专题1比较大小（教师版）

专题1：比较大小<<<专题综述>>><<<专题综述>>>高考数学比较大小专题是高考数学考试中的一个重要专题.在这一专题中，考生需要掌握一些基本的数学知识和技巧，以便能够在考场上正确地解决大小关系的问题.<<<专题探究>>><<<专题探究>>>题型一：题型一：常用的方法与技巧常用的比较大小的方法有作差法，作商法，及中间量比较法，当两个数直接比较大小困难时，可以尝试引入中间变量辅助判断，中间量的选取因题而异，需要多观察题目本身的特点，通过一定的转化寻求恰当的中间量，这需要多体会和多积累经验.例1(2021·安徽省蚌埠市模拟)已知55<84,134<85，设A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b【思路点拨】根据条件55<84,134<85【规范解析】a=log53=ln3ln5a-b=ln3c-45=ln8综上所述，a<b<45<c,

即a<b<c,练1(2022·湖北省襄阳市模拟)已知(13)m=log3m，(13)n=logA.n<p<m B.n<m<p C.m<n<p D.m<p<n【规范解析】设f(x)=(13)x-log3x，x∈(0,+∞)，则函数f(x)∵f(m)=0，∴1<m<2，

∵log13∵α∈[0,π2),∴cosα∈(0,1]，

∴p=cosα+1cosα≥21=2，当且仅当cosα=1cosα练2(2022·湖北省武汉市联考)正实数a,b,c满足a+2-a=2,b+3bA．b<a<c B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a【规范解析】∵a+2-a=2，即a+则f'x=1-ln22x>0则f2=2+2-2-2=则1<a<2；∵b+3b=3令gx=x+3x-3，又g1=1+3-3=1>0，∴g1∙g1∵c+log4c=4，令hx=x+log又h4=4+log∴h3∙h4故b<a<c，故选A.题型二：题型二：数形结合比较大小根据条件，将比较大小与函数图象结合起来，特别是具有“共性”的图象，通过几何直观，辅以简单计算，来确定大小关系.例2(2022·浙江省杭州市联考)设x1,x2,xA．x1<xC．x2<x【思路点拨】根据三个方程的“共性”，即都是与y=e-x【规范解析】作出函数y=e-x与y=lnx，y=ln(x+1)，如图所示，由图象可知：A，B，C的横坐标依次为x2即有x2故选D.练3(2022·湖南省长沙市联考·多选)设实数a，b，c满足eA．a<b<cB．a<c<bC．c<a<bD．c<b<a【规范解析】如图，画出函数y=ex，y=lnx，当ea=lnb=1-c=k∈(0,1)时，根据图象可知当ea=lnb=1-c=k>1时，故选：BC.练4(2022·河北省石家庄市模拟)设a,b,c依次表示函数fhx=(12)【规范解析】函数fx即为方程x1在坐标系中分别画出函数y=x12如图所示，结合图象，可得b<c<a.故答案为：b<c<a.题型三：构造题型三：构造函数比较大小利用所给条件的结构进行构造函数，可以是“同构函数”，也可能是直接作差构造函数，通过对函数的性质的研究，来达到解决问题的目的．例3(2022·河南省郑州市模拟)若1a=π1πb=313c=e(其中e为自然对数的底数)A.c<b<a B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b【思路点拨】根据方程，求解出a,b,c的表达结构，根据结构特征，构造函数fx=lnxx，通过研究f(x)的单调性确定a,b的大小关系，而对于b,c【规范解析】因为1a=π1πb=313c=e，所以ln1a=lnπ1πb=ln313c=1．

解得a=1elne，b=1πlnπ，c=13ln3．

令f(x)=lnxx，则a=f(e)，b=f(π)，c=f(3).

因为

f'(x)=综上

c<b<a．故选A．练5(2022·新高考1卷)设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b【规范解析】a=0.1e0.1，b=0.11-0.1，c=-ln(1-0.1)，

=1\*GB3①lna-lnb=0.1+ln(1-0.1)，

令f(x)=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],则f'(x)=1-11-x=-x1-x<0，故f(x)在(0,0.1]上单调递减，

可得f(0.1)<f(0)=0，即lna-lnb<0，所以a<b；

=2\*GB3②a-c=0.1e0.1练6(2022·江苏省南京市模拟)已知定义在R上的函数y=f(x)满足；函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，且当x∈(-∞,0)时，f(x)+xf'(x)<0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)恒成立，若a=(sin12A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b【规范解析】∵函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，∴y=f(x)关于y轴对称，∴函数y=xfx为奇函数．∵∴当x∈(-∞,0)时，xfx'=f当x∈(0,+∞)时，函数y=xfx∵0<sin12<12，1>ln2>lne=故选A.<<<专题训练>>><<<专题训练>>>1.(2022·湖北省荆州市模拟)已知正实数a，b，c满足12a=log2a，13aA．a<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．c<a<b【解析】因为c=log12c，所以-c=所以a,b,c分别为y=12x，y=13图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，y＝－x与y＝log2x的图象，如图，由图可知c<b<a.故选B.2.(2020·全国新课标Ⅰ理科)若2a+log2a=A.a>2b B.a<2b C.a>b2 【解析】根据指数及对数的运算性质，4b∵log2(2b)=根据函数f(x)=2由f(2b)>f(a)，得a<2b，故选B．

3.(2022·全国理科甲卷)已知a=3132,b=cos14A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b【解析】因为cb=4tan14，因为当x∈0,π2设f(x)=cosx+12x2-1,x∈(0,+∞)，则f14>f(0)=0，所以cos1故选A.4.(2020·浙江省杭州市模拟)已知实数a,b,c∈0,1，e为自然对数的底数，且abe3=3ebA．b<a<cB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b【解析】解依题意可得eaa=e2构造函数fx=exxx>0，求导得当x∈0,1时，f'x<0，fx单调递减；当x∈1,+∞因为1<ln4<2<3，所以f又因为a,b,c∈0,1，fx在0,1上单调递减，所以故选：A． 5.(2022·浙江省温州市模拟)已知a=e0.1，b=ln1.22+1A.b>a>c B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c【解析】由b=ln令f(x)=lnx+1-x，则f'(x)=1x-1，当x∈(0,1)，f'(x)>0；当x∈(1,+∞)，f'(x)<0；

所以f(x)=lnx+1-x在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，且f(1)=0，

则f(1.2)<0，因此ln1.2+1-1.2<0，所以b<c，

又因为c=1.26.(2022·江苏省扬州市模拟)若a=2tan1，b=2，c=ln4+12，则a，b，A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.b<c<a【解析】令f(x)=2lnx+1x-x，则f'(x)=2⋅1x-1x2-1=-(x-1)2x因为0<π4<1<π2，所以2tan⁡1>2tan⁡π4=2，7.(2022·辽宁省沈阳市联考·多选)已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，图像关于y轴对称，其导函数为f'(x)，且当x<0时，f'(x)>f(x)x，设a>1，则下列大小关系正确的是(

)A.(a+1)f(4aa+1)>2af(2a【解析】由题意，当x<0时，构造函数g(x)=f(x)x，则g'(x)=xf'(x)-f(x)x2<0，

所以x<0时，g(x)单调递减，又由题意可得f(x)是偶函数，

所以对于A，∵a>1，∴0<4aa+1<4a2a=2a，∴g(4aa+1)>g(2a)，即f(4aa+1)4aa+1>f(2a)2a，∴(a+1)f(4aa+1)>2af(2a)∴g(a+1)<g(4aa+1)，即f(a+1)a+1<f(4aa+1)4aa+1，∴4af(a+1)a+1<(a+1)f(4aa+1)，故C错误；

对于D，8.(2022·山东省临沂市模拟)设a=15，b=2ln(sin110+cos110)，【解析】b=2ln(sin110+cos110)=ln(sin110+cos110)2=ln(1+sin15)，

令f(x)=x-sinx，则f'(x)=1-cosx≥0，即f(x)在(0,1)上单调递增，且f(0)=0，

所以f(15)=15-sin1故h(x)在(0,15)故h(15)=ln65-9.(2022·山东省威海市期末)已知函数f(x)=ex(x试比较ln(mn)+zez，ln(mz)+nen，【解析】依题意，f(m)>f(