江苏省无锡市惠山区金桥实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年江苏省无锡市惠山区金桥实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．ax2﹣2x﹣3＝0 B．x2﹣2x＝x2 C．x2＝3 D．2．（3分）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：163．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，B，C：直线DF分别交a，b，c于点D，E＝，则＝（）A． B． C． D．4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，则BE的长为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．1.5cm5．（3分）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm），＝15，，．则麦苗又高又整齐的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，则该圆锥的侧面积为（）A．12π B．15π C．20π D．24π7．（3分）联欢会上，甲、乙、丙三人分别站在地面上△ABC的三个顶点处，在△ABC内部放置一个圆凳，三人同时出发，抢先坐到圆凳者获胜．为使游戏公平（）A．外心 B．内心 C．重心 D．中心8．（3分）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（）A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°9．（3分）如图，已知∠AOB，求作∠CDE，下列结论不一定正确的是（）A．圆弧MN与圆弧FG是等弧 B．线段ON与线段DF的长相等 C．圆弧FG与圆弧QH的半径相等 D．扇形OMN与扇形DFG的面积相等10．（3分）如图，半径为5的圆中有一个内接矩形ABCD，AB＞BC的中点，MN⊥AB于点N，则线段MN的长为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11．（3分）若＝，则＝．12．（3分）扬州某日天气预报显示最高气温为5℃，最低气温为﹣4℃，则该日的气温极差为℃．13．（3分）设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是．14．（3分）一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是%．15．（3分）在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则．16．（3分）如图，点E在线段BC上，DE与AC交于点G，若△CEG的面积为1，CE＝1．17．（3分）如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝5：12：13，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一个动点，连接CD，连接AP，则AP的最小值是．三、解答题（本大题共10小题，共106.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（12分）解方程：（1）（x+6）2＝9；（直接开平方法）（2）x2+x﹣6＝0；（公式法）（3）x（x﹣2）+x﹣2＝0；（因式分解法）（4）x2+2x﹣120＝0．（配方法）20．（10分）为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，我校现对八年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，根据图中信息完成下列问题：（1）本次共调查了名学生，并补全上面条形统计图；（2）本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为；众数为；（3）我校八年级有1200名学生，请你估计八年级学生中，每天完成作业所用时间为1.5小时的学生有多少人？21．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根22．（8分）如图，DC是⊙O的直径，点B在圆上，且∠ABD＝∠C．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AB＝4cm，AD＝2cm，求CD的长．23．（8分）某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日销售量为200个，每个售价每增加0.5元，日均销售量减少5个．（1）当每个售价为52元时，日均销售量是个；（2）当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元．24．（10分）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．25．（10分）如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，C两点．（1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件；（2）在（1）的条件下，若OA＝1，26．（10分）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．（1）如图1，A为⊙O上一点，请用直尺（不带刻度）；（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图2，在▱ABCD中，E为CD的中点②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标为（8，0）、（8，8）、（0，8），它以每秒2个单位速度从A点向O点运动，连接BD过点D作BD的垂线交OC于E点（t＞0）．（1）当D点到达OA的中点时，＝；（2）请用t的代数式表示OE的长度，并求出t为何值时，CE有最小值（3）若已知F点在直线AB上，AF＝2，P为x轴上一点且CP⊥FP于点P28．（10分）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，过点A作AB的垂线交⊙O于点H．（1）若点G是劣弧BC上一点（不与点B、C重合），直线GC、AH交于点D，连接GA；（2）在（1）条件下，将AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AF．①若CG＞BG，求证：点F落在射线BG上；②若FB＝FG，求线段AB与线段AD的数量关系．2023-2024学年江苏省无锡市惠山区金桥实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．ax2﹣2x﹣3＝0 B．x2﹣2x＝x2 C．x2＝3 D．【分析】形如ax2+bx+c＝0（a≠0）的方程即为关于x的一元二次方程，据此逐项判断即可．【解答】解：当a＝0时，ax2﹣6x﹣3＝0不是一元二次方程，则A不符合题意；x3﹣2x＝x2，整理得﹣6x＝0，它不是一元二次方程；x2＝2是一元二次方程，则C符合题意；x2+＝2不是整式方程，则D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查一元二次方程，熟练掌握其定义是解题的关键．2．（3分）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的面积比＝（）2＝．故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．3．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，B，C：直线DF分别交a，b，c于点D，E＝，则＝（）A． B． C． D．【分析】先由＝，根据比例的性质可得＝，再根据平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：∵＝，∴＝，∵a∥b∥c，∴＝＝，故选：B．【点评】考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，则BE的长为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．1.5cm【分析】根据勾股定理求出CE，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵弦CD⊥AB，∴CE＝CD＝4，在Rt△OEC中，OE＝，∴BE＝OB﹣OE＝5（cm），故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．5．（3分）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm），＝15，，．则麦苗又高又整齐的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】根据，，可得乙、丁的麦苗比甲、丙要高，再由，，可得甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，即可求解．【解答】解：∵，，∴，∴乙、丁的麦苗比甲，∵，，∴，∴甲、丁麦苗的长势比乙，∴麦苗又高又整齐的是丁．故选：D．【点评】本题考查了方差和平均数的知识，掌握方差越小，越稳定是关键．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，则该圆锥的侧面积为（）A．12π B．15π C．20π D．24π【分析】运用公式S＝πlr（其中勾股定理求解得到的母线长l为5）求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，∴AB＝＝＝5，由已知得，母线长l＝6，∴圆锥的侧面积是S＝πlr＝5×4×π＝20π．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活地运用公式求解．7．（3分）联欢会上，甲、乙、丙三人分别站在地面上△ABC的三个顶点处，在△ABC内部放置一个圆凳，三人同时出发，抢先坐到圆凳者获胜．为使游戏公平（）A．外心 B．内心 C．重心 D．中心【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点解答即可．【解答】解：∵△ABC三边垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等，∴凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的三边垂直平分线的交点．故选：A．【点评】此题考查的是三角形的重心，内心及外心，熟知仨三角形的外心是三边垂直平分线的交点是解题的关键．8．（3分）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（）A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°【分析】根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AC，由此判断A、B选项；过点O作OF⊥AC于F，利用矩形的性质、直角三角形的性质判断C选项；利用三角形外角性质求得∠BOD的度数，从而判断D选项．【解答】解：∵弦AD平分∠BAC，∠EAD＝25°，∴∠OAD＝∠ODA＝25°．∴∠BOD＝2∠OAD＝50°．故选项D不符合题意；∵∠OAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，即AE∥OD；∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE．∴DE⊥AE．故选项A不符合题意；如图，过点O作OF⊥AC于F，∴OF＝DE．在直角△AFO中，OA＞OF．∵OD＝OA，∴DE＜OD．故选项C符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理．切线的性质：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．9．（3分）如图，已知∠AOB，求作∠CDE，下列结论不一定正确的是（）A．圆弧MN与圆弧FG是等弧 B．线段ON与线段DF的长相等 C．圆弧FG与圆弧QH的半径相等 D．扇形OMN与扇形DFG的面积相等【分析】根据基本作图作一个角等于已知角的步骤判断即可．【解答】解：由作图可知，选项A，B，选项C错误，故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．10．（3分）如图，半径为5的圆中有一个内接矩形ABCD，AB＞BC的中点，MN⊥AB于点N，则线段MN的长为（）A． B． C． D．【分析】连接AC，CM，BM，根据圆周角定理，结合已知条件易证得AC为⊙O的直径，∠AMC＝∠ABC＝90°，则AC＝10，再根据弧、弦、圆心角的关系及等腰直角三角形的性质可求得∠ACM＝∠CAM＝45°，然后根据同弧所对的圆周角相等及勾股定理可得∠ABM＝∠ACM＝45°，AM2＝50，设AB＝x，BC＝y，其中x＞y，利用勾股定理及矩形面积公式列得方程，解方程求得AB，BC的长度，再结合MN⊥AB可证得MN＝BN，则AN＝3﹣MN，最后利用勾股定理列得方程，解方程即可．【解答】解：如图，连接AC，BM，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC为⊙O的直径，∠AMC＝∠ABC＝90°，∵⊙O的半径为5，∴AC＝10，∵点M为的中点，∴＝，∴AM＝CM，∴∠ACM＝∠CAM＝45°，AM2+CM3＝2AM2＝AC4＝102，∴∠ABM＝∠ACM＝45°，AM2＝50，设AB＝x，BC＝y，则，解得：或（舍去），即AB＝3，BC＝，∵MN⊥AB，∠MBN＝45°，∴∠BMN＝45°，∴MN＝BN，∴AN＝AB﹣BN＝3﹣MN，∵AN5+MN2＝AM2，∴（7﹣MN）2+MN2＝50，解得：MN＝或MN＝6，故选：A．【点评】本题主要考查圆与勾股定理的综合应用，连接AC，CM，BM，构造等腰直角三角形，并结合已知条件求得AB，BC的长度是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11．（3分）若＝，则＝．【分析】直接利用比例的性质得出a＝b，进而代入求出答案．【解答】解：∵＝，∴a＝b，则＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用一个未知数代替另一个未知数是解题关键．12．（3分）扬州某日天气预报显示最高气温为5℃，最低气温为﹣4℃，则该日的气温极差为9℃．【分析】最大值与最小值的差叫做极差，根据极差定义进行求解即可．【解答】解：∵5﹣（﹣4）＝8，∴该日的气温极差为9°C，故答案为：9．【点评】此题考查了极差，熟练掌握极差的定义是解题的关键．13．（3分）设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是1．【分析】由根与系数的关系可得x1+x2＝5、x1x2＝m，结合x1+x2﹣x1x2＝2可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵x1、x2是方程x3﹣3x+m＝0的两个根，∴x8+x2＝3，x8x2＝m．∵x1+x5﹣x1x2＝4﹣m＝2，∴m＝1．故答案为2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．14．（3分）一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是10%．【分析】本题可设平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后药价为60（1﹣x）元，第二次在60（1﹣x）元的基础上又降低x，变为60（1﹣x）（1﹣x）即60（1﹣x）2元，进而可列出方程，求出答案．【解答】解：设平均每次降价的百分率是x，则第二次降价后的价格为60（1﹣x）2元，根据题意得：60（3﹣x）2＝48.6，即（2﹣x）2＝0.81，解得，x2＝1.9（舍去），x7＝0.1．所以平均每次降价的百分率是4.1，即10%．故答案为：10【点评】此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．15．（3分）在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则2．【分析】根据正六边形的性质可得∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，从而利用等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCA＝30°，进而求出∠ABM＝90°，BM＝CM，然后在Rt△ABM中，进行计算即可解答．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ABM＝∠ABC﹣∠CBD＝90°，∠CBD＝∠BCA＝30°，∴BM＝CM，在Rt△ABM中，∠BAC＝30°，∴AM＝2BM，∴AM＝2CM，∴＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，正多边形和圆，多边形的内角与外角，含30度角的直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．16．（3分）如图，点E在线段BC上，DE与AC交于点G，若△CEG的面积为1，CE＝16．【分析】求出三角形DEC的面积，由三角形面积公式可得出答案．【解答】解：∵DG＝2GE，△CEG的面积为1，∴S△DEC＝5S△CEG＝3，∵CE＝1，∴点D到直线BC的距离为7＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．17．（3分）如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝5：12：13，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为25．【分析】如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HM⊥AB于M，EK⊥AC于K，作FJ⊥AC于J．利用相似三角形的性质以及三角形的面积公式求出EF，再证明△HAC≌△HAM（AAS），推出AM＝AC＝5m，CH＝HM，BM＝8m，设CH＝HM＝x，在Rt△BHM中，则有x2+（8m）2＝（12m﹣x）2，推出x＝m，由EK∥CH，推出＝，推出＝，可得AK＝，求出AC即可解决问题．【解答】解：如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，延长AE交BC于H，EK⊥AC于K．∵EG∥AB，EF∥AC，∴∠EGF＝∠ABC，∠FEG＝∠CAB，∴△EFG∽△ACB，∴EF：FG：EG＝AC：BC：AB＝5：12：13，设EF＝5k，FG＝12k，∵×5k×12k＝，∴k＝或﹣，∴EF＝，∵四边形EKJF是矩形，∴KJ＝EF＝，设AC＝7m，BC＝12m，∵∠ACH＝∠AMH＝90°，∠HAC＝∠HAM，∴△HAC≌△HAM（AAS），∴AM＝AC＝5m，CH＝HM，设CH＝HM＝x，在Rt△BHM中，则有x2+（4m）2＝（12m﹣x）2，∴x＝m，∵EK∥CH，∴＝，∴＝，∴AK＝，∴AC＝AK+KJ+CJ＝++1＝，∴BC＝××12＝10××13＝，∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝+10+，解法二：如图，作直线EF交AB，G，作FM⊥AB于M．由题意，DE∥BC，∴△DEF∽△BCA，∴EF：ED：FD＝7：12：13，设EF＝5k，ED＝12k，则×5k×12k＝，∴k＝或﹣，∴EF＝，∵EF∥AC，FM⊥AB，∴∠MHF＝∠A，∠FMH＝∠C＝90″，∴△FMH∽△BCA，∴＝，∴HF＝，∴GH＝++1＝，∵EF∥AC，∴△HGB∽△ACB，设AC＝5a，∴＝，∴＝，∴a＝，∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝5a+12a+13a＝25，故答案为25．【点评】本题考查动点问题，轨迹，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一个动点，连接CD，连接AP，则AP的最小值是．【分析】连接BP，取BC的中点M，连接AM，PM，现在Rt△ABC中利用勾股定理求出，再证∠CPB＝90°，利用直角三角形的性质得PM＝1，然后根据“两点之间线段最短”得；AP+PM≥AM，据此即可得出AP的最小值．【解答】解：连接BP，取BC的中点M，PM在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CM＝BC＝6，由勾股定理得：，∵BD为⊙O的直径，∴∠DPB＝90°，∴∠CPB＝90°，在Rt△BCP中，PM为斜边BC上的中线，∴PM＝BC＝3，根据“两点之间线段最短”得：AP+PM≥AM，∴AP≥AM﹣PM，即：AP≥．∴AP的最小值为．故答案为：．【点评】此题主要考查了圆周角，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，理解两点之间线段最短是解答此题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共106.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（12分）解方程：（1）（x+6）2＝9；（直接开平方法）（2）x2+x﹣6＝0；（公式法）（3）x（x﹣2）+x﹣2＝0；（因式分解法）（4）x2+2x﹣120＝0．（配方法）【分析】（1）利用直接开平方法解此方程，即可求解；（2）利用公式法解此方程，即可求解；（3）利用因式分解法解此方程，即可求解；（4）利用配方法解此方程，即可求解．【解答】解：（1）由原方程得：x+6＝±3，解得x8＝﹣3，x2＝﹣4，所以，原方程的解为x1＝﹣3，x5＝﹣9；（2）在方程x2+x﹣2＝0中，a＝1，c＝﹣4，∴Δ＝12﹣4×1×（﹣6）＝25，∴解得x1＝5，x2＝﹣3，所以，原方程的解为x2＝2，x2＝﹣3；（3）由原方程得：（x﹣2）（x+1）＝8，解得x1＝2，x5＝﹣1，所以，原方程的解为x1＝3，x2＝﹣1；（4）由原方程得：x2+2x＝120，得x2+4x+1＝120+1，得（x+5）2＝121，得x+1＝±11解得x8＝10，x2＝﹣12，所以，原方程的解为x1＝10，x4＝﹣12．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．20．（10分）为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，我校现对八年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，根据图中信息完成下列问题：（1）本次共调查了100名学生，并补全上面条形统计图；（2）本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为1.5；众数为1.5；（3）我校八年级有1200名学生，请你估计八年级学生中，每天完成作业所用时间为1.5小时的学生有多少人？【分析】（1）根据条形统计图，扇形统计图中的数据计算出缺少的数据，并补全条形统计图即可；（2）根据条形统计图分析出中位数和众数；（3）根据样本计算出每天完成作业所用时间为1.5小时的学生在样本的比例，根据比例估算出八年级学生中，每天完成作业所用时间为1.5小时的学生．【解答】解：（1）本次调查的人数为：30÷30%＝100（人），完成作业时间为1.5小时的有：100﹣12﹣30﹣18＝40（人），补全的条形统计图如图所示：；（2）由（1）中的条形统计图可知，抽查学生完成作业所用时间的众数是2.5小时，∵100÷2＝50，则中位数是6.5小时，故答案为：1.7，1.5；（3）40÷100＝40%，1200×40%＝480（人），答：八年级学生中，每天完成作业所用时间为4.5小时的学生有480人．【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估算整体，能够将条形统计图和扇形统计图相结合是解决本题的关键．21．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；（2）分两种情况考虑：当b＝c时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当a＝c或a＝b时，把x＝3代入方程求出k的值，进而求出周长即可．【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2﹣（k+2）x+7k＝0，∴Δ＝（k+2）5﹣8k＝k2+2k+4﹣8k＝k7﹣4k+4＝（k﹣6）2≥0，则无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b＝c时，k＝72﹣4x+2＝0，解得：x1＝x6＝2，此时三边长为3，7，2，周长为3+7+2＝7；当a＝b＝4或a＝c＝3时，把x＝3代入方程得：4﹣3（k+2）+8k＝0，解得：k＝3，此时方程为：x6﹣5x+6＝5，解得：x1＝2，x5＝3，此时三边长为3，3，2，周长为3+6+2＝8，综上所述，△ABC的周长为2或8．【点评】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．22．（8分）如图，DC是⊙O的直径，点B在圆上，且∠ABD＝∠C．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AB＝4cm，AD＝2cm，求CD的长．【分析】（1）连接OB，如图，利用圆周角定理得∠1+∠2＝90°，再利用∠1＝∠C＝∠ABD得到∠ABD+∠2＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先证明△ABD∽△ACB，则利用相似比计算出AC的长，然后计算AC﹣AD即可．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵DC是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，即∠1+∠2＝90°，∵OB＝OC，∴∠3＝∠C，∵∠C＝∠ABD，∴∠ABD+∠2＝90°，即∠ABO＝90°，∴OB⊥AB，∵OB为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAD＝∠CAB，∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△ACB，∴＝，即＝，∴AC＝8，∴CD＝AC﹣AD＝6﹣2＝6．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．23．（8分）某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日销售量为200个，每个售价每增加0.5元，日均销售量减少5个．（1）当每个售价为52元时，日均销售量是180个；（2）当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元．【分析】（1）根据日均销售量为200﹣10×（52﹣50）计算可得；（2）根据“总利润＝每个玩具利润×日均销售量”列方程求解可得．【解答】解：（1）当每个售价为52元时，日均销售量为200﹣10×（52﹣50）＝180（个），故答案为：180；（2）设每个玩具的售价为x元，根据题意可得：（x﹣40）（200﹣10x）＝2000，整理，得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x2＝50，x2＝60，答：当每个售价为50元或60元时，所得日均总利润为2000元．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．24．（10分）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．【分析】（1）由对顶角的性质，圆周角定理得出∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，即可证明△CED∽△BAD；（2）过点D作DF⊥EC于点F，由等边三角形的性质得出∠A＝60°，AC＝AB＝6，由DC＝2AD，得出AD＝2，DC＝4，由相似三角形的性质得，得出EC＝3DE，由含30°角的直角三角形的性质得出DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，进而得出FC＝5x，利用勾股定理得出一元二次方程（x）2+（5x）2＝42，解方程求出x的值，即可求出EC的长度．【解答】（1）证明：如图1，∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，∴△CED∽△BAD；（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，∵△ABC是边长为3等边三角形，∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，∵DC＝2AD，∴AD＝6，DC＝4，∵△CED∽△BAD，∴，∴EC＝3DE，∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，∴DE＝5EF，设EF＝x，则DE＝2xx，EC＝5x，∴FC＝5x，在Rt△DFC中，DF2+FC6＝DC2，∴（x）2+（5x）2＝52，解得：x＝或﹣，舍去），∴EC＝6x＝．【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识是解决问题的关键．25．（10分）如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，C两点．（1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件；（2）在（1）的条件下，若OA＝1，【分析】（1）连接AD，当OA＝OD时，由圆周角定理，圆内接四边形的性质可以证明AC＝BC；（2）由勾股定理求出AD的长，由圆周角定理，可以推出△AOC∽△ADB得到OC：DB＝AO：AD，即可求出DC的长．【解答】解：（1）连接AD，当OA＝OD时，AC＝BC，证明：∵∠AOD＝90°，∴△AOD是等腰直角三角形，∴∠ODA＝45°，∴∠ODA＝∠ABC＝45°，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC；（2）∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠AOC＝∠ADB＝90°，∵∠ACO＝∠ABD，∴△AOC∽△ADB，∴OC：DB＝OA：AD，∵AD＝OA＝，∴OC：3＝1：，∴OC＝3，∴DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝2．【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．26．（10分）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．（1）如图1，A为⊙O上一点，请用直尺（不带刻度）；（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图2，在▱ABCD中，E为CD的中点②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上【分析】（1）连接AO并延长交圆O于点C，作AC的中垂线交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求．（2）①连接AC，BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，点F即为所求；②结合网格特点和三角形高的概念作图可得．【解答】解：（1）如图1，连接AO并延长交圆O于点C，D，四边形ABCD即为所求．（2）①如图2，连接AC，连接EB交AC于点G，F即为所求②如图4所示，AH即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行四边形的性质及三角形垂心的性质．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标为（8，0）、（8，8）、（0，8），它以每秒2个单位速度从A点向O点运动，连接BD过点D作BD的垂线交OC于E点（t＞0）．（1）当D点到达OA的中点时，＝；（2）请用t的代数式表示OE的长度，并求出t为何值时，CE有最小值（3）若已知F点在直线AB上，AF＝2，P为x轴上一点且CP⊥FP于点P【分析】（1）证明△OED∽△ADB，根据相似三角形的性质即可求解；（2）证明△OED∽△ADB，根据相似三角形的性质即可求解，然后得出，由CE＝8﹣OE，根据二次函数的性质即可求解；（3）分F在x轴上方与下方分类讨论，进而根据勾股定理即可求解．【解答】解：（1）∵A、B、C三点的坐标为（8、（8、（4，∴OA＝AB＝BC＝OC＝8，∴四边形OABC是菱形，又∵∠AOC＝90°，∴四边形OABC是正方形，∴∠EOD＝∠BAD＝90°，又∵ED⊥BD，∴∠EDB＝90°，∴∠OED＝90°﹣∠ODE＝∠ADB，∴△OED∽△ADB，∴，∵D为OA的中点，∴OD＝AD＝4，∴，解得：OE＝7，∴．故答案为：；（2）∵△EDO∽△DAB，∴＝，∴＝，∴OE＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣7）2+6，∵﹣＜0，∴t＝7时，CE的值最小；（3）设P（x，0）2＝72+x2．如图，当点F在线段AB上时，∵A（7，0），∴F（8，3），∴CF2＝BF2+BC2＝100，PF2＝（8﹣x）7+22＝x5﹣16x+68，∵CP⊥FP，∴∠CPF＝90°，∴FP2+PC2＝FC5，∴82+x3+x2﹣16x+64＝100，解得x＝4，∴P（5，0）．当点F在BA的延长线上时，F（8，BF＝AB+AF＝10，∴CF2＝BF2+BC2＝42+102＝164，