2022年中考数学总复习考点知识梳理5.2第2课时菱形

第2课时菱形◎理解菱形的概念.◎探索并证明菱形的性质定理和判定定理.菱形是安徽中考的高频考点,考试题型包括选择题、填空题、解答题,经常与其他知识点综合起来考查,难度在中等或中等以上.命题点与菱形有关的推理及计算[10年5考]1.(2021·安徽第8题)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB,BC的垂线,交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为(A)A.3+3 B.2+23 C.2+3 D.1+23【解析】解法1:∵AB=2,∠A=120°,∴S菱形=2×12解法2:连接AC,BD,交点为O,则AC⊥BD.∵∠BAD=120°,∴∠BAC=60°,∠ABD=30°.∵AB=2,∴OA=1,OB=3.改编题如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,过矩形ABCD的对称中心O分别作边AB,BC的垂线,交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为20.

【解析】易知E,F,G,H均为相应边的中点,故EH=EF=FG=HG=5,则四边形EFGH的周长为20.2.(2015·安徽第9题)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4.点E在AB上,点F在CD上,点G,H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是(C)A.25 B.35 C.5 D.6【解析】连接EF交AC于点M.由四边形EGFH是菱形可得FM=EM,EF⊥AC;利用“AAS”或“ASA”易证△FMC≌△EMA,根据全等三角形的性质可得AM=MC.在Rt△ABC中,由勾股定理求得AC=45,且tan∠BAC=BCAB=12菱形定义典例如图1,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE交BC于点G.(1)只添加下面一个条件,能证明四边形ABCD是菱形的是(只填序号).选取其中的一个条件,并写出证明过程.

①AC平分∠BAD;②OA=OB;③OA=OC.(2)在(1)“四边形ABCD是菱形”成立的前提下,若AB=5,BD=2.①求OE的长;②求sin∠DAB的值;③若P,Q分别为AC,AB边上的动点,则PB+PQ的最小值为.

(3)在(1)“四边形ABCD是菱形”成立的前提下,若AC=2CE=6,在AB上取点F,使AF=BG,如图2,连接DF,DG,FG.求证:△DFG是等边三角形.【答案】(1)①③.选择①:∵AB∥DC,∴∠DCA=∠CAB.∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAB,∴∠DAC=∠DCA,∴AD=DC.∵AB=AD,∴AB=DC.又∵AB∥DC,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.选择③:∵AB∥DC,∴∠DCO=∠BAO,∠CDO=∠ABO.又∵OC=OA,∴△DOC≌△BOA,DC=AB,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.(选择其中一种证明即可)(2)①∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OB=12BD=1,AC=2OA在Rt△OAB中,OA=AB2-OB∵CE⊥AB,OA=OC,∴OE=12AC=2②∵CE⊥AB,∴∠AEC=∠AOB=90°.∵∠BAO=∠CAE,∴△AOB∽△AEC,∴OBAB∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∴∠DAB=∠CBE,∴sin∠DAB=sin∠CBE=CEBC③45(3)∵AC=2CE=6,CE⊥AB,∴∠CAE=30°.∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,AC⊥BD,∴∠DCB=∠DAB=2∠CAE=60°,∴△ABD,△BCD是等边三角形,∴AD=BD,∠DAB=∠DBC=∠ADB=60°.∵AF=BG,∴△ADF≌△BDG,∴DF=DG,∠ADF=∠BDG.∵∠ADF+∠FDB=60°,∴∠FDB+∠BDG=60°,即∠FDG=60°,∴△DFG是等边三角形.【选题意图】本题通过一个题组将安徽中考中常考的有关菱形性质与判定的各种题型串联起来.(1)考查菱形的判定;(2)考查菱形的性质;(3)考查含有60°角的特殊菱形的性质.提分如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF.(1)求证:AC⊥EF.(2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O.若BD=4,tanG=12,求OA的长解:(1)连接BD,交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,AC⊥BD,OB=OD.∵BE=DF,∴AB∶BE=AD∶