专题01绝对值（八大考点）专题讲练（原卷版）

专题01绝对值（八大考点）专题讲练1、知识储备2、经典基础题考点1给数求绝对值，给绝对值求数考点2比较有理数大小的方法考点3绝对值非负性的应用考点4.已知范围的绝对值化简考点5.未知范围的绝对值化简考点6.两个绝对值的和的最值考点7.两个绝对值的差的最值考点8.多个绝对值的和的最值3、优选提升题1绝对值的意义:数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作2绝对值的性质：绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：互为相反数的两个数绝对值相等3绝对值与数的大小1）正数大于0，0大于负数。2）理解：绝对值是指距离原点的距离所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。考点1给数求绝对值，给绝对值求数解题技巧：1.由数求绝对值：一定为非负数，即2.由绝对值求数1）绝对值为0的数仅有1个，即0；绝对值为正数的数有2个，其互为相反数；绝对值为负的数不存在。2）绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数。（建议用数轴区分，可能会有多解）例1．（2022·江苏宿迁·七年级期末）的绝对值是（）A．2 B． C． D．变式2．（2022·河南七年级期末）化简：________．例2．（2022·辽宁朝阳·七年级期末）如果，那么的值是__．变式2．（2022·成都市·成都七年级期末）若|5﹣x|＝1，则x＝_____．考点2比较有理数大小的方法性质：1）在数轴上从左往右的顺序，数字依次增大；2）两个负数，绝对值大的反而小解题技巧：（1）正数与正数比较，易于比较；（2）正数与负数比较，正数＞0＞负数（3）负数与负数比较，绝对值大的反而小（4）如果要比较的数比较多，建议在数轴上将每个数表示出来，在数轴上，从左至右，数值一次增大。当有字母时，且暂时无法理清大小关系，可以用特值法进行比较。例1．（2022·贵州遵义·七年级期末）若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（

）A．B．C．D．变式1．（2022·云南昆明·七年级期末）按要求解答(1)把下列各数填在相应的括号内：，，，（每两个1之间逐次增加1个0），，，，，正有理数集合：｛…｝；负数集合：｛…｝；整数集合：｛…｝．(2)画出数轴，并在数轴上表示下面5个原数，然后比较这5个原数的大小，用“<”号连接．，，，，考点3绝对值非负性的应用性质：，即非负性。注：a为任意实数解题技巧：此类题型往往出题为几个非负数相加，结果为0，则这每个非负数必须为零。即若，，…，为非负数，且，则必有例1．（2022·河北唐山·七年级期末）已知，则的值为（）A．2019 B． C． D．1变式1．（2021·广东茂名市·七年级期末）若，则的值为______．考点4.已知范围的绝对值化简【解题技巧】已知范围的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0.两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0；负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0；正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号.②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号.④化简.例1．（2022·四川成都·七年级期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a+c|-|a-b|+|b+c|=__________．变式1．（2022·河北唐山·七年级期末）若有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则化简的结果是__________．变式2．（2022·内蒙古赤峰·七年级期中）、、是有理数且，则的值是（

）A． B．3或 C．1 D．或1考点5.未知范围的绝对值化简【解题技巧】绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即；②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。例1．（2022·湖北咸宁·七年级期末）阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子（表示，例如：5和的距离可用或表示．(1)【知识应用】我们解方程时，可用把看作一个点x到5的距离，则该方程可看作在数轴上找一点P（P表示的数为x）与5的距离为2，所以该方程的解为或所以，方程的解为___（直接写答案，不离过程）．(2)【知识拓展】我们在解方，可以设A表示数5，B表示数，P表示数x，该方程可以看作在数轴上找一点P使得，因为，所以由可知，P在线段AB上都可，所以该方程有无数解，x的取值范围是．类似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范围）；(3)【拓展应用】解方程变式1.（2022·福建福州·七年级期末）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．考点6.两个绝对值的和的最值【解题技巧】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：分类情况（的取值范围）图示取值情况当时无法确定当时的值为定值，即为当无法确定结论：式子在时，取得最小值为。例1.（2022·河南·郑州七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用代数式表示为：4-（-3）．根据以上阅读材料探索下列问题：(1)数轴上表示3和9的两点之间的距离是；数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是；（直接写出最终结果）(2)①若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是4，则x的值为；②若x为数轴上某动点表示的数，则式子的最小值为．变式1.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．考点7.两个绝对值的差的最值【解题技巧】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：分类情况（的取值范围）图示取值情况当时的值为定值，即为—当时当的值为定值，即为结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。例1．（2021·湖北咸宁·七年级期末）我们知道的几何意义是表示在数轴上数对应的点与原点的距离；即，这个结论可以推广为：表示在数轴上数、对应点之间的距离．如图，数轴上数对应的点为点A，数对应的点为点B，则A，B两点之间的距离AB==．（1）可以表示数

对应的点和数

对应的点之间的距离；（2）请根据上述材料内容解方程；（3）式子的最小值为

；（4）式子的最大值为

．变式1.（2022·浙江·七年级模拟）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（）A．a＝3，b＝0B．a＝0，b＝﹣3C．a＝3，b＝﹣3D．a＝3，b不存在变式2．（2022·上海七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______．考点8.多个绝对值的和的最值【解题技巧】最小值规律：①当有两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；②当有三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合；③当有（奇数）个绝对值相加：，且，则取中间数，即当时，取得最小值为；④当有（偶数）个绝对值相加：，且，则取中间段，即当时，取得最小值为。例1．（2022·江苏江苏·七年级期末）若x是有理数，则|x﹣2|＋|x﹣4|＋|x﹣6|＋|x﹣8|＋…＋|x﹣2022|的最小值是______．变式1．（2022·河南南阳·七年级期末）|x＋8|＋|x＋1|＋|x﹣3|＋|x﹣5|的最小值等于（

）A．10 B．11 C．17 D．21变式2．（2022·重庆梁平·七年级期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为______；表示－1和2两点之间的距离为______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和－1的两点之间的距离是3，那么a＝______．(2)若数轴上表示数a的点位于－5与3之间，求的值；(3)当x＝______时，的值最小，最小值为______．1．（2022·湖北孝感·七年级期末）某个时刻，测得四个地点的气温分别是，，，，其中最低温度是（

）A．B．C．D．2．（2021·浙江·七年级期末）的最小值是（

）A．5 B．4 C．3 D．23.（2022·河南周口·七年级期末）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是(

)A．-1 B．1 C．3 D．-34．（2022·湖北十堰·七年级期末）有理数、、在数轴上的位置如下图所示，化简：______．5．（2022·上海七年级期末）的最小值为__________．6.（2022·湖北十堰·七年级期中）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__．7．（2022·湖南益阳·七年级期末）比较下列各数的大小，并用“＜”号连接起来：，，3，，，0．8．（2022·河北唐山·七年级期末）阅读下面的材料：我们知道，在数轴上，表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理，表示有理数a对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．请根据上面的材料解答下列问题：(1)数轴上有理数对应的点到有理数3对应的点的距离是_______；(2)表示有理数a对应的点与有理数_______对应的点的距离；如果，那么有理数a的值是_______；(3)如果，那么有理数a的值是_______．(4)代数式的最小值是_________，此时有理数a可取的整数值有______个．9．（2022·浙江杭州·七年级期末）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：（1）_______．（2）找出所有符合条件的整数x，使成立，并说明理由。（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．10．（2022·重庆市铜梁区关溅初级中七年级期末）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）（1）若，则_______，若，则_______；（2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______；（3）若，则x能取到的最大值是_______；（4）关于x的式子的取值范围是_______．11．（2022·浙江杭州·七年级期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为____