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文档简介

形如

（1.2.1）的方程称为变量可分离方程。§1.2

变量可分离方程这里是连续函数.该方程的特点:方程的右端是两个独立的一元函数之积.一、

变量可分离方程的求解当方程（1.2.1）两边同除以得

这样对上式两边积分得到例1.2.1求微分方程的通解。注：求方程通解时，我们假设若时得y值也可能为方程的解。所以要考虑的情况，解：变量分离后得上式两边积分得整理得其中该解在无定义,故通解在中有定义.该方程对应的解我们称为常数解例1.2.2求微分方程的通解.解:变形为积分得:求积分得:解得:记则因为可得故所有的解为:二、齐次方程齐次函数:函数称为m次齐次函数,如果齐次方程:形如的方程称为齐次方程。引入一个新变量化为变量可分离方程求解思想:求解。例1.2.3

求下面初始值问题解：方程为一齐次方程，令求导后得分离变量得事实上,令则故有即积分上式得用代入得利用初始条件

可定出代入上式解出注:当方程右端是一些线性分式函数时，可化为齐次方程。对特殊方程令则例:雪球融化问题设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。解:设t时刻雪球的体积为

，表面积为

，由题得球体与表面积的关系为

§1.2.3变量可分离方程的应用引入新常数

再利用题中的条件得分离变量积分得方程得通解为再利用条件

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