3.6 确定圆的条件（B卷能力拓展） -2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）（解析版）

3.6确定圆的条件学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________B卷（能力拓展）一、选择题1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心是各边垂直平分线的交点；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据三角形的外接圆及外心的性质分析判断即可求解．【详解】解：②③正确；不在同一直线上的三点确定一个圆，所以①错误；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以④错误；当等腰三角形是钝角三角形时，它的外心在这个三角形外；当等腰三角形是直角三角形时，它的外心在这个三角形的斜边上，所以⑤错误，∴正确的有②③，故选：B．【点睛】本题考查三角形的外接圆及外心的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆及外心的性质有关知识点．2．（2021·广西梧州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（）A．34 B．12 C．6+3 D．6【答案】A【分析】如图，作的外接圆连接过作轴于作轴于则四边形是矩形，再证明是等边三角形，再分别求解即可得到答案.【详解】解：如图，作的外接圆连接过作轴于作轴于则四边形是矩形，是等边三角形，故选：【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理分应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.3．（2020—2021浙江杭州九年级期末）如图，圆O的半径为R，正内接于圆O，将按逆时针方向旋转后得到，它的两边与AB相交于点D、E，则以下说法正确的个数是（）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据圆内接正三角形和旋转的性质得到，，则，于是可得到；在△中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，，再利用“”可证明△△，则，所以；根据对顶角相等可得到；在△中利用勾股定理可得到，而，则，把代入得到．【详解】解：连接，，，，如图，是正角三角形，按逆时针方向旋转后得到△，△为等边三角形，，而点为△的内心，，又，，△是等腰直角三角形，，，，所以①正确；，而，，，，，，，，，在△和△中，，△△，，，所以②错误；，所以③正确；在△中，，，，而，，，所以④错误．故选：B．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和圆内接正三角形的性质；会运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进行几何运算．4．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解．【详解】解：取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短点P是BO的中点在中，是等边三角形在中，．【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．5．（2021·安徽合肥·中考二模）如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，点E在AB上，=，在矩形内找一点P，使得∠BPE=60°，则线段PD的最小值为（）A．4 B．2 C．2-2 D．2-4【答案】C【分析】以BE为边在矩形内作等边三角形BEF，再作等边三角形BEF的外接⊙O，则点P在⊙O上运动，连接OD，交⊙O于点M，则当点P与点M重合时，PD最短，然后过点O作OG⊥AD于点C，作OH⊥AB于点H，连接OB，先求出OH和BH的长，则DG=AD-AG=AD-OH=5-1=4，OG=AB-BH=，在Rt△DOG中，利用勾股定理即可求得OD的长，进而可求出PD的最小值．【详解】解：∵AB=，=，∴，，如图，以BE为边在矩形内作等边三角形BEF，再作等边三角形BEF的外接⊙O，则点P在⊙O上运动，连接OD，交⊙O于点M，则当点P与点M重合时，PD最短，过点O作OG⊥AD于点C，作OH⊥AB于点H，连接OB，∵△BEF为等边三角形，⊙O为其外接圆，∴OH垂直平分BE，∴∠OBH=30°，，∴OH=，，∴DG=AD-AG=AD-OH=5-1=4，OG=AB-BH=，在Rt△DOG中，，∴，故选：C．【点睛】本题考查等边三角形的性质及圆的有关知识，解题的关键是作等边三角形BEF及其外接⊙O．二、填空题6．（2021·江西·新余市中考模拟预测）已知，，，，则的最大值为__．【答案】【分析】作△ABC的外接圆⊙O，取优弧BC中点为D，由，可确定点A在上运动，由AC是弦，当为直径时，最大，当AC最大时，可得，在Rt△ABC中，即可求解【详解】解：作△ABC的外接圆⊙O，取优弧BC中点为D，∵∴∠B所对的弧＞∠C所对的弧，∴点A在上运动∵AC是弦，当为直径时，最大，∴当AC最大时，在Rt△ABC中，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查三角形外接圆，弧与圆周角关系，直径是圆中最大弦，直径所对圆周角性质，锐角三角函数，题的难度较大，通过引辅助圆画出准确图形，利用锐角三角函数求解是关键．7．（2021—2022福建省福州九年级期中）已知的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，则的外接圆半径的长为___．【答案】2.5【分析】先根据|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30变形可得，再根据绝对值和完全平方公式的非负性即可求得、、的值，进而根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，由此可得外接圆半径的长为斜边的一半．【详解】解：∵|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，，，又∵，，，，解得：，，，∴，∴为直角三角形，且斜边长为5，∴的外接圆的半径＝5×＝2.5，故答案为：2.5．【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、非负数的性质、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是根据非负数的性质求得，，．8．（2021·山东张店·中考二模）如图，是的外接圆，、分别是、的中点，连接、，分别交于点、，若，，，则的面积为________．

【答案】24【分析】解：连接AF，AE，由题意得出AF＝BF，AE＝EC，可证得∠AEF＝90°，根据三角形的面积公式可得出答案．【详解】解：连接AF，AE，

∵是的外接圆，、分别是、的中点，∴OM⊥AB，ON⊥AC，∴AF＝BF，AE＝EC，∵BF＝5，EC＝4，∴AF＝5，AE＝4，∵EF＝3，∴EF2＋AE2＝AF2，∴∠AEF＝90°，∵BC＝BF＋EF＋EC＝5＋3＋4＝12，∴S△ABC＝×BC×AE＝×12×4＝24．故答案是：24．【点睛】本题考查了三角形的外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积．9．（2020·山东·日照市中考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______．【答案】6【分析】首先证明AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．【详解】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，∴AB=AC，∵∠BPC=90°，∴PA=AB=AC=a，如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，∵A（1，0），D（4，4），∴AD=5，∴AP′=5+1=6，∴a的最大值为6．故答案为6．【点睛】圆外一点到圆上一点的距离最大值为点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减去半径．10．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为、、，点E是的外接圆上一点，BE交线段AC于点D，若，则点D的坐标为______．【答案】【解析】【分析】连接CE，过E作EF⊥AC于F，根据已知条件得到OA=OB=2，OC=4，得到△OBA是等腰直角三角形，得到∠BAC=45°，根据圆周角定理得到∠BEC=∠BAC=45°，推出△BCE是等腰直角三角形，求得BC=CE，根据全等三角形的性质得到E（2，﹣4），待定系数法得到直线BE的解析式为y=﹣3x+2，于是得到结论．【详解】连接CE，过E作EF⊥AC于F．∵点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2）、（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，∴△OBA是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠BEC=∠BAC=45°．∵∠DBC=45°，∴∠BCE=90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BC=CE．∵∠CBO+∠BCO=∠BOC+∠ECF=90°，∴∠OBC=∠FCE．在△OBC与△FCE中，∵，∴△OBC≌△FCE（AAS），∴CF=OB=2，EF=OC=4，∴OF=2，∴E（2，﹣4），设直线BE的解析式为y=kx+b，∴，∴，∴直线BE的解析式为y=﹣3x+2，当y=0时，x，∴D（，0）．故答案为：（，0）．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．11．（2020·四川成都·中考二模）如图：已知锐角∠AOC，依次按照以下顺序操作画图：（1）在射线OA上取一点B，以点O为圆心，OB长为半径作，交射线OC于点D，连接BD；（2）分别以点B，D为圆心，BD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接ON，MN．根据以上作图过程及所作图形可知下列结论：①OC平分∠AON；②MN∥BD；③MN＝3BD；④若∠AOC＝30°，则MN＝ON．其中正确结论的序号是_____．【答案】①②④【分析】①正确．根据可以推出结论．②正确．连接DM，证明∠BDM＝∠DMN即可．③错误．首先证明BD＝BM＝DN，再根据BM+BD+DN＞MN，可得MN＜3BD，即可判断．④正确．证明△MON是等腰直角三角形即可判断．【详解】解：由作图可知：，∴∠AOC＝∠DON，即OC平分∠AON，故①正确．连接DM，∵，∴∠BDM＝∠DMN，∴BD∥MN，故②正确，∵，∴BM＝BD＝DN，∵BM+BD+DN＞MN，∴MN＜3BD，故③错误，若∠AOC＝30°，则∠MON＝90°，∴△MON是等腰直角三角形，∴MN＝ON，故④正确．故答案为①②④．【点睛】本题考查作图-复杂作图，弧，圆心角，弦之间的关系，平行线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三、解答题12．（2021·江苏秦淮·中考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．分别延长BA、AB、CA、AC至点D、E、F、G，使得AD＝AF＝BC，BE＝8，CG＝6．（1）经过D、E、G三点作⊙O；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：点F在⊙O上；（3）⊙O的半径长为．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析，（3）．【分析】（1）连接EG，DG，分别作DG、EG的中垂线确定圆心，从而作△DEG的外接圆即为所求；（2）证法一：连接GE、GD、FD、OD、OE、OF、OG．LM是EG的垂直平分线，根据线段垂直平分线的判定和性质进行推理证明；证法二：利用反证法进行推理证明；证法三：作AQ、BQ分别平分∠BAC、∠ABC，交点为Q．过点Q分别作QL⊥AC，QM⊥AB，QN⊥BC，垂足分别为L、M、N．连接QC、QD、QE、QF、QG，根据角平分线的性质结和正方形的性质和判定以及勾股定理进行推理计算求解；（3）连接OD，OG，结合圆周角定理和等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形推理计算求解．【详解】解：（1）连接EG，DG，分别作DG、EG的中垂线确定圆心，从而作△DEG的外接圆⊙O即为所求．（2）证法一：如图①，连接GE、GD、FD、OD、OE、OF、OG．LM是EG的垂直平分线，∵AD＝AF，AB＝CG，AC＝BE，∴AB＋BE＝CG＋AC，即AG＝AE．∵LM是EG的垂直平分线，∴点A在LM上．∴∠EAP＝∠GAP．∴∠FAM＝∠DAM．∴LM是FD的垂直平分线．∵点O在LM上，∴OF＝OD．∴点F在⊙O上．证法二：若点F不在⊙O上，则点F在⊙O外或⊙O内．如图②，若点F在⊙O外，则设AF与⊙O交于点M，连接MD．∵AD＝AF，AB＝CG，AC＝BE，∠EAG＝∠FAD＝90°，∴∠F＝∠FDA＝45°，AB＋BE＝CG＋AC．∴AG＝AE．∴∠E＝∠G＝45°．∴∠F＝∠E．∵＝，∴∠DMG＝∠E＝45°．∴∠DMG＝∠F．又在△DFM中，∠DMG＞∠F，与∠DMG＝∠F矛盾，因此点F在⊙O外不成立．同理，点F在⊙O内不成立．∴点F在⊙O上．证法三：如图③，作AQ、BQ分别平分∠BAC、∠ABC，交点为Q．过点Q分别作QL⊥AC，QM⊥AB，QN⊥BC，垂足分别为L、M、N．连接QC、QD、QE、QF、QG．∵AQ、BQ分别平分∠BAC、∠ABC，∴QL＝QM＝QN．∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10，S△ABC＝×6×8＝24．∵S△ABC＝S△ABQ＋S△BCQ＋S△ACQ＝·(AB＋BC＋AC)·QL＝24．∴QL＝QM＝QN＝2．∵∠BAC＝∠QMA＝∠QLA＝90°，∴四边形QMAL为矩形．∴矩形QMAL为正方形．∴AL＝AM＝2．∵AD＝AF＝BC＝10，BE＝8，CG＝6，∴FL＝GL＝12，DM＝ME＝12．∵在Rt△QLF中，∠FLQ＝90°，FL＝12，QL＝2，∴FQ2＝FL2＋QL2＝148．同理EQ2＝148，GQ2＝148，DQ2＝148．∴QE＝QG＝QD＝QF．∴点Q与点O重合．∴点F在⊙O上．（3）连接OD，OG由题意可得：AE=AG=14，∠BAC=90°∴∠AEG=∠AGE=45°∴∠DOG=2∠DEG=90°在Rt△ABC中，BC=∵AD=AF=BC∴AD=10，AG=14在Rt△DAG中，DG=又∵OD=OG，∠DOG=90°∴△ODG为等腰直角三角形∴OD=OG=．故答案为：．【点睛】本题考差尺规作图确定圆心，圆的综合问题及解直角三角形，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．13．（2021—2022江苏南闸九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）△ABC外接圆的半径是；（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是；（3）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．【答案】（1）；（2），（3）见解析【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念解答；（2）根据位似变换和位似中心的概念解答；（3）根据相似三角形的对应边的比相等，都等于相似比解答【详解】（1）如图，根据网格的特点分别作的垂直平分线，交于点，连接，根据网格的特点可知则△ABC外接圆的半径是，故答案为：；（2）如图，连接,交于点,，即位似中心，根据网格的特点可知故答案为：；（3）△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．根据网格的特点作出，如图，即为所求作的三角形．【点睛】本题考查的是格点正方形、锐角三角函数的定义、位似变换与位似中心与相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段互相平行，这两个图形是位似图形是解题的关键．14．（2021·湖北沙区·中考三模）在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（1，0），C（3，2），仅用无刻度的直尺在给出的网格中画图（画图用实线表示），并回答题目中的问题

（1）在图1中画出△ABC关于点D成中心对称的图形；（2）在图2中作出△ABC的外接圆的圆心M（保留作图痕迹）；（3）△ABC外接圆的圆心M的坐标为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）分别作出点A、B、C关于点D的对称点A'、B'、C'，再顺次连接即可；（2）找出AB边和BC边的垂直平分线即可；（3）分别求出直线AD和直线EF的解析式，联立即可求得M的坐标；【详解】解：（1）如图，△A'B'C′为所求；（2）如图，取格点E、F、D，连接EF和AD相交于点M；∵AE∥BF，∴∠AEN=∠BFN，∵AE=BF，∠ANE=∠BNF，∴△AEN≌△BFN，∴AN=BN，∵，，∴，，∴，∴∠BNF