第九章常微分方程初值问题的数值解法

1§1预备知识：一,向量的内积第九章常微分方程初值问题的数值解法§1引言称为一个一阶的常微分方程.这里y(x)是x的函数.§1预备知识一向量的内积1,,内积的定义一个一阶的常微分方程的解是一族函数(带有任意常数).如果对上述方程再加上一个初始条件:称为一个一阶的常微分方程的初值问题.例:2微分方程初值问题数值解法的特点：2,内积的运算常微分方程初值问题解的存在唯一性定理:以后我们总假定给出的方程都满足该定理的条件.先把方程离散化,即在区间[a,b]中插入一些节点(通常采用等距节点)然后在这些节点上求出解函数在这些节点上的近似值因此微分方程的数值解的结果不是一个近似函数,而是一组数据,即一个数据表.33,向量的长度一由泰勒展开导出欧拉方法

设y(x)的二阶导数连续,则对其做二阶的泰勒展开3,向量的长度记为:§2欧拉方法这个方法称为欧拉方法,其几何意义就是用折线近似曲线.其截断误差为显然h越小精度越高.但同时计算步骤越多.由于其精度是O(h),所以又称其是一阶的方法.4向量的单位化向量的单位化二由数值微分导出欧拉方法三由数值积分导出欧拉方法5二,正交向量组1,向量的正交由泰勒展开已知,欧拉方法的局部截断误差为所以欧拉方法是收敛的.二正交向量组1,向量的正交四欧拉方法的误差现在进一步讨论欧拉方法的整体截断误差;62,正交向量组定理12,正交向量组五欧拉方法的改进1.改进的泰勒方法这个方法称二阶泰勒方法7正交规范向量组(1)定义这个方法称为梯形方法.把梯形方法和欧拉方法结合可得到改进欧拉方法(预估-校正法)正交规范向量组(1)定义2.梯形方法和改进欧拉方法或者把两式结合起来写成:8(2)向量组的规范正交化施密特正交化例基本思想:对泰勒展开中的各阶导数,用数值微分公式近似代替.§3龙格-库塔方法适当选择参数使这种方法称为p阶R-K法.9(2)向量组的规范正交化施密特正交化例现以二阶方法为例,讨论如何选取参数使做二元函数的泰勒展开代入以后整理得分别比较h的各次幂的系数,可得非线性方程组这个方程组有无穷多解.任一组解都对应一种二阶R-K法.如:就是改进欧拉方法再做一元函数的泰勒展开10三,正交矩阵二关于步长的选取和误差的事后估计步长h越小,截断误差也就越小,但会导致计算量的增加和计算误差的增大,所以要根据事先给定的精度要求选取适当的步长现设以h为步长,用p阶方法来计算,则误差为再以h/2为步长,用同样的方法来计算,则误差为11

由此可得这是一个误差的事后估计式,由此可以选取适当的步长.由这个误差估计式,我们还可以得到一种加速公式

称为Richardson方法12本节要求§4线性多步法线性多步法的基本原理是基于数值积分.对于初值问题两边积分再对右端的积分应用数值积分(用函数值的线性组合来近似积分)13

当r=0时,称为单步法,这恰好就是欧拉方法.§2方阵的特征值与特征向量(一)基本改概念当r=1时,称为二步法,其局部截断误差为.当r=2时,称为三步法,其局部截断误差为Adams线性多步法的特点:对任意的2.Adams线性多步法的截断误差的来源是数值积分的截断误差,

而数值积分的截断误差来源于插值误差,因此阿达姆斯方法的的局部截断误差是3.Adams线性多步法与Runge-Kutta法比较,R-K每提高一阶精度至少需要多计算一个函数值;而线性多步法每提高一阶精度只需多用一个已知的数据,所以从这个角度看计算量较小,

但线性多步法必须在单步法的基础上做.所以在实际计算时常常把两者相结合.14

§5一阶常微分方程组与高阶常微分方程的数值解法称为一个一阶常微分方程组.用向量记号可记为:与一阶常微分方程有非常类似的形式15例称为一个n阶常微分方程.对于一个n阶常微分方程,可以通过变换,化为一阶常微分方程组.令:所以下面主要讨论一阶常微分方程组的解法.