2022安徽省宣城市临溪高级职业中学高二数学文期末试卷含解

2022安徽省宣城市临溪高级职业中学高二数学文期末

试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.若曲线,出==*在*-2处的切线与直线皿+2尸+1=°互相垂直，则实数0等于

（）

A.-2B.-1C.1D.2

参考答案：

D

【分析】

求出函数/（目=正*《*在处的导数值，这个导数值即函数图像在该点处切线的斜

率，然后根据两直线垂直的条件列出方程即可求解实数a。

【详解】由题可得：r（2）-1,

二曲线功MX3*®*在*一歹处的切线的斜率为1,

r

V曲线/（K）=xQn/在X一菱处的切线与直线a+]=0互相垂直，且直线

a

皿+2/1=0的斜率为弓

---2，解得：a=2；

故答案选D.

【点睛】本题考查导数的几何意义，两直线垂直的条件，属于基础题。

.如图，正方体ABCD-ABCD

2ixll）则下列四个命题：

①F在直线3cl上运动时，三棱锥力-4尸0的体积不变；

②尸在直线3cl上运动时，直线/P与平面4C4所成角的大小不变；

③F在直线3cl上运动时，二面角尸一皿一°的大小不变；

④M是平面0上到点D和C]距离相等的点，则M点的轨迹是过4点的直线

其中真命题的个数是

A.1B.2C.3D.4

参考答案：

C

略

3.不等式卜一2|<1的解集为()

A」L3]BW)C」T7]

D.—

参考答案：

【答案】B

【解析】

读题分析，去绝对值第-1YX-2Y1,IR得"』

考点，含绝对值不等式的解法.

4.用数学归纳法证明"n3+(n+l)3+(n+2)3(nWN*)能被9整除”，要利用归纳假设证n=

k+1时的情况，只需展开().

A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1);,+(k+2)3

参考答案：

A

彳+尸-1

5.若点°，9分别为椭圆丁T-的中心和左焦点，点F为椭圆上的任意一点,

则5A而的最大值为()

A.6B.3C.

4D.8

参考答案:

A

略

6.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心

率为（）

a1也！

A.2B.2C.3D.3

参考答案：

A

7.若a则下列结论不一定成立的是（）

11

abB.品c.d>lfD,

参考答案：

C

,/ab：,

11

Aa<b,Va>Vb,故A,B成立

当a=4,b=2时，abba16,故C错误；

logba>logbb=l=logaa>logab,故D成立,

故选：c.

8.（5分）（2014秋?济宁期末）双曲线可逋口的渐近线方程为（）

4354

A.y=±3XB.y=±4XC.y二±3、D.y=±5X

参考答案：

A

考点：双曲线的简单性质.

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.

2,9•一

分析：由双曲线a-bZ=l的渐近线方程为y=一ax,求出a,b即可得到渐近线方程.

22

x_y

解答：解：双曲线可正口的a=3,b=4,

+也

由于渐近线方程为y=一ax,

4

即为y=±豆x.

故选A.点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力,

属于基础题.

9.将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装

个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是（）

B.蓝白区域大

C.红黄区域大D.由指针转动圈数决定

参考答案:

B

1（）.在AABC中，4、B、C分别为〃、b、c所对的角，若a、b、c成等差数列，则

B的范围是（）

匹XX至

A.0<B<4B,O<B<3C,0<B<2D.2VB<兀

参考答案:

B

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

a

11.已知1<=<Z-则否的取值范围是(答案写成区间或集

合).

参考答案：

(x4)

i1_®_i

试题分析：由题意得，因为1<0<Z-2。<一1,所以一1<<广<工所以一2<<

考点：不等式的性质.

12.某中学高三年级共有学生1200人,一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分

I

布N(IO。“：)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的三，

则此次考试成绩不低于120分的学生约有人.

参考答案：

200

13.设平面a的法向量为(1,2,-2),平面p的法向量为(-2,-4,k),若a〃B，

则k_.

参考答案：

4

【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系.

【分析】根据空间面面平行的判定与性质，可得两个平行平面的法向量互相平行，由此建

立关于k的等式，解之即可得到实数k的值.

【解答】解：：a〃p

...平面a、。的法向量互相平行，

由此可得2=(1,2,-2),b=(-2,-4,k),a//b

_2_

-2=-4=k,解之得k=4.

故答案为：4

―=K。>0.占>CQ

14.若双曲线ai的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的4,则

该双曲线的离心率为.

参考答案：

273

~3~

15.观察下列等式：

(1+1)=2X1

(2+1)(2+2)=22X1X3

(3+1)(3+2)(3+3)=23X1X3X5

照此规律，第n个等式可为—.

参考答案：

(n+1)(n+2)(n+3)•••(n+n)=2"?1?3?5-?(2n-1)

【考点】归纳推理.

【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等

式.

【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式

的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有

n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：

(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n),

每个等式的右边都是2的几次幕乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇

数的个数等于左边的括号数，

由此可知第n个等式的右边为2"?1?3?5…(2n-1).

所以第n个等式可为(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n?l?3?5-(2n-l).

故答案为(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2"?1?3?5-(2n-l).

16.过点的直线交直线L3x+2尸+6=°于点Q,则点。分有向线

段慈=4函,则2的值为.

参考答案：

3再+2乃+6

3叼+2为+6

略

a-j

17.若复数用为实数0为虚数单位），则实数”=▲.

参考答案：

-1

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.（本题满分1（）分）

已知抛物线的方程为丁=41，直线/过定点p（一2,1）,斜率为k.

（1）求抛物线的焦点F到直线x+2=0的距离；

（2）若直线/与抛物线有公共点，求k的取值范围.

参考答案：

解：（1）抛物线9=4x的焦点F的坐标为（1,（））,（1分）

于是F到直线x+2=0的距离为口一（-2）|=3.（2分）

⑵直线/的方程为：＞=H+2±+l（3分）

y=Ax+2Jt+l

由方程组lV=4x可得b_”+4（%+1）=0①（5分）

2

①当先=0时，由①得y=l.把y=l代入/=4x得*=，，

,（-.1）

这时直线/与抛物线有一个公共点4（6分）

kwO

②当上H0时，由题意得［A=-16（%、七-1）之°（8分）

-14上＜0,或0＜上42

解得2（9分）

综上所述，当一‘''’5时直线/与抛物线有公共点（10分）

略

19.（12分）某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满

分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：［40,50）,150,60）....［90,

100］后得到如图的频率分布直方图.

（1）求图中实数a的值；

（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于40

分的人数；

（3）若从样本中随机选取数学成绩在［40,50）与［90,100］两个分数段内的两名学生，求

这两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率.

频率

参考答案:

【考点】频率分布直方图.

【分析】（I）根据频率和为1,列出方程求出a的值；

（2）根据频率分布直方图，计算成绩不低于60分的频率与频数即可；

（3）计算成绩在［50,60）和［90,100］内的人数，利用列举法求出基本事件数，计算对应

的概率值.

【解答】解：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1,

所以10x（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1；…（2分）

解得a=0.03；...

（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为

l-10x（0.05+0.01）=0.85,...

由于该校高二年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，

可估计该校高二年级数学成绩不低于60分的人数约为

640x0.85=544（人）；...（6分）

（如果没有：”利用样本估计总体的思想，可估计”则扣1分）

（3）成绩在［50,60）分数段内的人数为

40x0.05=2（人），...（7分）

成绩在［90,100］分数段内的人数为

40x0.1=4（人），...（8分）

若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有

Ch15；...（9分）

如果两名学生的数学成绩都在［40,50）分数段内或都在［90,100］分数段内，

那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；

如果一个成绩在［40,50）分数段内，另一个成绩在［90,100］分数段内，

那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10;…（10分）

则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10分的取法数为

C2，C4=8；...（11分）

故所求概率为

O

P（M）=l5.…（12分）

【点评】本题考查了频率分布直方图以及用列举法求古典概型的概率问题，是综合性题

目.

20.过抛物线V'=4X的焦点F的一条直线，与这条抛物线相交于A（占，>】）、B（》2,

乃）两点,求*1勺+乂>2的值。

参考答案：

解析：当k不存在时，直线方程为X=I,此时=>/2=_4,所以X[X?+

丁必=—3。

当k存在时，由题可得F（l,0）,设直线方程为y=kx-k,代入抛物线方程消

去y可得，

+4）K+£2=0,.・.X/2=I,再把直线方程代入抛物线方程消去x可得，

4-4尸-4无=0,;JM=-4,.•产用+>必=_3

21.以直角坐标系的原点0为极点，上轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单

x=24-/cosa

《

位.已知直线I的参数方程为（。为参数，0<a<x）,曲线C的极坐标方

4

程为"tan6»sine.

（I）求曲线C的直角坐标方程；

（H）设点尸的直角坐标为汽ZD,直线L与曲线C相交于d、B两点，并且

阳•附=28,求jr的值

参考答案：

（I）当,>0时，,皿'。=48»8可化为0cos。，

x=^p^nO

由=得V=经检验，极点的直角坐标（0,0）也满足此式.

所以曲线。的直角坐标方程为V-41

K=2Hcasa

（II）将=l+1*a代入/=4工，得「立a,923。a4ros妙一7二0,

7

|4*»I=-5

所以SIBa.,

.23H5网-^3

<gna=—a.——CLsz-tsna=—tma=——

所以4,6或6,即3或3.

22.已知圆C的圆心坐标（1,1）,直线1：x+y=l被圆C截得弦长为

（1）求圆C的方程；

（II）从圆C外一点p（2,3）向圆