7.2.17.2.2 任意角的三角函数 同角三角函数的关系

.1&7.2.2任意角的三角函数同角三角函数的关系【考点梳理】考点一：任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝y；点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：正弦函数y＝sinx，x∈R；余弦函数y＝cosx，x∈R；正切函数y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．考点二：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．考点三：同角三角函数的基本关系1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即eq\f(sinα,cosα)＝tanα其中α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．【题型归纳】题型一：由定义或者终边求某角三角函数1．（2023下·广东佛山·高一校考期中）若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果.【详解】因为角的终边经过点，则.故选：D2．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】考查三角函数的定义，利用定义即可得出结果.【详解】因为，由三角函数的定义可知，点为角的终边与单位圆的交点，所以：.故选：B.3．（2023下·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）已知角的终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形函数的定义可求出结果.【详解】由，解得，所以点，所以.故选：D题型二：由单位圆求三角函数值4．（2023上·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）点P从点出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q，则点Q的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得为终边的一个角为，设，根据三角函数的定义可求出结果.【详解】根据题意得为终边的一个角为，设，根据三角函数的定义可得，，则，，所以.故选：C5．（2022上·重庆九龙坡·高一统考期末）已知点是角α的终边与单位圆的交点，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据余弦函数的定义直接进行求解即可.【详解】因为点是角α的终边与单位圆的交点，所以，故选：B6．（2021下·河南洛阳·高一统考期中）点为圆与轴正半轴的交点，将点沿圆周逆时针旋转至点，当转过的弧长为时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了.【详解】设旋转角为，则，得，从而可得.故选：B.题型三：三角函数值符号的确定7．（2023上·陕西西安·高一长安一中校考期末）“且”是“为第三象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】求出且时所在象限，再根据充分必要条件的概念判断．【详解】因为且，由任意角的三角函数可知，为第四象限角，所以“且”是“为第三象限角”的既不充分也不必要条件，故选：D.8．（2023上·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考期末）点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由，可得的终边在第二象限，根据三角函数的定义即可判断和的正负，进而求解.【详解】由，即的终边在第二象限，所以，，所以点在第二象限.故选：B.9．（2022下·北京海淀·高一北京市八一中学校考阶段练习）已知，则函数的值可能是（

）A．1 B． C．4 D．【答案】B【分析】分若为第一、二、三、四象限角，求出的值.【详解】若为第一象限角，则，故，若为第二象限角，则，故，若为第三象限角，则，故，B正确；若为第四象限角，则，故.故选：B题型四：平方关系（sinθ±cosθ型求值）10．（2023下·四川宜宾·高一校考期中）已知，其中，的值为（

）A．－ B．－ C． D．【答案】A【分析】利用平方关系计算的值，并根据角的象限判断符号即可.【详解】因为为第四象限角，所以.故选：A.11．（2022下·河南驻马店·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知结合求得即可求出.【详解】因为，，则可解得，所以.故选：A.12．（2022下·山东东营·高一广饶一中校考习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，可求得的值.【详解】因为，则，由已知可得，解得，因此，.故选：D.题型五：正余弦齐次式计算问题13．（2023上·天津红桥·高一天津市瑞景中学校考期末）已知，则（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】根据条件，利用齐次式即可求出结果.【详解】因为，所以，故选：C.14．（2023下·北京西城·高一北师大实验中学校考期中）如果角的终边在直线上，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函数的定义及同角三角函数的商数关系即可求解.【详解】因为角的终边在直线上，所以.所以.故选：B.15．（2023·高一单元测试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用齐次式求出，再把待求式子进行弦化切，代入求解.【详解】∵，∴，则.故选：A题型六：化简求值16．（2023下·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校）已知，且则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两边平方得到，进而得到，联立求出，得到答案.【详解】由，两边平方得，因为，所以，又，又因为，所以，，得，联立与，求得，故故选：C17．（2023·全国·高一课堂例题）化简：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式进行化简，从而求得正确答案.（2）根据同角三角函数的基本关系式、三角函数的符号等知识进行化简，从而求得正确答案.【详解】（1）原式．（2）因为，所以．原式．18．（2023下·高一课时练习）已知是关于x的方程的两个根（）(1)求a的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由韦达定理和同角三角函数关系结合判别式即可求实数的值；（2）用立方和公式把展开结合韦达定理即可求解；（3）切化弦后结合韦达定理即可求解.【详解】（1）因为是关于x的方程的两个根，所以方程的判别式，解得：或，且有，所以==，即，解得（舍去），即a的值为.（2）因为，所以的值为.（3）因为.故的值为.题型七：恒等式的证明19．（2023下·河南许昌·高一校考期中）证明：.【答案】证明见解析.【分析】根据平方关系将所证等式的左侧化简，再根据商的关系将其转化为正切即可.【详解】左边右边.所以.20．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）证明：(1).(2)已知，，求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用作差法结合同角三角函数的平方关系可证得结论成立；（2）由已知条件可得，，再利用同角三角函数的平方关系计算可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为，因此，.（2）证明：因为，，则，，所以，.故结论得证.21．（2023下·山东潍坊·高一校考阶段练习）（1）若，化简：；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）由已知，结合平方关系式及角的范围化简计算即可；（2）利用切化弦公式化简等式的左边得到右边.【详解】（1）原式，因为，所以，原式.（2）证明：.【双基达标】单选题22．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知角终边经过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦函数的定义列式计算即可.【详解】因为角终边经过点，所以，所以，解得.故选：C23．（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）角的终边上一点的坐标为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助三角函数定义求出，然后利用定义可求答案.【详解】，解得：，所以.故选：A.24．（2023上·高一课时练习）当x为第二象限角时，（

）A．1 B．0C．2 D．－2【答案】C【分析】根据正弦、余弦函数的正负性进行求解即可.【详解】因为是第二象限角，所以，故选：C25．（2023·海南·校联考模拟预测）若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先左右两边平方，得出，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值．【详解】∵，∴，即，∴，∴，得，∴，∴或，∵，且，∴由三角函数定义知，∴，故．故选：D.26．（2023下·江西萍乡·高一统考期中）已知，则（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】分子分母同时除以进行弦切互化即可求解.【详解】由题知，，则.故选：C.27．（2023上·山东枣庄·高一统考期末）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得，根据即可求得结果.【详解】将两边同时平方可得，，可得；又，所以；易知，可得；又,所以.故选：C28．（2023·全国·高一随堂练习）在单位圆中，确定下列三角函数值的符号：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)正(2)负(3)负(4)负【分析】在单位圆中，作出角（或与该角终边相同的角），根据角的象限，结合三角函数的定义，即可得出答案.【详解】（1）

如图1，作出（自轴非负半轴起，逆时针旋转），可知该角的终边位于第二象限，设，易知，根据三角函数的定义可得，.（2）

如图2，作出（自轴非负半轴起，逆时针旋转），可知该角的终边位于第三象限，设，易知，根据三角函数的定义可得，，所以.（3）

如图3，作出（自轴非负半轴起，顺时针旋转），可知的终边位于第三象限，设，易知，根据三角函数的定义可得，.（4）

如图4，作出（自轴非负半轴起，逆时针旋转），可知的终边位于第四象限，设，易知，根据三角函数的定义可得，.29．（2023上·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）0或．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；（2）由平方关系求出，从而求出，即可得到【详解】（1）由，所以；（2）由，，可得，即，则或，当时，，则；当时，，则；所以或．【高分突破】一、单选题30．（2023·全国·高一课堂例题）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数的基本关系式先求得，进而求得.【详解】依题意，，，整理得，解得（舍去）或．∵，．故选：A31．（2023下·贵州遵义·高一统考期中）若为第三象限角，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函数的基本关系化简可得的值.【详解】因为为第三象限角，则，因此，.故选：D.32．（2023下·贵州遵义·高一统考期中）若，，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】A【分析】根据题意切化弦得到，，进而判断角所在象限.【详解】由，，得，，所以是第一象限角.故选：A.33．（2023下·高一课时练习）在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边是x轴的非负半轴，终边在射线上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数定义得到，再利用同角三角函数关系求出答案.【详解】，因为终边在上，不妨取，则，所以，故.故选：C34．（2023下·辽宁大连·高一校联考期中）我圆古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为，分别求得，结合，求得，结合，即可求解.【详解】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为，因为是直角三角形较小的锐角，所以，可得，则，即，所以，解得或（舍去），所以.故选：C.二、多选题35．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）下列说法正确的是（

）A．若，则与是终边相同的角B．若角的终边过点，则C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度D．若，则角的终边在第一象限或第三象限【答案】CD【分析】举反例判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由与同号判断D.【详解】对于A：当时，，但终边不同，故A错误；对于B：，当时，，故B错误；对于C：由，得，故C正确；对于D：，即与同号，则角的终边在第一象限或第三象限，故D正确；故选：CD36．（2023下·江西萍乡·高一统考期中）已知角的终边上有一点，若，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据三角函数的定义即可求解.【详解】由题知，因为，所以点在第三象限，所以，，故选：BD.37．（2023上·重庆·高一统考期末）已知，，则下列结论正确的是（

）A．为第二象限角 B．C． D．【答案】ABD【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项.【详解】由同角三角函数平分关系可得，，因为，所以，解得，,因为，所以是第二象限角，故选项，正确，有同角三角函数商数关系可得，，故选项错误，因为，故选项正确.故选：.38．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】运用同角的三角函数关系式进行运算逐一判断即可.【详解】因为，所以，而为锐角，所以，选项A正确；，所以选项C正确；因为为锐角，所以，因此选项D正确，由，所以选项B不正确，故选：ACD39．（2023下·广东·高二校联考期末）在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后到达点，若，则可以取（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据题意可得，再结合和已知条件可求出.【详解】因为点绕点O逆时针旋转后到达点，所以，因为，所以，则由，解得，或，所以可以取或，故选：AD三、填空题40．（2023上·浙江宁波·高一余姚中学校考期中）已知角的终边经过点，则．【答案】/【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】∵角的终边经过点，∴，，，∴．故答案为：．41．（2023·全国·高一随堂练习）若角的终边经过点，则的值是．【答案】【分析】分、两种情况讨论，结合三角函数的定义可求得的值.【详解】因为角的终边经过点，当时，由三角函数的定义可得，，此时，；当时，由三角函数的定义可得，，此时，.综上所述，.故答案为：.42．（2023·全国·高一专题练习）若，则.【答案】【分析】由求出，再由立方差公式求解的值.【详解】，两边平方得，∴，则．故答案为：．43．（2023下·浙江温州·高一校联考期中）已知，则．【答案】【分析】直接利用同角三角函数关系和商数关系即可.【详解】因为，解得，所以，所以，故答案为：.44．（2023·全国·高一课堂例题）已知，则（1）；（2）；（3）．【答案】【分析】（1）分子分母同时除以，将所求式子转化为只含的形式，由此求得正确答案.（2）分子分母同时除以，将所求式子转化为只含的形式，由此求得正确答案.（3）先除以“1”，也即除以，再分子分母同时除以，将所求式子转化为只含的形式，由此求得正确答案.【详解】（1）分子分母同时除以得：（2）分子分母同时除以得：．（3）.故答案为：；；四、解