常微分方程数值解-补充知识

常微分方程数值解

§1Euler折线法

1.Euler法

2.改进Euler法

3.Euler法的预估—校正法§2Runge—Kutta法

1.二级R—K法法

2.二级R—K法法

3.三级三阶法11/14/20231对于常微分方程初值问题则（1）在区间[a,b]上存在唯一解y=y(x).

如果f(x,y)

在

[a,b]×(-∞,+∞)上连续，且关于

y

满足Lipschtz

条件：（1）|f(x,y1)–f(x,y2)|≤L|y1-y2|（2）对于(1)在区间[a,b]上的唯一解y=y(x)，一般情况下很难求出其解析解，因此只能通过数值解法求其近似解。也就说，构造适当的数值方法，利用(1)求出y=y(x)

在节点x1,x2,…,xn

处的近似函数值y1,y2,…,yn

。常用方法主要有两种：Euler

折线法和Rune-Kutta

法。x∈[a,b]11/14/20232§1

欧拉折线法一．Euler

法xi=x0+ih,i=0,1,2,…，n对于初值问题将区间[a,b]n等分，步长为h=(b-a)/n，得到n+1个分点已知y=y(x)

在x0处的函数值为y0，为求出函数在x1点的函数值y(x1)

，先将方程(1)进行转化。x∈[a,b]（1）11/14/20233在区间[x0,x1]上将微分方程化为积分方程：对于右端积分采用左矩形积分公式，得到近似积分：这个近似值我们表示为：即：x0x1xyOx∈[a,b]11/14/20234并称该计算方法为Euler折线性。（3）依此类推可以求得函数y=y(x)

在所有分点x1,x2,…,xn

处的近似函数值y1,y2,…,yn

：采用同样的方法，可以求出y=y(x)

在x2处的近似值y2：第n次近似解的整体误差为：11/14/20235二、改进Euler法前面给出的Euler折线性，由于采用的左矩形积分公式，精度较低，如果我们采用梯形公式就可以加以改进，提高计算精度。对于下式的右端积分利用梯形公式得到：进而得到近似计算式：依此类推可以推得一般的计算公式：11/14/20236并称其为改进Euler法，它是一个隐式计算格式。具体计算时，需要从中解出yi+1

来。（4）例1用Euler法和改进Euler法计算初值问题11/14/20237解:以h=0.02

为步长进行计算,这时得区间[0,0.1]上的分点由原方程xi

=

0+ih=0.02i,i=0,1,2,3,4,5及Euler折线公式得具体计算公式11/14/20238再由原方程改进Euler折线公式得到这是一个隐式计算公式，但从中很容易解出yi+1来：11/14/20239y0=1该初值问题的真解为y=(1+2x)-0.45。用两种算法计算出5个点得近似值，再计算出精确解在这些点的值，其结果列表如下：11/14/202310ixiEuler解

yj改进Euler解

yj精确解

yj001.000001.000001.0000010.020.982000.982500.9825120.040.965000.965950.9659630.060.948920.950260.9502840.080.933670.935370.9353950.100.919180.921200.92123表5-1:三种解的比较从中可以看出，改进Euler法的结果要更精确一些。11/14/202311三、Euler法的预估—校正法

在改进Euler法中，有时并不容易解出yi+1来，这时可以通过迭代法求解，得到如下的迭代公式：其中初值通过Euler公式计算合并起来就是如下的形式：11/14/202312用Euler法提供初值，往往可以得到较好的结果，只需要迭代一次就可以求得很好的近似，因此上面的公式可以改为如下的形式：并称其为预估一校正法，其中称为预估值，yi+1为校正值。如果进行编程计算，则改为下式：11/14/202313例2用预估一校正法求解：取步长h=0.1,xi=ih,i=0,1,2,…,10

。解：由公式预估-校正计算公式

11/14/202314依此类推可以计算出首先，由y0=1，计算出

11/14/202315§2

、Runge—Kutta

法关于预估一校正法，如果将其推广为则称其为m级Runge—Kutta

法，其中为常数，这些常数的选取，应该使得误差尽可能的高。11/14/202316一、二级二阶R—K

法其误差为由Talor展式得11/14/202317由二元函数的Taylor展式得到带入Ri+1

得到：11/14/202318要使Ri+1的阶数尽可能的高，应选取λ1、λ2、α、β

使h、h2的系数为零，根据f的任意性，应使解得这时Ri+1=O(h3)

有p=2

阶精度。这样得到的方法称为二级二阶R-K法。

λ2可以任意取定.11/14/2023191).当λ2=1/2

时λ1=1/2，α=β=1

则有为预估一校正法2).当λ2=1

时λ1=0，α=β=1/2

具体为11/14/202320二、三级三阶R-K法利用和二级二阶同样的推理方法可以得出相应的三级三阶R-K法的计算公式11/14/202321三、四级四阶标准R-K法11/14/202322小结掌握求解右面常微分方程初值问题的三种方法：一、Euler折线法二、改进Euler折线法三、预估-校正法11/14/202323实验练习

一、取步长h=0.1,分别用Euler法、改进Euler法和Euler预估校-正法求解下列初值问题：

1.y’=1-y,y(0)=0,0≤x≤1;2.y’=xy2,y(0)=1,0≤x≤1;