3+⋯+f(n)(x0)n!(x-x0)n+(x-x0)n+1⋅Ηf(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+(x−x0)n+1⋅H,只需证Η=f(n+1)(ξ)(n+1)!.H=f(n+1)(ξ)(n+1)!.作辅助函数F(u)=f(u)+f′(u)1!(x-u)+f″(u)2!(x-u)2+f‴(u)3!(x-u)3+⋯+f(n)(u)n!(x-u)n+(x-u)n+1⋅Η,则可知F(u)在以x,x0为端点的区间上满足罗尔定理,事实上:i)由f(x)满足n+1阶可导知,f(x)的n阶导数连续,从而F(u)在[x0,x]或[x,x0]上连续;ii)由f(x)满足n+1阶可导知,F(u)在(x0,x)或(x,x0)上连续;iii)F(x0)=f(x),F(x)=f(x).故由罗尔定理知,存在介于x0与x之间的ξ,使F′(ξ)=0.而F′(u)=(x-u)nn!fn+1(u)-(n+1)(x-u)nΗ,由F′(ξ)=0,可知(x-ξ)nn!fn+1(ξ)-(n+1)(x-ξ)nΗ=0,解得Η=f(n+1)(ξ)(n+1)!,ξ∈(x0,x)或(x,x0).即证!2拉格朗日平均历史值的计算2.1拉格朗日乘子法第12,fx定理4若函数f(x)在区间(a,b)内可导,则:1)如果在(a,b)内,f′(x)≥0,那么f(x)在(a,b)内单调递增;2)如果在(a,b)内,f′(x)≤0,那么f(x)在(a,b)内单调递减.证1)任取x1,x2∈(a,b),不妨设x1<x2.则f(x)在闭区间[x1,x2]上连续,在开区间(x1,x2)内可导。由拉格朗日中值定理知:至少存在一点ξ∈(x1,x2),使得f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1).又由f′(x)≥0,x∈(a,b),得f(x2)-f(x1)≥0,即f(x2)≥f(x1),从而f(x)在(a,b)内单调递增。同理可证2).2.2配线型定理5若函数f(x)在区间(a,b)内可导,其导函数f′(x)在(a,b)内是单调递增函数,则f(x)为(a,b)内凸函数。证任取x1,x2,x3∈(a,b),不妨设x1<x2<x3,由拉格朗日中值定理可得:至少存在一点ξ1∈(x1,x2),使f(x2)-f(x1)x2-x1=f′(ξ1);至少存在一点ξ2∈(x2,x3),使f(x3)-f(x2)x3-x2=f′(ξ2).由ξ1<ξ2及f′(x)在(a,b)内单调递增知,f′(ξ1)≤f′(ξ2),即f(x2)-f(x1)x2-x1≤f(x3)-f(x2)x3-x2.由凸函数的定义知,f(x)为(a,b)内凸函数。3柯西中值定理罗必塔法则是求极限的一种非常有用的方法,下面我们利用柯西中值定理来证明它。定理6(罗必塔法则)设i)函数f(x)和g(x)在x0的某领域U(x0)内可微,且g′(x)≠0,ii)limx→x0f(x)=limx→x0g(x)=0(或∞);iii)limx→x0f′(x)g′(x)=A(或∞),则limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f′(x)g′(x)=A(或∞).证补充定义f(x0)=g(x0)=0.任意x∈U(x0),不妨设x0<x,则f(x)与g(x)在闭区间[x0,x]上连续,在开区间(x0,x)内可导,g′(x)≠0,满足柯西中值定理条件。由柯西中值定理可得:至少存在一点ξ∈(