专题10椭圆及其性质（知识梳理专题过关）（原卷版）

专题10椭圆及其性质【知识梳理】知识点一：椭圆的定义平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．知识点二：椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示．焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程统一方程参数方程第一定义到两定点的距离之和等于常数2，即（）范围且且顶点、、、、轴长长轴长，短轴长长轴长，短轴长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、、焦距离心率准线方程点和椭圆的关系切线方程（为切点）（为切点）对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得切点弦所在的直线方程焦点三角形面积①，（为短轴的端点）②③焦点三角形中一般要用到的关系是焦半径左焦半径：又焦半径：上焦半径：下焦半径：焦半径最大值，最小值通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）弦长公式设直线与椭圆的两个交点为，，，则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）【专题过关】【考点目录】【题型归纳目录】考点1：椭圆的定义与标准方程考点2：椭圆方程的充要条件考点3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题考点4：椭圆上两点距离的最值问题考点5：椭圆上两线段的和差最值问题考点6：离心率的值及取值范围考点7：椭圆的简单几何性质问题考点8：利用第一定义求解轨迹【典型例题】考点1：椭圆的定义与标准方程1．（2021·湖北·高二期中）椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（

）A．1 B． C． D．22．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中高二期中）椭圆上点到上焦点的距离为4，则点到下焦点的距离为（

）A．6 B．3 C．4 D．23．（2021·山东山东·高二期中）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（

）A． B． C． D．4．（2021·四川·遂宁高二期中（文））与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（

）A． B． C． D．5．（2021·全国·高二期中）设、分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于、两点，且，则的长为______．6．（2021·江苏省南通高二期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26．7．（2021·黑龙江·大兴安岭实验高二期中）（1）求焦点的坐标分别为，且过点的椭圆的方程.（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程.8．（2021·吉林油田高级高二期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)与椭圆有相同的焦点，且经过点；(2)点，，，中恰有三个点在椭圆上.考点2：椭圆方程的充要条件9．（2021·安徽·芜湖高二期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（

）A． B．椭圆的焦距为C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则10．（2021·北京工业大学附属高二期中）设表示的是椭圆；，则p是成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11．（2021·上海·高二期中）对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件12．（多选题）（2021·江苏·无锡市第一女子高二期中）已知曲线（

）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是椭圆，其焦点在轴上C．若，则是圆，其半径为D．若，，则是两条直线13．（2021·上海市宝山高二期中）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_______；14．（2021·广西·钦州高二期中（文））若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________.考点3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题15．（2021·全国·高二期中）已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的值是______；的取值范围是______．16．（2021·安徽滁州·高二期中）已知、是椭圆的两个焦点，M是椭圆上一点，且，则的面积为______．17．（2021·安徽·高二期中）设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为___________.18．（2021·山东师范大学附中高二期中）已知椭圆的左、右焦点为、，P在椭圆上，且是直角三角形，这样的P点有______个19．（2021·上海市控江高二期中）设､分别是椭圆的左､右焦点，点P在椭圆C上，且满足，则___________.20．（2021·辽宁·大连市第三十六高二期中）已知，是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，则的面积是（

）A．3 B．6 C． D．21．（多选题）（2021·江苏·淮阴高二期中）已知椭圆，若P在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（

）A．若，则 B．面积的最大值为C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有个22．（多选题）（2021·广东·深圳市高级高二期中）已知椭圆M：的左右焦点分别为，左右顶点分别为，P是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（

）A．周长为B．面积最大值为C．存在点P满足：D．若面积为，则点P横坐标为23．（2021·湖南·长沙市明德高二期中）椭圆的左、右焦点为、，一直线过交椭圆于、，则的周长为（

）A． B． C． D．24．（2021·广东·广州市番禺区实验高二期中）已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（

）．A．13 B．12 C．25 D．16考点4：椭圆上两点距离的最值问题25．（2021·陕西·长安高二期中（文））设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为________.26．（2021·福建宁德·高二期中）点为椭圆上一点，为焦点，则的最大值为（

）A．1 B．3 C．5 D．727．（2021·河北·正定高二期中）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（

）A． B． C．2 D．28．（2021·上海市行知高二期中）设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______.考点5：椭圆上两线段的和差最值问题29．（2021·四川·树德高二期中（文））已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______．30．（2021·天津市嘉诚高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为__________．31．（2021·安徽·池州市第一高二期中）已知椭圆C的方程为，M为C上任意一点，则的最小值为___________.32．（2021·湖北·黄石市有色第一高二期中）设F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|+|PF1|的最大值为____.33．（多选题）（2021·河北·石家庄市第四高二期中）已知椭圆的左、右点分别为，，定点，若点是椭圆上的动点，则的值可能为（

）A．7 B．10 C．18 D．2034．（2021·河北·石家庄二十高二期中）设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（

）A． B． C． D．考点6：离心率的值及取值范围35．（2021·贵州·黔西南州金成实验高二期中（理））设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为_________．36．（2021·黑龙江·绥化市第一高二期中）已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形的点有8个，则椭圆的离心率的范围是______．37．（2021·广西柳州·高二期中（理））已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．38．（2021·宁夏·吴忠高二期中（文））已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．39．（2021·四川·阆中高二期中（文））已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．40．（2021·江西赣州·高二期中（文））已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．41．（2021·浙江浙江·高二期中）设椭圆的两焦点为，．若椭圆C上有一点P满足，则椭圆C的离心率的最小值为（

）A． B． C． D．42．（2021·江苏·扬州高二期中）椭圆的左、右焦点为、，P是椭圆上一点，O为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．考点7：椭圆的简单几何性质问题43．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第高二期中）焦点在x轴的椭圆的焦距是4，则m的值为（

）A．8 B．3 C．5或3 D．2044．（2021·辽宁·高二期中）已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（

）A．2 B．1 C． D．445．（2021·海南·琼海市嘉积第二高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（

）A． B． C． D．46．（2021·安徽·高二期中）已知圆经过椭圆C：的右焦点，上顶点与右顶点，则（

）A． B． C． D．47．（2021·广西玉林·高二期中（理））已知点P(k，1)，椭圆=1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为_____.考点8：利用第一定义求解轨迹48．（2021·辽宁沈阳·高二期中）已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（

）A． B．C． D．49．（2021·吉林油田高级高二期中（文））已知的周长是20，且顶点B的坐标为，C的坐标为，则顶点A的轨迹方程是（

）A． B．C． D．50．（2021·云南省昆明市第十二高二期中）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．51．（2021·广东·深圳外国语高二期中（理））△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（

）A． B．（y≠0）C． D．52．（2021·安徽·肥东县综合高中高二期中（理））已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（

）A． B．C． D．53．（2021·宁夏·贺兰县景博高二期中（理））已知动点P与平面上两定点，连线的斜率的积为定值－．则动点P的轨迹方程为________54．（2021·福建福州·高二期中）已知动圆P过定点，且在定圆的内部与其相内切，则动圆P的圆心的轨迹方程为__________________