2022-2023学年广东省东莞市东华初级中学九年级（上）期中数学试题及答案解析

2022-2023学年广东省东莞市东华初级中学九年级（上）期中数

学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列式子是一元二次方程的是（）

A.x2—5x—3B.x2—1=yC.5x+1=0D.7—x（x—1）=5

2.将抛物线y=3/向左平移2个单位后所得抛物线的表达式是（）

A.y=3（%+2）2B.y=（3x—2）2C.y=3x2+2D.y=3x2—2

3.在同一平面内，己知O。的半径为3cm,OP=4cm,则点P与。。的位置关系是（）

A.点P在。。圆外B.点P在。。上C.点P在。0内D.无法确定

4.关于X的一元二次方程k/+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A.k>—1B.k>-1且k0C.k<1D.k<1且k*0

5.对于二次函数y=3/+2,下列说法错误的是（）

A.最小值为2B.图象与y轴没有公共点

C.当％<0时，y随支的增大而减小D.其图象的对称轴是y轴

6.如图，四边形ABCD内接于回。，44=110。，则NBOD的度数是（）

A.70°B,110°C.120°D.140°

7.如图，AB.AC,8。是。。的切线，切点分别为P、C、D,若4B=4,AC=3,则8。的

长是（）

A.2.5

B.2

C.1.5

D.1

8.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两队之间都赛一场

）,单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有工支队伍参加比赛，则所列

方程为（）

A.x(x+1)=45

B.^12=45

C.x(x-1)=45

D,当上=45

9.如图，抛物线y=a/+.+c与x轴交于点4（1,0）,对称轴为直线x=-l,当y>0时,

x的取值范围是（）

A.-1<x<1B.-3<x<1C.x<1D.x>-1

10.函数y=ax+1与丫=a/+ax+l(a片0)的图象可能是()

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.若一元二次方程/-6%—5=0的两根分别为%i，x2＞则两根的和与+外

12.一元二次方程2/=8的解为.

13.如图，48是。。的直径，点C在圆上，且N4BC=55。.则4B4C=.

14.如图，正六边形4BCDEF内接于。。，。。的半径为1,则边心距0M的长为

15.已知二次函数y=a/+bx+c（ar0）的图象如图所示，有下列5个结论：®abc<0；

@a—b+c>0；③4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b<m（cun+b）（mK1的实数）,

其中正确结论的序号有.

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题8.0分）

解方程：2x?—5%—1=0.

17.（本小题8.0分）

如图，△ABC分别交。。于点4B,D,E,且C4=CB.求证：AD=BE.

18.(本小题8.0分)

如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置04,4处的喷头向外喷水，水流

在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度

y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+^(x>0).

(1)柱子。力的高度是米；

(2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？

19.(本小题9.0分)

用一条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为x厘米.

(1)若矩形的面积为96平方厘米，求x的值；

(2)矩形的面积是否可以为103平方厘米？如果能，请求x的值；如果不能，请说明理由.

20.(本小题9.0分)

如图所示，已知AB为。。的直径，CD是弦，且481CD于点E.连接AC、OC、BC.

⑴若44co=25。，求/BCD的度数.

(2)若EB=4cm,CD=16cm,求。。的直径.

21.(本小题9.0分)

某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于

20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价元

)之间满足一次函数关系：当销售单价为23元时，销售量为34本；当销售单价为25元时，销

售量为30本.

(1)求y与其之间的函数关系式；

(2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时,

才能使文具店销售该纪念册所获得利润最大？最大利润是多少？

22.(本小题12.0分)

如图，四边形力BCD内接于。。，AB为。。的直径，过点C作CE_L4D交4D的延长线于点E,

延长EC,4B交于点F,4ECD=4BCF.

(1)求证：CE为。。的切线；

(2)求证：CD=CB；

(3)若DE=2,CD=6,求。。的半径.

23.(本小题12.0分)

如图，已知抛物线y=a/-9+c与x轴相交于4、B两点,并与直线y=b-2交于8、C两

点，其中点C是直线丫=3芯一2与、轴的交点，连接ZC.

(1)求B、C两点坐标以及抛物线的解析式；

(2)证明：AABC为直角三角形;

(3)求抛物线的顶点。的坐标，并求出四边形ZCDB的面积；

(4)在抛物线的对称轴上有一点P,当AACP周长的最小时，直接写出点P的坐标.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4/一5万一3是代数式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

8./—i=y是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C.5x+l=0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意：

D7-x(x—1)=5是一元二次方程，故本选项符合题意.

故选：D.

根据一元二次方程的定义逐个判断即可.

本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键.只含有一个未知

数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

2.【答案】A

【解析】解：•.・抛物线y=3/的顶点坐标是(0,0),抛物线y=3/向左平移2个单位后的顶点坐标

为(-2,0),

二所得抛物线的解析式为y=3(%+2)2.

故选:A.

根据向左平移横坐标减，纵坐标不变求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出

即可.

本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规

律求函数解析式.

3.【答案】A

【解析】解：丫0。的半径为3cm,OP=4cm,

.--OP>G)。的半径，

•••点P在。。外.

故选：A.

直接根据点与圆的位置关系进行解答即可.

本题考查了点与圆的位置关系：设。。的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则点P在圆外0d>

r；点P在圆上Qd=r；点P在圆内Qd<r.

4.【答案】B

【解析】解：•••关于》的一元二次方程k/+2%-1=0有两个不相等的实数根，

21=22-4xfcx(-1)>0且k*0,

解得k>一1且k。0,

故选：B.

由关于x的一元二次方程氏/+2%-1=0有两个不相等的实数根，知4=22-4xkx(-1)>0

且kKO,解之可得答案.

本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程aM+bx+c=0(a#0)的根与

4=川一4ac有如下关系：①当A>0时，方程有两个不相等的实数根；②当4=0时，方程有两

个相等的实数根；③当4<0时，方程无实数根.

5.【答案】B

【解析】解：4、开口向上有最小值2,正确；

B、图象与y轴交与点(0,2),错误；

对称轴为y轴，开口向上，所以当x<0时，y随着x的增大而减小，C、。正确，

故选：B.

利用二次函数的性质逐一判断后即可得到答案.

本题考查了二次函数的性质，了解二次函数的性质是解决本题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：,•・四边形/BCD内接于。。，

乙4+"=180°,

•••Z.C=180°-110°=70°,

•••LBOD=2Z.C=140°.

故选。.

本题主要考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用.

依据圆内接四边形的性质求得NC的度数，然后再求得4B0D的度数即可.

7.【答案】D

【解析】解：・・・"、AC是。。的切线，

.-.AP=AC=3,

vAB=4,

・・・PB=AB-4P=4-3=1,

•：BP、BD是。。的切线，

:.BD=BP=1,

故选：D.

先根据切线长定理求出4P，进而求出BP,再根据切线长定理解答即可.

本题考查的是切线长定理，根据切线长定理得出AP=AC,BD=BP是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：设共有x支队伍参加比赛，

依题意得：%2=45,

故选：D.

设共有x支队伍参加比赛，利用比赛的总场数=参赛球队数量x(参赛球队数量-1)+2,即可得出

关于x的一元二次方程.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

9.【答案】B

【解析】解：,:抛物线y=a/+bx+c(a芋0)与x轴交于点4(1,0),对称轴为直线x=-1,

••・抛物线与x轴的另一交点为(—3,0),

.•.当y>0时，x的取值范围是一3<x<1.

故选：B.

先判断出抛物线与x轴的另一交点的坐标，再利用二次函数图象判断出y>0时x的范围.

本题主要考查抛物线与支轴交点，二次函数与不等式，解题关键是能数形结合处理二次函数与不等

式的问题.

10.【答案】C

【解析】解：由函数y=QX+1与抛物线y=ax2+a%+1可知两函数图象交y轴上同一点(0,1),

抛物线的对称轴为直线X=-£=-p在y轴的左侧，

A、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项错误；

B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项错误；

C、由一次函数的图象可知a>0,由二次函数的图象知道a>0,且交于y轴上同一点，故选项正

确；

。、由一次函数的图象可知a>0,由二次函数的图象知道a<0,故选项错误；

故选：C.

根据图象与系数的关系，看两个函数的系数符号是否一致，即可判断.

本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是本题的关

犍.

11.【答案】6

【解析】解：•••一元二次方程一-6x-5=0的两根分别为右,x2,

.b-6於

+%2=--=--=6.

故答案为：6.

利用两根之和等于即可求出其1+%2的值.

本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-2,两根之积等于?是解题的关键.

aQ

12.【答案】右=2,x2=一2

【解析】解：2%2=8,

x2=4,

%=±2,

解得:勺=2,x2=-2.

故答案为：%i=2,x2=-2.

系数化为1后，利用直接开平方解方程.

此题主要考查了直接开方法求一元二次方程的解，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等

号的左边，把常数项移项等号的右边，化成/=a(a20)的形式，利用数的开方直接求解.

13.【答案】35°.

【解析】解：「AB是。的直径，

“=90°,

vNABC=55°,

^BAC=90°-/.ABC=35°.

故答案为:35°.

由4B是。。的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得NC的度数，又由4ZBC=50。，利

用直角三角形中两锐角互余，即可求得NB4C的度数.

此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质.此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角

定理的应用，注意数形结合思想的应用.

14.【答案】当

【解析】解：连接。B,

•••六边形4BCDEF是。。内接正六边形，

:.乙BOM=驾=30°,

6x2

OM=OB,cos4BOM=1xy=y；

故答案为：字

根据正六边形的性质求出ZBOM,利用余弦的定义计算即可.

本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是

解题的关键.

15•【答案】①③④

【解析】解：①由图象可知：a<0,c>0,

0,

2a

Ah>0,

abc<0,故此选项正确;

②当％=—1时，y=Q—b+cVO,故a—b+c>0,错误；

③由对称知，当％=2时，函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,故此选项正确;

④当％=3时函数值小于0,y=9a+3b+cV0,且》=一/=1,

即Q=-々，代入得9(一分+3b+c<0,得2cV3b,故此选项正确；

⑤当％=1时，y的值最大.此时，y=a+b+c,

而当x=?n时，y=am24-bm+c,

所以a+b+c>am2+bm+c,

2

故a+b>am+bm,即Q+b>m(am+b),故此选项错误.

故①③④正确.

故答案为：①③④.

由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物

线与久轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+"+c系数符号由抛物线开

口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与工轴交点的个数确定.

16.【答案】解:2x2-5x-l=0,

b2-4ac=(-5)2-4x2x(-1)=33,

5±V33

X=2x2'

5+V335-V33

X1=-4-，X2=-4--

【解析】本题考查了用公式法解一元二次方程的应用，能熟记公式是解此题的关键.

求出接一4知的值，再代入公式求出即可.

17.【答案】证明：・.TC=BC,

:.Z-A=(B，

.・・BD=AEf

:・BD-DE=AE—DE，即BE=4D，

：•AD=BE.

【解析】根据等腰三角形的性质得到乙4=NB,根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论.

本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解

题的关键.

18.【答案】\

【解析】解：(1)当x=0时，y=p

••・柱子。4的高度为:米，

故答案为：;

4

,7

(2)在y=—x2+2%+4中，

当y=0时-/+2%+(=0,

，

・•・%i=—+1x2=1―

又%>0,

•••x=—+1，

•••水池的半径至少要手+1米才能使喷出的水流不至于落在池外.

(1)柱子。4的高度即为抛物线与y轴交点的纵坐标，令二次函数解析式中的x=0即可求解；

(2)令y=0,解关于x的一元二次方程，求得正数解即可.

本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等.

19.【答案】解：(1)根据题意得：x•竺卢=96,

解得：x=8或12,

答：x的值为8或12；

(2)矩形的面积不能为103平方厘米，理由如下：

假设矩形的面积可以为103平方厘米，

则x(20-x)=103,

整理得：x2-20x+103=0,

v4=(-20)2-4x1x103=-12<0,

•••此方程无解，

矩形的面积不能为103平方厘米.

【解析】(1)根据矩形的面积为96平方厘米列出方程，求出方程的解即可：

(2)假设矩形的面积可以为103平方厘米，得出方程x(20-x)=103,再判断方程是否有解即可.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键.

20.【答案】解：(1)•.•4。=CO,

AA=4ACO=25°,

••・AB为。。的直径，CD是弦，且4BJ.CD,

•••BC=BD，

•••乙BCD=AA=25°；

(2)设O。的半径为xcm,则0C=xcm,OE=OB-BE={x—4)cm,

vABA.CD,CD=16cm,

CE=：CD=8cm,

在RMOCE中，OC2=OE2+CE2,

x2=82+(x—4)2,

解得：x=10,

••.0。的直径为20cm.

【解析】(1)由AB为。。的直径，CD是弦，且4BJ.CD,由垂径定理即可求得前=^,然后由

圆周角定理，可得乙BCD=44；

(2)首先设半径为xcm,即可得/=82+(x-4)2,继而求得答案.

此题考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理.此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程

思想的应用.

21.【答案】解：(1)设y与x的关系式为y=kx+b,

把(23,34)与(25,30)代入,

徂(23k+b=34

l25fc+b=30,

解得：仁言

•••y与久之间的函数关系式为y=-2%+80；

(2)由题意可得：

w=(%—20)(-2x+80)

=-2x2+120x-1600

=-2(x-30)2+200,

此时当x=30时，w最大，

即当x-30时，w最大=—2x(30—30)2+200=200(元)，

答:该纪念册销售单价定为30元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大,最大利润是200元.

【解析】(1)利用待定系数法求解可得；

(2)根据所获得总利润=每本利润x销售数量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案.

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据销售问题

中关于利润的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质.

22.【答案】(1)证明：如图1,

连接OC,BD,

•••4B是。。的直径，

Z.ADB=90°,

vCE1AE,

・・.Z,E=90°,

:.Z.E=Z^ADB,

・・・EF//BDf

:.乙ECD=乙CDB,Z.BCF=乙CBD,

vZ-ECD=乙BCF,

:.Z.CDB=乙CBD,

ACD=BC，

・・・半径OC1EF,

CE为。。的切线；

(2)连接。C交BD于H,如图:

图1

•••4B为。。的直径，

•­•/.ADB=90°,

vCF1.AD,

•••Z.AFC=Z.ADB=90°,

BD//CF,

CF是。。的切线，

Z.OCF=90°,

.♦•40"。=90。，即OC1B。,

.•・弧CD=弧。3,

:.BC=CD；

(3)解:如图2,

图2

连接BD,AC,

4B是直径，

4ACB=90°,

・•・Z.E=乙ACB,

由(1)知：Z.ECD=Z.CDB,CB=CD=6,

•••BC=BC^

：•Z-CDB=Z.BAC,

・♦・乙BAC=乙ECD,

CED~AACB,

:、—BC=——DE,

ABCD

62

—―«

AB6

AB=18.

.•.O。的半径是9.

【解析】(1)连接OC,BD,可推出EF〃BD,进而可证弧CD=弧8。，进而得出CE为。。的切线;

(2)证明由CH是。。的切线，可得。C1BD,从而弧CD=弧。8,即可得证；

(3)可证△CED八ACB,进而求得结果.

本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的

关键是作合适的辅助线.

23.【答案】解：(1)直线y='x-2,当y=0时，由楙％-2=0,

解得％=4；

当％=0时，y=-2,

・・・8(4,0),C(0,-2),

••・抛物线y=ax2-|x+c经过点8(4,0)和点C(0,-2),

,C16a—6+c=0

・.1c=-2

解得卜=:,

Ic=-2

・•・抛物线的解析式为y=1X2-|X-2.%

(2)证明：抛物线y=1x2-|x-2,当y=0时，则一暂

2=0,

解得%1=-1,%2=4,

・・・4(-1,0),

D

・・・8(4,0),C(0,-2),

图1

・•・0A=1,0B=4,0C=2,

・•・AB=1+4=5,

•••AB2=25,

•・•^AOC=乙BOC=90°,

AC2=OA2+OC2=l2+22=5,BC2=OB2+OC2=42+22=20,

AC2+BC2=25,

AC2+BC2=AB2,

・•.△4BC是直角三角形.

、

(/3)vy=-1x2--3x-2Q=-1(fx--3)2--25,

抛物线的顶点。的坐标是(|,-得)；

如图1,连接OD，

11

S四边形ACDB=S-oc+S^DOC+S^BOD=EX2X1+EX2X

3,1