《高等应用数学》（何文阁） 第五章教案 5.2一阶微分方程及其应用

课题一阶微分方程及其应用课时1课时（45min）总40课时教学目标知识技能目标：（1）理解可分离变量的微分方程并会求解。（2）掌握一阶线性微分方程的求解及其应用。思政育人目标：能够意识数学在整个生活中的应用价值，感受数学解决生活实际问题的妙处，培养热爱学生热爱学习数学的习惯，树立探究意识，使其能激发学生的发散思维能力教学重难点教学重点：可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程（齐次和非齐次）的解教学难点：一阶微分方程在实际问题中的应用教学方法讲练结合法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计→→→传授新知（20min）→→强化训练（10min）→课堂小结（3min）→布置作业教学过程主要教学内容及步骤设计意图课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家扫描二维码学习有关一阶微分方程的解的知识。【学生】完成课前任务通过课前任务，使学生了解所学知识的重要性，增加学生的学习兴趣，提高学习效率考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（4min）【教师】提出以下问题：一阶可微，n阶可微的概念是怎样的？【学生】思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（20min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识知识点可分离变量的微分方程❖【教师】提出可分离变量的微分方程的定义定义1形如的微分方程称为可分离变量的微分方程．❖【学生】聆听，理解❖【教师】提出可分离变量的微分方程的解题步骤可分离变量的微分方程的解法如下．（1）对原方程分离变量，化成可分离变量的标准方程．（2）对方程两边同时求不定积分，即．（3）计算不定积分，设，分别为，的一个原函数，则有．这就是可分离变量的一阶微分方程的通解．❖【学生】聆听，理解❖【教师】讲解例题例1求微分方程的通解．例2求微分方程满足条件的特解．例3求微分方程的通解．❖【学生】聆听，理解，演算知识点一阶线性微分方程❖【教师】根据课本讲解定义2形如 （5-11）的方程称为一阶线性微分方程．当时，式（5-11）称为一阶非齐次线性微分方程；当时，方程 （5-12）称为对应于式（5-11）的一阶齐次线性微分方程．❖【学生】聆听、理解、记录，知识点一阶线性微分方程的解法及一阶非齐次线性微分方程的解法❖【教师】根据课本讲解1．一阶齐次线性微分方程的解法将一阶齐次线性微分方程分离变量后，得，两边积分，得，于是方程的通解为（），（5-13）其中，表示的一个原函数，为任意常数．2．一阶非齐次线性微分方程的解法根据函数的求导特点，把式（5-12）通解中的任意常数变为的未知函数，然后求出，使之满足式（5-11）．设式（5-11）的通解为，对其求导，得，将代入式（5-11），经整理后，得，两边积分，得．所以，式（5-11）的通解为．（5-14）上述通过把对应的一阶齐次线性微分方程通解中的任意常数改为未知函数，然后求出一阶非齐次线性微分方程通解的方法，称为常数变易法．❖【学生】聆听、理解、记录，❖【教师】讲解例题讲解例4求方程的通解．例5求微分方程满足条件的特解．❖【学生】聆听例题，演算例题，同桌对比计算结果，提高计算能力知识点一阶线性微分方程的应用❖【教师】学习一阶线性微分方程应用时的步骤在自然科学和工程技术中，许多实际问题都可以归结为求微分方程解的问题．一般地，应用微分方程解决实际问题的步骤如下：（1）建立微分方程模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件；（3）回归实际问题：用微分方程的解，解释、分析实际问题，看其是否与实际问题相符合❖【学生】聆听，记录❖【教师】根据课本进行例题讲解例6（马尔萨斯人口模型）英国人口学家马尔萨斯在1798年提出了人口指数增长模型：人口的增长率与当时的人口总数成正比．若已知时，人口总数为，试根据马尔萨斯模型，确定时间与人口总数之间的函数关系．据我国有关人口统计的资料数据显示，1990年我国人口总数为11.6亿，在过去的8年中，年人口平均增长率为14.8‰，假定年增长率一直保持不变，试用马尔萨斯人口模型预测2005年我国的人口总数．例7牛顿冷却定律指出，物体冷却的速度（℃/s）正比于物体的温度与冷却环境温度之差．现设钢锭出炉温度为1150℃，炉外环境温度为30℃，比例系数为0.014℃/s2．（1）试建立钢锭出炉后的温度T（℃）与时间t（s）之间的数学模型；（2）钢锭温度降到750℃以下锻打将会影响产品质量，试求应该在钢锭出炉后几秒内把它锻打好？例8一台电动机开始运转后，每秒温度升高1℃．设室内温度为15℃，电动机的冷却速度与电动机和室内温差成正比，试建立电动机的温度与时间的数学模型．【学生】交流，理解，演算，对比教师的解析过程，查找自己的错误点通过教师讲解和例题分析，使学生理解可分离变量的微分方程的定义，并掌握可分离变量的微分方程的解题方法解题技巧归纳（4min）【教师】归纳解题的技巧1．所谓线性方程，指的是方程中的都是一次的．2．当一阶线性微分方程不是关于未知函数和的方程时，可将看成关于的未知函数，而一阶线性微分方程则是关于未知函数和的方程，于是有．这时可利用常数变异法得到上述方程的通解为．【学生】聆听、理解、记笔记通过提炼知识-点有利于提升学生学习的高效性强化练习（10min）【教师】通过APP发送强化练习作业题，并点名部分学生黑板做题，或者板演。1.判别下列一阶微分方程中，哪些属于可分离变量微分方程？哪些属于一阶线性微分方程？（1）； （2）2．求下列微分方程的通解．（1）； （2） （3），；3．已知细菌的增长速度与当前数量成正比，1小时后观察到有1000个细菌；4小时后有3000个，求：（1）细菌数量关于时间的表达式；（2）时有多少个细菌．对比自己的计算结果和操作方法，提升解题技巧通过强化练习，使学生巩固所学知识，并以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了一阶微分方程及其应用等知识，希望大家在课下多加练习，巩固课上所学知识，为后面的学习打下坚实的基础。【学生】总结回顾知识点总结知识点，巩固学生一阶微分方程相关知识的印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业完成教材中的作业与练习5.2【学生】完成课后作业通过课后作业复习巩固学到的知识，提高实际操作能力教学反思从教材处理方面：综合教材本节课