2022广东省高三数学一模模拟试题（含答案解析）

广东城名三照等一馍错送被您

一、单选题（60分）

1.已知集合4={小2-61+540},8=]卜=J—},4n3=（）

A.[1,+8）B.[1,3]C.（3,5]D.[3,5]

2.若复数z满足Z（l-i）=|l-i|+i,则z的实部为（）

A.B.V2-1C.1D.

22

3.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平

均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最

高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述

不正确的是（）

••一平均・低气H-▼均♦*气*

A.各月的平均最低气温都在0℃以上

B.七月的平均温差比一月的平均温差大

C.三月和十一月的平均最高气温基本相同

D.平均最高气温高于20℃的月份有5个

4.以下四个命题中，真命题的是（）

A.玉e（O,7T）,sinx=tanx

B.“对任意的无eR,f+x+l>0”的否定是“存在x°eR,x02+x°+i<（），，

C.V6eR,函数/（x）=sin（2x+。）都不是偶函数

JT

D.AABC中，"sinA+sinB=cosA+cos3”是“C=m”的充要条件

x-3j+4>0

5.若实数x，y满足约束条件<3x-y-4M0,则z=3x+2y的最大值是（）

x+.y>0

A.-1B.1

C.10D.12

6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，

红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一

座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数

的2倍，则塔的顶层共有灯

A.1盏B.3盏

C.5盏D.9盏

7.在同一直角坐标系中，函数”，，蚱啕1+5侬比且户口的图

象可能是（）

8.如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点,

则点落在四面体内的概率为（）

A.工B.与C.通D.近

13〃13万169万169乃

9.“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时

得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西--布尼亚科夫

斯基--施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学

中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教

材4-5中给出了二维形式的柯西不等式：。2+/72）&2+淤）“如+即）

2当且仅当ad=bc（即0c=a时等号成立.该不等式在数学中证明不

等式和求函数最值等方面都有广泛的应用.根据柯西不等式可知函数

f（x）=2F7+>/r4的最大值及取得最大值时％的值分别为（）

A.区B.旧C.危兽D.炳义

25251313

10.如图在正方体ABC。-A4CQ中，点。为线段8。的中点.设点P在

线段C£上，直线OP与平面48。所成的角为a,则sina的取值范围是

A

A.[乎,1]B.[半内

C.g,乎]D.[乎,1]

11.设直线1与抛物线尸=4%相交于A,B两点，与圆

(x-5)2+/=/(〃>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直

线1恰有4条，贝h的取值范围是()

A.(1,3)B.。，4)C.(2,3)D.(2,4)

jr_

12.若Vxe0,—,不等式x+sinxNmxcosx恒成立，则正实数优的取值

范围是()

'3'

A.(0,1]B.(0,2]C.-,2D.(3,+oo)

二、填空题(20分)

13.已知向量。=(1,6),5=(3,6),则石在£方向上的投影是___.

14.为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填

空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的

不同分派方法种数为种.

15.在平面直角坐标系喊琳中，誉为双曲线然-./=：1右支上的一个动

点.若点孽到直线案-则n=他的距离大于c恒成立，则实数c的最大值

为_________

16.在/ABC中，AB=BC=42,AC=2,「是内部一点，且

满足斗±=上*~江一丁丁，则|%|+|尸3|+|尸。|=_.

PB-PCPC-PAPA-PB+PB-PC+PC-PA

三、解答题(70分)

17.已矢口数歹!J｛%｝满足q+2%+34+■••+〃《,=〃(〃eN*)

(1)求数列｛%｝的通项公式％;

(2)令方=64+2(〃eN*),7=4+由+…+2,求证：(，＜1•

rr

18.如图1,在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZBAD=-,AB=BC=1,

AD=2,E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将AABE沿BE折起到

△A|BE的位置，如图2.

(I)证明：C"平面AQC；

(II)若平面ABE_L平面BCDE,求平面AJ3C与平面A0D夹角的余弦

值.

19.已知椭圆C：£+A=l(。＞匕＞。)的离心率为E，A3，°)，B©b),

a-b~2

0(0,0),AOAB的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与丁轴交于点直线所与％轴

交于点N,求证：|4V|.|BM|为定值.

20.某生鲜批发店每天从蔬菜生产基地以5元/千克购进某种绿色蔬

菜，售价8元/千克，若每天下午4点以前所购进的绿色蔬菜没有售

完，则对未售出的绿色蔬菜降价处理，以3元/千克出售.根据经验，

降价后能够把剩余蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该生鲜批发

店整理了过往30天（每天下午4点以前）这种绿色蔬菜的日销售量

（单位：千克）得到如下统计数据（视频率为概率）（注：x,yeN*）

每天下午4点前

350400450500550

销售量

天数39Xy2

（1）求在未来3天中，至少有1天下午4点前的销售量不少于450

千克的概率.

（2）若该生鲜批发店以当天利润期望值为决策依据，当购进450千

克比购进500千克的利润期望值大时，求x的取值范围.

21.已知函数/（x）=f+乃COSX

（1）求函数/（X）的最小值；

（2）若函数g（x）=/（x）-a在（0,+e）上有两个零点为，x2,且玉＜%,求

2%+工2冗

证:<

3-2

22.已知平面直角坐标系％。y中，以。为极点，％轴的正半轴为极轴,

建立极坐标系，曲线G方程为p=2sin6.C2的参数方程为

r1

x=—1+-t

•62(t为参数).

Iy-t

(1)写出曲线C］的直角坐标方程和C2的普通方程；

(2)设点P为曲线加上的任意一点，求点P到曲线距离的取值范围・

23.已知关于x的不等式加一|x一2巨1,其解集为［0,4J.

⑴求"7的值；

(2)若Q,。均为正实数，且满足。+。=加，求〃的最小值.

答案

1.D

【分析】

分别求出集合4、B,从而求出APIB即可.

【详解】

由已知可得A={耳/-6x+5W0}={x[l<x<51,

B={x[y=4_3）=1x|x-3>01={x|xN3},

则AIB=[3,5].

故选：D.

【点睛】

本题考查了集合的运算，考查二次不等式的求解以及二次根式的性质，是一道基础题.

2.A

【解析】

【详解】

•••Z（­）=|—I+i=&+i,Z=也担=在皿L也匚+也巴•，则Z的

v711l-i（l-z）（l+O22

实部为史二1,故选A.

2

3.D

【详解】

试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确：由图可知在七月的平均温

差大于7.5℃,而一月的平均温差小于7.5℃,所以七月的平均温差比一月的平均温差大，

B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10℃,基本相同，C正确；由图

可知平均最高气温高于20℃的月份有7,8两个月，所以不正确.故选D.

【考点】

统计图

【易错警示】

解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨

伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B.

4.D

【详解】

解：A.若sinx=tan;v,则sinx=tanx=)”匕，

COSX

VxC(0,7t),/.sia#0,则1=---,即cosx=l,

cosx

VxG(0,兀)，；.cosx=l不成立，故(0,兀)，使sinx=tanx错误，故A错误，

3.“对任意的x£R,/+犬+1>0，，的否定是“存在x°£R,次2+出+七0，，，故3错误，

7T71

C.当。=一时，f(x)=sin(2x+0)=sin(2x+—)=cos2x为偶函数，故C错误，

22

D.在△ABC中，C=一,则A+8=一,

22

TC71

则由sinA+sin8=sin(---B)+sin(----A)=cosB+cosA,则必要性成立；

22

VsirL4+sinB=cosA+cosB,

sinA-cosA=cosB-sinB,

两边平方得sin2A-2sinAcos/l+cos2A=sin2^-2sin^cosB+cos2B,

/.1-2sinAcosA=1-2sinBcosB,

/.sin2A=sin2B,

则2A=23或2A=兀-23,

71

即A=B或A+8=一,

2

当A=B时、sinA+sinB=cos4+cos8等价为2sirL4=2cosA,

jl兀

tan^A=1,B|JA=B=—,此时C=—,

42

7T

综上恒有。二一，即充分性成立，

2

综上△ABC中，"sinA+sinB=cosA+cos8"是"C=—”的充要条件，故。正确，

2

故选D.

考点：全称命题的否定，充要条件等

5.C

【分析】

本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题,

注重了基础知识、基本技能的考查.

【详解】

在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-D,(2,2)为顶点的

三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数z=3x+2y经过平面区域的点(2,2)时，

z=3x+2y取最大值z1rax=3x2+2x2=10.

解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确

程度，也有可能在解方程组的过程中出错.

6.B

【详解】

设塔顶的ai盏灯，

由题意｛痴｝是公比为2的等比数列，

.•*7=%(I"2’)=381,

1-2

解得ai=3.

故选B.

7.D

【分析】

本题通过讨论。的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项,

判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】

当0＜。＜1时，函数,=优过定点(0,1)且单调递减，则函数y=4过定点(0,1)且单调递

a

增，函数y=log“(x+g)过定点(g,0)且单调递减，D选项符合；当。＞1时，函数y=a*

过定点(0,1)且单调递增，则函数y过定点(0,1)且单调递减，函数y=log“(x+g)过

定点(g,0)且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.

【点睛】

易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不

能通过讨论。的不同取值范围，认识函数的单调性.

8.C

【详解】

试题分析：由题意可知三棱锥的底面是一个直角边为3亚等腰直角三角形，所以三棱锥的

体积为12.球的直径2r为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体长宽高的体对角线，即

2r=也2+(3扬2+©后=2岳.所以球的体积为52俨.所以点落在四面体内的概

129713

率为52岳兀一169万•故选C.

13

考点：1.三视图的知识.2.球的内接几何体.3.概率问题.4.空间想象力.

9.A

【分析】

将2+又代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到答案。

【详解】

由柯西不等式可知：(2,5-x+Jx-(22+r)[(j5—x)-+(Jx—4)-]=5

2]

所以+4石，当且仅当2«^1=后二即*=匚时取等号，

故函数/(x)=2+工』的最大值及取得最大值时x的值分别为亚[,

故选：A.

【点睛】

本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题。

10.B

【详解】

设正方体的棱长为1,则AG=J5，AC=J3,A1O=OG=Ji+(=jT，oc=所

33c

—1---212*/2

以cosZAjOC1=——勺一=一,sinNA10G=---

2x-33

2

3+1-3

cosZAjOC=—―2二一^^,sinZA10c=-^~.

c>/333

2x——

2

又直线与平面所成的角小于等于90°，而NAOC为钝角，所以sin1的范围为［如川，选

3

B.

【考点定位】

空间直线与平面所成的角.

11.D

【解析】

试题分析：设A(*,y),Be%,%)，M(%()，%)，当斜率存在时，设斜率为％，则

V.2=4x,,x-y,42y1

{'।，相减得：%=工~==-------=一，因为直线与圆相切，所以3n三=一7,

%=4/%-工2%%-5k

即%=3,

M的轨迹是直线x=3,代入抛物线得：/=12,所以一2、Qw%«2jL又M在圆上，

代入得：

222

(x0-5)+y0=r(r>0)，所以产=%2+4«i6,因为直线恰好有四条，所以%HO,

所以4<厂2<16，

即2<厂<4时直线恰好有两条，当直线斜率不存在时，直线有两条，所以直线恰有4条时

2<r<4,故选D.

考点：1.直线和圆的位置关系；2.直线和抛物线的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，以及直线与圆的相切问题，属

于中档题.解题时一定要注意分析条件，根据条件首先求出中点的轨迹方程x=3,这里主

要考查的是点差法，问题转化为％=3与圆有交点，从而当直线斜率存在时，半径大于2且

小于4有两条，当直线斜率不存在时，也有两条符合条件，故需要2<r<4.

12.B

【分析】

当x=0和x=T时结论显然成立，当分离参数x+sinx2〃zxcosx恒成

yJ_ciri丫y-LcinvI7T\

立等价于，〃W,令函数/(x)=,xe0,-,利用导数研究函数/(X)在

xcosxxcosxI2)

上的单调性，进而求出函数/(x)在上的最小值，即可求出”.

【详解】

当尤=()时，显然不等式％+5皿兀之如C：05尤恒成立,

TT

当X=7时，显然不等式1+$皿12如以九1恒成立

2

,不、.,,%+sinx

当XE0,不，由不等式x+sinxNmxcosx恒成立,有m<-，---%--£--°，不在恒

xcosx\2)

成立,

人、x+sinx7i\x+x2sinx-sinxcosx

令/(x)=-------，°，彳贝Ij/(x)=

xcosxI2)(xcosx)2

令g(x)=x+x2sinx-sinxcosx,xe则

g'(x)=l+2xsinx+x2cosx-cos2x>0,

...g(x)在xe(o,1^上单调递增，.••g(x)>g(0)=0,即/'(x)>0,

.•./(x)在上单调递增，•.•当xf0时，f(x)i2,

.♦.当时，/(x)>2恒成立，m<X+SinA,在恒成立,

I2)xcosxI2)

m<2,

因此正实数机的取值范围为（0,2].

故选B.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究不等式恒成立的问题，解题的关键是分离参数，得到新函数，利

用导数研究函数的单调性以及最值，有一定综合性，属于基础题.

13.3

【分析】

求出|司，以及二]，再利用向量投影的公式即可得到答案.

【详解】

由题可得：同=2,21=3+3=6；

、＜——一G•ba•b

...3在:方向上的投影是：1口＜。5＜。,》＞=|》|——^=--=3.

ba|利|。|\a\

故答案为3.

【点睛】

本题考查向量投影的定义以及计算，熟练掌握向量投影的公式是关键，属于基础题.

14.150

【分析】

采用分步计数原理，首先将5人分成三组，计算出分组的方法，然后将三组进行全排，即可

得到答案。

【详解】

根据题意，分2步进行分析：①将5人分成3组,

C'C'C^

若分为1、1、3的三组，有5尸=10种分组方法;

c；c：c二

若分为1、2、2的三组,15种分组方法；则有10+15=25种分组方法;

②，将分好的三组全排列，对应选择题、填空题和解答题3种题型，有A；=6种情况,

则有25x6=150种分派方法;

故答案为：150.

【点睛】

本题考查排列组合的运用，属于基础题。

V2

ID.----

2

【解析】

设P(x,y),(x21),因为直线x-y+l=0平行于渐近线x-y=0,所以点隼到直线

案-，承朴』=服的距离恒大于直线％-y+1=0与渐近线x-y=0之间距离，因此c的最大值

1

为直线x—y+l=0与渐近线x-y=O之间距离,为7T=T-

考点：双曲线渐近线，恒成立转化

16.1+73

【分析】

sSS

根据等比的性质可得-:管［==［型上,利用三角形的面积公式以及向量的乘

PB-PCPC-PAPA-PB

27r

法公式化简，即可得到NAPB=NAPC=NBPC=y由此可得AR4B与APBC各个内角

大小，利用正弦定理即可求得|^4|+|PB|+|PCj.

【详解】

根据题意，AA8C中，AB=BC=6，AC=2,则AABC为等腰直角三角形；如图:

SAPBC_S"CA__________S^BC____________n,.S"BC_S"CA_为孙久

->—>-->->——>—>TTfT，刻—>T—T—>—T—>

PB-PCPC-PAPA-PB+PB-PC+PC-PAPB-PCPC-PAPA-PB

即gIPAI-IPBIsinNAPBg|PA|•|PC|sinZAPC_11PC|•|PB|sinZCPB

\PA\-\PB\cosZAPB~\PA\-\PC\cosZAPC|PC||PB|cosZCPB

变形可得：tanZAPB=tanZAPC=tanZBPC,即NAPB:NAPONBPC,

又由NAPB+NAPC+ZBPC=2»，则ZAPB=ZAPC=ZBPC=一，

3

易得：APBC="BA,则PA=PC,

27rTC

在AE4c中，PA=PC且NAPC=*，AC=2,则NC4P=NAC尸=々，

36

APCPACc

则.乃=.乃=.2万，解可得：|AP|=|PC|=2,

sin—sin—sin--1111?

663,

|PB||BC|

717171Tl-----------=-------------

在APBC,NPBC=—,NPCB=-------=一，则有.乃.2"，解可得:

44612sin——sin——

123

附=1一冬

则1PAi+|PB|+|Pq=1--+2x^=

1+G；

I3J3

故答案为1+J5

【点睛】

本题考查三角形面积公式以及正弦定理在三角形中的应用，有一定综合性，属于中档题.

17.(1)a=-(“eN*)(2)证明见解析；

nn

【分析】

(1)2时，。］+勿2+3。3~*----F(n—1)an_x=H-1,相减验证得到答案.

(2)一一二］，根据裂项相消法计算得到答案.

【详解】

(1)数列｛〃〃｝满足4+2%+3。3+…时广〃①，

当几22时，4+2%+3/+•••+(九-=九一1②，

①一②得：4?=’，当〃=1时，q=l(首项符合通项)，故：an=—(HGN*).

nn

1入1If11｝

(2)%=一，所以：2=为限=/C------7^，

n〃(九+2)2\nn+2y

T„=-1-----1---------1-----1------------

“2(324nn+2J

lfl_J___LLlf2_J___L

=2v1+2〃+ln+2)2(2n+1〃+2

由于|-113sl(311)1333

-----<-,n则］=-------------------<-x-=-<-

〃+1〃+222(2n+1n+2)2242

3

即4<]•

【点睛】

本题考查了求数列的通项公式，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运

用.

18.（I）证明见解析；（II）逅

3

【解析】

试题分析：（I）先证BE_LOA|,BELOC,再可证BE_L平面A|OC,进而可证CD_L

平面A|OC；（H）先建立空间直角坐标系，再算出平面A|BC和平面AQD的法向量，进

而可得平面A,BC与平面A,CD夹角的余弦值.

试题解析：（I）在图1中，

71

因为AB=BC=1,AD=2，E是AD的中点，ZBAD=-,所以BELAC

2

即在图2中，BE10A,,BE10C

从而BE_L平面4。。

XCD//BE,所以CD_L平面A。。.

z

U)(A)

图

x2•y

（II）由已知，平面ABE_L平面BCDE,又由（I）知，BE±0At,BE±OC

TT

所以NA。。为二面角A-BE-C的平面角，所以N4OC=5.

如图，以0为原点，建立空间直角坐标系，

因为AB=4E=BC=ED=1,BC//ED

所以B(-^-,0,0),E｛——,0,0),A(0,0,C(0,,0),

得麻（-走，正,0）,AC（0,—.CD=BE=（-72,0,0）.

2222

设平面ABC的法向量1=（和y,zj,平面ACD的法向量后=（%,必*2），平面48（2与

平面4CD夹角为

n.■BC=0—x.+y.=0_

则｛二—,，得｛“八，取"=(1,1,1)，

々•年=0乂-4=0

•CD=0x=0-

2.，得｛2-八，取?=(o,u),

〃2工=0%-Z2=0

从而COS0=卜。5〈《,，%〉|=五=乎,

即平面ABC与平面ACD夹角的余弦值为旦.

3

考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.

r2

19.(1)—+/=1；(2)证明见解析.

4-

【分析】

（I）根据离心率为正，即9=走，AOAB的面积为1,即2嫡=：1,椭圆中#=球#/

2a2公

列方程组进行求解；（H）根据已知条件分别求出忸困北|豳胤的值，求其乘积为定值.

【详解】

(I)由题意得,£通=］解得腐=式&=3..

所以椭圆q的方程为三口铲=工

碟,

(H)由(I)知，魂用眼麴赋,

设翅物3；,则W丹联=4

当法?砥时，直线期的方程为解=解一⑨.

鼻_罢

令案=领，得般?=一一^,从而网蚪=|1一席1=1条

鼻一/

谬一工

直线要毓的方程为承=——富曙3.

令，=期,得5-Tj,从而网邓F=4普

雄一工*—4

所以陶.［翻=怎为三^

展：7

町感:一町:一鹭鹤:外翳町』片_町：-第昨:年整

当艰=醺时,腮=T,隧卜滋忸阙=鬣

所以忸脚网典=4.

综上，忸鲫悔您|为定值.

【考点】

椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力.

【名师点睛】

解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、

定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得

到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思

想和消元思想的运用可有效地简化运算.

117

20.(1)(2){XGTV*|6<x<16}

【分析】

(1)根据题意首先计算1天下午4点前的销售量不少于450千克的概率，利用排列组合即

可计算未来3天中，至少有1天下午4点前的销售量不少于450千克的概率；

(2)分别计算出购进450千克与购进500千克的利润期望值，即可计算出X的范围

【详解】

3

(1)由题可得：1天下午4点前的销售量不少于450千克的概率：P(x.450)=j

所以未来3天中，至少有1天下午4点前的销售量不少于450千克的概率为：

117

T25

(2)购进450千克时利润期望为：

331

450x3x1+(400x3-50x2)x-^+(350x3-100x2)x—=1225,

购进500千克时利润期望为：

1Q_x3125X

500x3x-^—X^+(450x3-50x2)x—+(400x3-100x2)x—+(350x3-150x2)x—=1275--

303010103

1225>1275-----,解得x〉6,又x+y=16,x,yGN*,6<x<16,xeN*.

3

.••X的取值范围是{xeN*16Vx<16}.

【点睛】

本题考查概率的计算以及期望的计算，考查学生的逻辑思维能力、计算能力，属于基础题.

乃2

21.(1)Jfi\x'/}mm.=—4(2)证明见解析；

【分析】

⑴判断函数为偶函数，求导得到_f(x)=2x—乃sinx,计算得到“X)单

减，xe/(x)单增，得到最小值.

(2)只需证明七强<1,构造函数/(力=/(%)-/(万一1),确定函数单调递增，故

/(玉)</(乃一玉)，即/(w)<