反比例函数中与面积有关的问题及其解析

反比例函数中与面积有关的问题及解答反比例函数解析式及图象的特殊性与面积结合起来，既能考查反比例函数本身的基础知识，又能充分体现数形结合的思想方法，考查涉及的题型广泛，方法灵活，可较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题及解析归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|

∴xy=k

故S=|k|

从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|。对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|类型之一k与三角形的面积※问题1、如图，已知双曲线y=（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为6，则k=______．答案解析：过D点作DE⊥x轴，垂足为E，

由双曲线上点的性质，得S

△AOC

=S

△DOE

=

k,∵DE⊥x轴，AB⊥x轴，

∴DE

∥

AB，

∴△OAB

∽

△OED，

又∵OB=2OD，

∴S

△OAB

=4S

△DOE

=2k，

由S

△OAB

-S

△OAC

=S

△OBC

，

得2k-k=6，

解得：k=4．

故答案为：4．

问题2.如图，分别过反比例函数y=(x＞0)的图象上任意两点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2,，比较它们的大小，可得A.S1＞S2B.S1=S2C.S1＜S2D.S1、S2大小不确定。参考答案：B问题3.在下列图形中，阴影部分面积最大的是（）解析：A中阴影面积和为3；B中阴影面积和为3；过点M、分别向y轴、x轴作垂线，过点N向x轴作垂线，则图中五边形的面积=一个梯形面积+一个矩形面积=3+×（3+1）×（3-1）=7，∴图中阴影面积=图中五边形的面积-两个直角三角形的面积=7-2×=4；图中阴影面积=三角形面积=×1×（3+3）=3.故应选择C。问题4.如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=（x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为________。解析：∵AB⊥y轴，∴AB∥CO，∴△AOB的面积=AB•OB，∵S三角形ABC=AB•OB=1，∴|k|=2，∵k<0，∴k=-2，

故答案为-2．问题5.※如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（k＜0，x＜0）的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点B，点C在y轴上，连结AC、BC．若△ABC的面积是3，则k=

．问题6.如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，若OA2-AB2=8，则k的值为_______。类型之二k与平行四边形的面积问题7.※如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=（k<0，x<0）图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD的面积为3，则k值为___．

解答：∵AB⊥y轴，

∴AB∥CD，

∵BC∥AD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形AEOB的面积=AB•OE，

∵S平行四边形ABCD=AB•CD=3，

∴四边形AEOB的面积=3，

∴|k|=3，

∵<0，

∴k=-3，

故答案为：-3．问题8.如图，菱形OABC的顶点的坐标为（3,4），顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y=(x＞0)的图象经过顶点B，则k的值为（）。A.12B.20C.24D.32答案：过点C作CD⊥OA，

∵C的坐标为（3，4），

∴CD=4，OD=3，

∵CB∥AO，

∴B的纵坐标是4，

∴OC==5，

∴AO=OC=5，

∵四边形COAB是菱形，

∴B的横坐标是8，

∴k=8×4=32，

故选D．问题9.如图，函数y=-x与y=-的图象相交于A、B两点，分别过A、B两点作y轴的垂线，垂足分别为C、D，则四边形ACBD的面积为（）。A.2B.4C.6D.8分析：首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，得出S△AOC=S△ODB=2，再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．解答：解：∵过函数y=-的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，

∴S△AOC=S△ODB=|k|=2，

又∵OC=OD，AC=BD，

∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2，

∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8．

故选D．点评：本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性．问题10.如图，点A是反比例函数y=(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=-的图象于点B，以AB为边作□ABCD，其中点C、D在x轴上，则□ABCD的面积未（）。A.2B.3C.4D.5解析：设点A的纵坐标为b问题11.如图，在□ABOC中，两条对角线交于点E，双曲线y=(k＜0)的一支经过C、E两点，若□ABOC的面积为10，则k的值是（）。-B.-C.-4D.-5解析：类型之三k与矩形的面积问题12.如图，A、B两点在双曲线y=上，分别过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S1+S2=6，则S阴影=（）。A.4B.2C.1D.无法确定考点：反比例函数系数k的几何意义专题：计算题分析：根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S1+S阴影=S2+S阴影=4，则S1=S2，由于S1+S2=6，所以可计算出S1=3，则可得到S阴影=1．解答：解：根据题意得S1+S阴影=S2+S阴影=4，

所以S1=S2，

而S1+S2=6，

所以S1=3，

所以S阴影=4-3=1．

故选C．点评：本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。问题13.如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）。A.1B.2C.3D.4解析：考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：数形结合．分析：本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．解答：解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=，S△OAD=，

过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，

又∵M为矩形ABCO对角线的交点，

∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，

由于函数图象在第一象限，k＞0，则++9=4k，

解得：k=3．

故选C．

点评：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．问题14.如图，反比例函数y=（,k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E、F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为________。分析：设E（a，），则B纵坐标也为，代入反比例函数的y=，即可求得F的横坐标，则根据三角形的面积公式即可求得k的值．解：设E（a，），则B纵坐标也为，

E是AB中点，所以F点横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标：，

BF=-=，所以F也为中点，

S△BEF=2=，k=8．

故答案是：8．点评：本题考查了反比例函数的性质，正确表示出BF的长度是关键．问题15.如图，点P、Q是反比例函数y=图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，PM⊥x轴于点M,QBy轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1____________S2(填“＞”“＜”或“=”)。解析：问题16.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，其中OA=6，OC=3，已知反比例函数y=（,k＞0）的图象经过BC边的中点D,交AB于点E。（1）k的值为________；（2）猜想△的面积与△的面积之间的关系，并说明理由。答案：（1）9；（2）S△OCD=S△OBE，理由见解析．【解析】试题分析：（1）根据题意得出点D的坐标，从而可得出k的值：∵OA=6，OC=3，点D为BC的中点，∴D（3，3）．∵反比例函数（x＞0）的图象经过点D，∴k=3×3=9．（2）根据三角形的面积公式和点D，E在函数的图象上，可得出S△OCD=S△OAE，再由点D为BC的中点，可得出S△OCD=S△OB...类型之四k与多边形的面积问题17.如图所示，过点A（2，-1）分别作y轴、x轴的平行线交双曲线y=于点B、C，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥y轴于点D，连接ED，若五边形ABDEC的面积为34，则k的值为________。解答：由A（2，-1）可得B点横坐标为2，C点纵坐标为-1，进而可得出B（2，），C(-k,-1),E（-k，0），D（0，）。∵k＞0，五边形ABDEC的面积=k+k+2+××k(三个矩形与一个三角形的面积和)=34，∴k2+8k-128=0,解得k1=-16（舍去），k2=8,∴k的值为8。问题18.如图，点P是反比例函数y=（k1＞0，x＞0）图象上的一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y=（k2＜0，且|k2|＜k1）的图象于E、F两点。图1中，四边形PEOF的面积S1=______（用含k1、k2的式子表示）；图2中，设P点坐标为（2，3），①点E的坐标是（______，______），点F的坐标是（______，______）（用含k2的式子表示）；②若△OEF的面积为，求反比例函数y＝的解析式．解答：∵P是点P是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上一动点，∴S=k1∵E、F分别是反比例函数y＝（k2＜0且|k2|＜k1）的图象上两点，

∴S△OBF=S△AOE=|k2|，

∴四边形PEOF的面积S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|，

∵k2＜0，

∴四边形PEOF的面积S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|=k1-k2．

（2）①∵PE⊥x轴，PF⊥y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同，

∴E、F两点的坐标分别为E（2，），F（，3）；

②∵P（2，3）在函数y=的图象上，

∴k1=6，

∵E、F两点的坐标分别为E（2，），F（，3）；

∴PE=3-，PF=2-，

∴S△PEF=（3-）（2-）=，

∴S△OEF=（k1-k2）-

=（6-k2）-==，∴k2=

∵k2＜0，

∴k2=-2．∴y=题型之五：k与面积综合问题19.如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图像上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于A、B。求证：线段AB为⊙P的直径；求△AOB的面积。如图2，Q是反比例函数y=（x＞0）图像上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D。求证：DO·OC=BO·OA。反比例函数相关练习题1.如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、E在反比例函数y=的图象上。

（1）求AB的长；

（2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=的图象（如图2），求k1的值；

（3）直线y=-x上有一长为的动线段MN，作MH、NP都平行y轴，交在条件（2）下，第一象限内的双曲线y=于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明理由。2.如图，已知△P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2都在函数y=（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上．则点A2的坐标为。3.如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P在y轴上，△ABP的面积为1，则k的值为________．4.如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形并设其面积分别为则的值为．．5.如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，A和B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于

.6.如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数（x＞0）的图像上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数（x＞0）的图象上，顶点A3在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为7.如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图像和反比例函数的图像的两个交点。（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积；

（3）当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？参考答案与简析1.分析：（1）过点E作EF⊥BC于F，可证EF为△BCD的中位线，根据三角形的中位线定理即可求出AB的长；

（2）当矩形ABCD是正方形时，由（1）知，BC=AB=2．先用含m的代数式表示点A的坐标，再根据点A、E在反比例函数y=的图象上，列方程求出m的值，然后由轴对称的性质即可求出k1的值；

（3）过点N作NG⊥HM于G，易求MG=NG=1．设M（a，-a），则可用含a的代数式分别表示点N、P、H的坐标，由MH=NP列出关于a的方程，求解即可．解答：解：（1）如图，过点E作EF⊥BC于F，则EF=1．

∵点E是对角线BD的中点，

∴F为BC的中点，EF为△BCD的中位线，

∴CD=2EF=2．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=2；

（2）由（1）知，AB=CD=2．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=AB=2，∴BF=FC=1．

∵E（m，1），

∴F（m，0），B（m-1，0），A（m-1，2），

∵点A、E在反比例函数y=的图象上，

∴k=2（m-1）=m×1，

解得m=2，k=2，

∴点A、E在反比例函数y=的图象上．

∵将反比例函数y=的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=的图象，

∴k1=-2；

（3）四边形MHPN能为平行四边形．理由如下：

过点N作NG⊥HM于G，则∠MGN=90°．

∵点M、N在直线y=-x上，

∴∠MNG=45°，

∴MG=NG，

又∵MN=∴MG=NG=1．

设M（a，-a），则N（a+1，-a-1）．

∵MH、NP都平行y轴，且点H、P都在双曲线y=的图象上，

∴H（a，），P（a+1，）．

∵MH∥NP，

∴当MH=NP时，四边形MHPN为平行四边形，

此时+a=+a+1，

整理得a2+a-2=0，解得a=1，a=-2（舍去）．

∴点M的坐标为（1，-1）．

故四边形MHPN能为平行四边形，此时点M的坐标为（1，-1）．点评：考查了反比例函数综合题，其中有三角形的中位线定理，矩形和正方形的性质，反比例函数和正比例函数，平行四边形的判定，解方程，有一定的难度。2题.3.分析：连接OA，作AC⊥y轴于C点，由于AB⊥x轴，则AB∥OP，根据同底等高的三角形面积相等得到S△OAB=S△PAB=1，则有S矩形ABOC=2S△OAB=2，根据k的几何意义得到|k|=2，即k=2或k=-2，然后根据反比例函数性质即可得到k=-2．

解答：连接OA，作AC⊥y轴于C点，如图

∵AB⊥x轴，

∴AB∥OP，

∴S△OAB=S△PAB=1，

∴S矩形ABOC=2S△OAB=2，

∴|k|=2，即k=2或k=-2，

∵反比例函数图象过第二象限，

∴k=-2．

故答案为-2．

点评：本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。4.解析:设OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=a则A5的坐标为(5a,0),P5的横坐标为5aP5在y=2/x的图象上，满足方程所以P5的纵坐标为所以S5==。5.【答案】分析：根据两函数的对称性和圆的对称性，将阴影部分面积转化为一个圆的面积来解．

解答：解：由题意得，图中阴影部分的面积即为一个圆的面积．

⊙A和x轴y轴相切，

因而A到两轴的距离相等，即横纵坐标相等，

设A的坐标是（a，a），

点A在函数y=的图象上，因而a=1．

故阴影部分的面积等于π．

故答案为：π．

点评：能够观察到阴影部分的面积是圆面积，是解决本题的关键。6.答案分析：作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2