点和圆直线和圆的位置关系（二）

24.2点和圆、直线和圆的位置关系（二）一、直线和圆的位置关系1、相交、相切、相离的概念相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。2、直线和圆的位置关系符号表示直线l和⊙O相交⇔直线l和⊙O相切⇔直线l和⊙O相离⇔图42、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。（3）以上三个定理及推论也称二推一定理：即①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中道其中两个条件就能推出最后一个。注：在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径。3、切线长定理（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长；（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。4、三角形的内切圆和内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。二、圆和圆的位置关系1、相离、相切、相交的概念相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如图5中（1）(5)(6)所示。其中（1）叫做外离，(5)(6)叫做内含，(6)中两圆的圆心相同是两圆内含的一种特殊情况；相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图1中（2）(4)所示。其中（2）叫做外切，(4)叫做内切；相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图1中（3）所示。图52、圆和圆的位置关系符号表示如果两圆的半径分别为r1和r2(r1<外离⇔d>r1外切⇔d=r1相交⇔r2-r1<内切⇔d=内含⇔d<题型一判断直线和圆的位置关系【例1】已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】C【解析】解：∵⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7∴6<7，∴直线l与⊙O的位置关系是相离，故选：C．【变式11】如果一个圆的直径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定【答案】A【解析】解：∵圆的直径为8cm，∴圆的半径为4cm∵圆心到直线的距离8cm，∴圆的半径<∴直线与圆相离，故选：A．【变式12】已知⊙O的半径是一元二次方程x2-7x+12=0的一个根，圆心O到直线l的距离d=3，则直线l与⊙O的位置关系是【答案】相交或相切【解析】解：由x2-7解得x1=3即⊙O的半径是3或4当⊙O的半径是3时，3=3，即r当⊙O的半径是4时，4>3，即r故答案为：相交或相切【变式13】在Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为个【答案】1【解析】解：∵∠BAC=90°，AB=8∴BC∴斜边上的高为：AB⋅∴d∴圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1．【变式14】⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离是方程x2-7x+12=0的一个根，则直线l与⊙O的位置关系是【答案】相交或相切【解析】解：∵x2∴x-3解得：x1=3，∵点O到直线l距离是方程x2-7x+12=0的一个根，即为∴点O到直线l的距离d=3或4∵⊙O的半径为4∴r=4∴d=r∴直线l与圆相交或相切.题型二已知直线和圆的位置关系求解【例2】在平面直角坐标系中，以点A4,3为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（

A．0<R<5 B．3<R<4 C．3<R<5 D．4<R<5【答案】C【解析】解：∵A4,3，∴∵原点O在圆A的外部，∴R<OA，即∵圆A与x轴相交，∴R>3，∴3<R<5【变式21】已知⊙O和直线l相交，圆心到直线l的距离为4cm，则⊙O的直径可能为（A．9cm B．8cm C．7cm【答案】A【解析】解：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d∵⊙O和直线l∴d又∵圆心到直线l的距离为4cm∴r∴直径大于8cm．故选A【变式22】⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R,d是关于x的方程x2-4x+m=0的两个根，当直线l和⊙O相切时，m的值为【答案】4【解析】∵直线l和⊙O相切，∴∵R,d是关于x的方程∴关于x的方程x2∴Δ=0，即-42-4m【变式23】直线l与⊙O相离，且⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是．【答案】d【解析】解：∵直线l与⊙O相离，且⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为∴d的取值范围是d>3【变式24】以点P1,2为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则r的值为【答案】2或5【解析】作PA⊥x轴，连结∵点P的坐标为1,2，∴OA=1，PA∴OP=A∵以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴恰好有三个公共点，∴⊙P过点O或者⊙P与∴r=5或r题型三求圆与直线相切时的运动距离【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的半径为2，点P的坐标为0,3，若将⊙P沿y轴向下平移，使得⊙P与x轴相切，则⊙P向下平移的距离为（

）A．1 B．5 C．3 D．1或5【答案】D【解析】解：当圆P在x轴的上方与x轴相切时，平移的距离为3-2=1，当圆P在x轴的下方与x轴相切时，平移的距离为3+2=5，综上所述，⊙P向下平移的距离为1或5．故选：D【变式31】如图，⊙O半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，将直线l沿OC所在直线向下平移，若l恰好与⊙O相切时，则平移的距离为（A．2cm B．4cm C．6cm【答案】B【解析】解：连接OA，∵l⊥∴AH=∴OH=∵将直线l沿OC所在直线向下平移，若l恰好与⊙O∴CH=即直线在原有位置向下移动4cm后与圆相切．故选：B【变式32】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是．【答案】1<【解析】解：⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)∴OP∵⊙P的半径为2∴AP∴OA=1，∴当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5∴平移的距离d的取值范围是1<d【变式33】如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，3），∠BAO=30°，点P的坐标为(1,0)，⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标．【答案】（2,0）（3,0）（4,0）【解析】如图，⊙P'与⊙P″分别切AB于由B(0,3)，∠BAO=30°，易得OA连接P'D、P″E，则P'D⊥同理可得，AP″=2，则 P' 的横坐标为∴当⊙P与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为-5<∴横坐标为整数的点P的坐标为(-2,0)、(-3,0)、(-4,0)．故答案为：(2，0)、(3，0)、(4，0)．【变式34】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的圆的圆心P在直线AB上，且与点O的距离为8cm，若点P以1cm/s的速度由A向B的方向运动，当运动时间t为【答案】10s或6s【解析】解：当⊙P在射线OA上，设⊙P与CD相切于点E，P移动到M时，连接∵⊙P与直线CD∴∠OEM∵在Rt△OEM中，ME=1∴OM=2则PM=∵⊙P以1cm/s的速度沿由∴⊙P移动6s时与直线CD当⊙P在射线OB上时，同理可求⊙P移动10s时与直线题型四切线的认识与应用【例4】下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线【答案】D【解析】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确；

B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确；C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；

D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确.【变式41】平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【答案】C【解析】解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，∴∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙过圆外一点可以作圆的2条切线，故选：C．【变式42】如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=6cm，O为直线b上一动点，若以2cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为【答案】4cm或【解析】解：∵直线a⊥b，O为直线∴⊙O与直线a相切时，切点为H∴OH=2当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1OP=PH-当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2OP=PH+∴⊙O与直线a相切，OP的长为4cm或【变式43】如图，已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线y=12x2+x-32上运动，当⊙P【答案】10-1,3或【解析】解：抛物线y=所以抛物线顶点为-1因为圆与x轴相切，圆心在抛物线上∴P点纵坐标为3，令12得x1故P10-1,3或【变式44】如图，PA、PB分别切⊙O于点A，B，点E是⊙O上一点，且∠P=100°，则【答案】40°【解析】解：连接OA、∵PA、PB分别切⊙O∴OA∴∠PAO∵∠P∴由四边形内角和为360°得到∠AOB∵AB∴∠E题型五使直线成为切线的条件【例5】如图，AB为⊙O的直径，AB=1cm,BC=2cm，当AC=cm时，直线【答案】1【解析】解：当∠BAC=90°时，直线AC∴AC=BC【变式51】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．【答案】60【解析】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴∠OAB∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．【变式52】在下图中，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【解析】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圆O的直径，∴AT是圆O的切线，故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【变式53】下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．求作：直线PN，使得PN与⊙O相切．作法：如图2，①作射线OP；②在⊙O外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；③连接MQ并延长交⊙Q于点N；④作直线PN．所以直线PN即为所求作直线．根据小石设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵MN是⊙Q的直径，∴∠MPN＝°（

）（填推理的依据）．∴OP⊥PN．又∵OP是⊙O的半径，∴PN是⊙O的切线（

）（填推理的依据）．【答案】（1）作图见解析；（2）90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】（1）（1）补全图形如下图；（2）证明：∵MN是⊙Q的直径，∴∠MPN＝90°∴OP⊥又∵OP是⊙O的半径，∴PN是⊙O的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

）（填推理的依据）．【变式54】如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，下列说法不正确的是（

）A．若DE=DO，则DE是⊙O的切线 B．若AB=AC，则DE是⊙O的切线C．若CD=DB，则DE是⊙O的切线 D．若DE是⊙O的切线，则AB=AC【答案】A【解析】解：当AB=AC时，如图：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位线，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，所以D选项正确；当CD=BD时，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．若DE=DO，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以题型六求证直线是圆的切线【例6】如图，在△OAB中，OA=OB=5，AB=8，⊙O的半径为3．求证：AB是【答案】见解析【解析】证明：如图，过O作OC⊥AB于∵OA=OB，∴AC=在Rt△OAC中，∵⊙O的半径为3∴OC为⊙O∴AB是⊙O【变式61】如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4．求证：PC是⊙O的切线．【答案】见解析【解析】证明：连接OC，如图所示：∵⊙O的半径为3∴OC∴OP又∵PC∵3∴O∴△OCP是直角三角形，且∠∴OC又∵OC是⊙∴PC是⊙【变式62】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O【答案】证明见解析【解析】证明：连接FC，OF，如图所示：∵AC是圆O的直径，∴∠AFC∵E是BC的中点，∴EF∴∠EFC∵OF∴∠OFC在Rt△ABC中，∠ACB∴∠∴∠OFE=90°，即∵OF是⊙∴直线EF是半圆O的切线．【变式63】（不需作辅助线）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，连接BD．求证：DF是⊙O的切线．【答案】见解析【解析】证明：∵AB=∴∠C∵∠C∴∠ABC∵AD是⊙O∴∠ABD即∠ABC∵DF∥BC，∴∠CBD∴∠ABC∴DF是⊙O【变式64】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD+BC=CD，以AB为直径作⊙O，求证：CD与⊙O相切．【答案】见解析【解析】解：延长CO,DA交于点H，过点O∵∠∴∠又∠∴△∴AH∵AD∴CD∵∠∴△∴AO即圆心O到CD的距离等于圆的半径∴CD与⊙O题型七切线的性质和判定的应用【例7】如图，D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过点D作DE⊥OB于点E，以点D为圆心，DE长为半径作⊙D．求证：OA是⊙D的切线．【答案】证明见解析．【解析】证明：过点D作DF⊥OA于点又∵D是∠AOB的平分线OC上任意一点，∴DF=即DF是⊙D∴OA是⊙【变式71】如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D作⊙O的切线与AB的延长线交于点E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．【答案】见解析【解析】证明：连接OC，∵OC∴∠COE在△COE和△DOE中，∴△COE∴∠OCE∵DE是⊙∴∠ODE∴∠OCE=90°，即又∵OC是⊙∴CE为⊙【变式72】如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF=∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BF=10，EF=20，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析（2）15【解析】（1）解：连接OE，∵AB是⊙∴∠AEB=90°，即∵AE平分∠∴∠CAE∵OA∴∠EAB∵∠BEF∴∠BEF∴∠BEF∴OE∵OE是⊙∴EF是⊙（2）设⊙O的半径为x则有OE=∵EF是⊙O∴∠OEF在Rt△OEF中，O∴x2解得x=15∴⊙O的半径为15【变式73】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，∠D=2∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：DE=DC．【答案】见解析【解析】（1）证明：连接OC，如图，∵OA∴∠ACO∴∠COB又∵∠D∴∠D又∵OD∴∠COB∴∠D+∠COD∴OC又点C在⊙O∴CD是⊙（2）证明：∵∠DCO∴∠DCE又∵OD∴∠AEO又∵∠A=∠ACO∴∠DEC∴DE【变式74】如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，D是⊙O上一点且CA=CD，连BD、OC，OC交⊙O于点E，交AD于点F．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若∠ACD=60°，求EFCE【答案】（1）见解析（2）1【解析】（1）证明：连接OD，在△OCD和△OCA中，CD∴△OCD≌△OCA∴∠ODC∵AC是⊙∴OA即∠OAC∴∠ODC即OD⊥∵OD∴CD是⊙（2）解：连接AE∵∠ACD=60°，∴△ACD∴∠∵AB是⊙O∴∠∴∠∵OD=OB，则∴∠DOB∵∠AOC∴∠∵OA∴CF⊥又∠EOD=60°，∴∠EAD=∴CE=∴EFCE题型八切线长定理的认识与运用【例8】切线长为8cm，则△PDEA．16cm B．14cm C．12cm【答案】A【解析】解：∵PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C∴PA=PB=8cm∴DE=∴PD+∴△PDE的周长为16cm，故选：A【变式81】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=100°，⊙O与AB，BC分别切于点D，C，连接CD．则∠ACD的度数为（

）A．50 B．40 C．30 D．20【答案】C【解析】解：∵AC=BC∴∠B∵⊙O与AB，BC分别切于点D，C∴BD∴∠BCD∵∠BCD∴2∠BCD∴∠BCD∴∠ACD=∠ACB【变式82】如图，PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B,OP交⊙O于点C．下列结论中，错误的是（

）A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．∠PAB=2∠1【答案】D【解析】解：连接OA,则：OA=∵PA,PB是∴PA=∴OP是线段AB的中垂线，∴OP⊥∴∠1=∠2；∴∠APB条件不足，无法得到∠PAB∴∠PAB综上，只有选项D错误，符合题意．【变式83】如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=AD，分别连接AC，BD．下列结论正确的是（A．∠ADC=90° B．BC=CD C．∠ACD=∠ACB D．A，O，C三点共线【答案】BCD【解析】解：连接AO、CO，BO、DO，设切点分别为E、F、G、H，∵AB、AD为∴∠BAO=∠DAO∵AB=AD，∴△BAO∴BO=∴AO是线段BD的垂直平分线，∵AB=AD，∴BH=由切线长定理知BH=BE=∴CB=∵BO=∴CO也是线段BD的垂直平分线，∴A，O，C三点共线，∠ACD故选项B、C、D正确；∠ADC的大小是变化的，故选项A【变式84】如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，且∠A=90°，BC=5，CA=4，则⊙O的半径是．【答案】1【解析】解：在Rt△∵∠A=90°，BC=5∴AB=∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E∴BD=BE，AD=如图，连接OD，OF，∵⊙O为Rt∴OD⊥∴∠ODA∴四边形ADOF是正方形，设OD=OF=AF=∵CE+∴4-x∴x=1则⊙O的半径为1题型九三角形周长/面积与内切圆半径【例9】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的内切圆的半径r是（

A．2 B．3 C．4 D．无法判断【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，AC=6∴AB=如图：设△ABC的内切圆与各边的切点分别为点D,E,F，连接∵S△∴12AC⋅∴r=2；故选A【变式91】如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（）A．1 B．2 C． D．2【答案】A【解析】解：如图，设⊙O与△ABC的各边分别相切于点E、F、G，连接OE,OF,则OE⊥AB,∵S==1又△ABC的周长为18，面积为9∴9=1∴r=1，故选：【变式92】已知△ABC的周长为20，其内切圆半径R=5，则△ABC的面积为．【答案】50【解析】解：由题意，得：△ABC的面积为12×20×5=50【变式93】如图，已知O是△ABC的内心，连接OA，OB，OC．若△ABC内切圆的半径为2，△ABC的周长为12，求△ABC的面积．【答案】12【解析】解：设切点为D，E，F，连接OD，OE，OF，∴OD=∵△ABC的周长为12∴AB+∴△ABC的面积为：===12．【变式94】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，那么这个三角形内切圆的半径为【答案】2【解析】解：根据题意，作出图形，如下图：设半径为r，则OD=由勾股定理可得：AC=由题意可得：OD⊥AC、OE⊥∴∠C∴四边形ODCE为矩形，又∵OD=∴矩形ODCE为正方形，∴CD=则AD=6-r，由切线长定理可得：AF=AD=6-∴6-r解得r=2这个三角形内切圆的半径为2故答案为：2．题型十三角形内切圆与外接圆【例10】如图所示，⊙O内切于△ABC，切点分别为点D，点E，点F，已知AB=BC，∠B=40°，连接DE，EF，则∠DEF的度数为（）A．40° B．55° C．65° D．70°【答案】B【解析】解：∵BA=BC∴∠A=∠C，∴∠A=连接OD、OF，∵O内切于△ABC，切点分别为点D，点E∴OD⊥AB，OF∴∠ADO=∠∴∠DOF=360°-2×90°-70°=110°∴∠DEF=12∠【变式101】Rt△ABC两直角边的长分别为3cm和4cm，则其内心与外心的距离为（

A．2 B．32 C．32 D【答案】D【解析】解：如图所示：Rt△ABC的内心是三角形角平分线的交点O，外心是斜边的中点设BC=3，AC∴AB=∵Rt△ABC的内心是三角形角平分线的交点O，外心是斜边的中点∴AM=根据三角形的面积可得：12∴12AB+∴OE=∴BE=∴OB=∴MF=5-∴OM=∴内心与外心的距离为52故选：D． 【变式102】已知正三角形的边长为a，边心距为r，外接圆的半径为R，则a:r:R=．【答案】2【解析】解：如图，点O为等边三角形ABC的内切圆和外接圆的圆心，∴OD⊥AB，OD=r，OA∵等边三角形ABC的边长为a，∴∠BAC=60°，∴∠OAB=30°，在Rt△ADO中，∠OAB=30°∴R由勾股定理得：AD=∴a∴a故答案为：23【变式103】如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC，CD分别相交于点G，H．若AE=6，则EG的长为【答案】3-【解析】解：连接AC、BD、OF，AC与如图，∵正方形ABCD