2022年数学(百色专用)一轮复习教学案-教材知识特训8几何最值模型

教材知识特训八几何最值模型垂线段最短模型模型点拨：直线l外有一定点A，点B是直线l上的一个动点，在直线l上求一点B，使得AB最小．当AB′⊥l时，线段AB′即为所求．【例1】如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE＋EF的最小值为3eq\r(3)．【解析】过点C作CF⊥AB于点F，交AD于点E，则此时CE＋EF的值最小，且最小值为CF的长，根据等边三角形的性质得到BF＝eq\f(1,2)AB，再根据勾股定理即可求得结果．【例2】如图，在▱ABCD中，AD＝7，AB＝2eq\r(3)，∠B＝60°.点E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为20．【解析】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小．∵AE⊥BC，AB＝2eq\r(3)，∠B＝60°，∴AE＝3，BE＝eq\r(3).∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，∴EF＝BC＝AD＝7.再根据周长公式即可求解．两点之间线段最短模型（一）“两定一动”求距离和最小模型点拨：（1）如图1，在定直线l上找一个动点P，使动点P到直线l外两个定点A与B的距离之和最小，即PA＋PB最小．连接AB，与直线l交于点Q即可；（2）如图2，在定直线l上找一个动点P，使动点P到直线l外两个定点A与B的距离之和最小，即PA＋PB最小．作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l交于点Q即可．【例3】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的点A出发，奔向小河旁边的点P饮马，饮马后再到点B宿营，若点A，B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，A，B两点之间水平距离是4，则AP＋PB的最小值为5．【解析】首先作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，此时AP＋PB最小；然后可得AP＋PB的最小值为A′B的长．【例4】（2021·毕节中考）如图，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则AP＋PQ的最小值为eq\r(3)．【解析】连接PC，AC，CQ.证明△ABP≌△CBP，可得PA＝PC，则PA＋PQ＝PC＋PQ≥CQ，通过解Rt△CQB求出CQ，即可得出答案．（二）“两定一动”求距离差最大模型点拨：（1）如图1，在直线l上取一点P，使得|PA－PB|最大．连接AB并与直线l交于点P即可；（2）如图2，在直线l上取一点P，使得|PA－PB|最大．作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并与直线l交于点P即可．【例5】如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，点P为CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为4．【解析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B并延长，交CD于P，则点P就是使|PA－PB|的值最大的点，此时|PA－PB|＝A′B.（三）“一定两动”求距离和最小模型点拨：点A在角的内部，在角的两边上分别取两个点M，N使得△AMN的周长最小．分别作点A关于角两边的对称点A′，A″，连接A′A″，并与角的两边分别交于点M，N即可．【例6】（2021·百色模拟）如图，已知正比例函数y＝kx（k＞0）的图象与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M，N为函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个动点，则AM＋MP＋PN的最小值为（C）A．2B．4sin40°C．2eq\r(3)D．4sin20°（1＋cos20°＋sin20°cos20°）【解析】作y轴关于直线y＝kx对称的直线OC，直线y＝kx关于y轴对称的直线OD，点A′是点A关于直线y＝kx的对称点，作A′E⊥OD，垂足为点E，交y轴于点P，交直线y＝kx于M，作PN⊥直线y＝kx，垂足为点N，此时AM＋MP＋PN＝A′M＋MP＋PE＝A′E最小（垂线段最短），在Rt△A′EO中利用勾股定理即可得出结果．（四）图形绕定点旋转求最值模型点拨：将△ABC绕点C旋转，得到△A′B′C，点E是BC上的点，点F为AB上的点，△ABC旋转过程中，点F对应点为F′，可求线段EF′长度的最大值为CF′＋CE，最小值为|CF′－CE|.【例7】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，点M是BC的中点，点P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是3．【解析】连接PC.首先根据直角三角形斜边上中线的性质求出PC＝2，然后根据三角形的三边关系可得到PM≤PC＋CM（当点P，C，M在同一条直线上时取“＝”），故此可得到PM的最大值为PC＋CM的值．过圆心的最值模型（点或线段绕定点旋转）模型点拨：已知⊙O半径为r，AO＝d，点P是⊙O上一点，点P运动到点B时，AP取得最小值为AB的长；点P运动到点C时，AP取得最大值为AC的长．【例8】（2021·凉山州中考）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为eq\r(3)，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为3．【解析】连接CP，CQ，作CH⊥AB于点H，根据等边三角形的性质得到AB＝CB＝4，∠BCH＝eq\f(1,2)∠ACB＝eq\f(1,2)×60°＝30°，根据直角三角形的性质得到BH＝eq\f(1,2)AB＝2，CH＝eq\f(\r(3),2)BC＝eq\f(\r(3),2)×4＝2eq\r(3)，由切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝eq\r(CP2－CQ2)＝eq\r(CP2－3)，推出当点P运动到点H时，CP最小，于是得到结论．【例9】如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，B关于原点O对称，则AB的最小值为6．【解析】连接OP.∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°.∵OA＝OB，∴AB＝2OP.若要使AB