ch3复变函数积分

第三章复变函数的积分§1复变函数积分的概念1.积分的定义定义和在局部弧段上任意取点,极限为A终点为B的一条光滑的有向曲线.设函数w=f(z)定义在区域D内,都存在且唯一，则称此极限为函数记作沿曲线弧C的积分.若对C的任意分割C为在区域D内起点工程数学---------复变函数关于定义的说明:(4)一般不能把写成的形式.(1)用表示沿着曲线C的负向的积分.(2)沿着闭曲线C的积分记作(3)如果C是x轴上的区间而则工程数学---------复变函数2.积分的性质工程数学---------复变函数例1.

证明:证明其中C为正向圆周：利用积分估值性质，有工程数学---------复变函数2.积分存在的条件及计算法定理:C的参数方程为则曲线积分存在,且有连续,在有向光滑弧C上有定义且设函数工程数学---------复变函数例2.

解:计算的正向圆周，为整数.其中C为以中心，为半径工程数学---------复变函数例3.解:(1)

积分路径的参数方程为计算其中C为:(1)从原点到点1+i的直线段;(2)从原点沿x轴到点1,再到点1+i的折线段;y=x工程数学---------复变函数y=x(2)

积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为工程数学---------复变函数例4.解:(1)

积分路径的参数方程为计算其中C为:(1)从原点到点1+i的直线段;(2)从原点沿x轴到点1,再到点1+i的折线段;y=x工程数学---------复变函数y=x(2)

积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为工程数学---------复变函数§2柯西定理B内处处解析,定理1任何一条封闭曲线C的积分则f(z)在B内(黎曼证明，把条件加强：假设连续.)

证明：假设在单连通域B内,解析,连续.1.柯西定理如果函数f(z)

在单连通域为零:工程数学---------复变函数因为所以在B内连续，且满足C-R条件.任取B内闭曲线C,则积分由格林公式得所以工程数学---------复变函数函数f(z)处处解析定理2在单连通域

B内，与路径无关.函数f(z)定理3

B为C的内部，C为一条封闭曲线,在B内解析，在上连续，则工程数学---------复变函数解：由柯西定理,有计算积分例1.因为函数在内解析，工程数学---------复变函数解：由柯西定理,有计算积分因为函数都在上解析，例2.和工程数学---------复变函数工程数学---------复变函数2.原函数与不定积分如果函数f(z)在单连通域定理4与路径无关.B内处处解析,则积分定理5处处解析,如果f(z)在单连通域B内则函数F'(z)=f(z)必为B内的一个解析函数,并且工程数学---------复变函数利用导数的定义来证.证：由于积分与路线无关,工程数学---------复变函数工程数学---------复变函数由积分的估值性质,工程数学---------复变函数[证毕]工程数学---------复变函数定义1如果在区域B内在区域B内的原函数.F'(z)=f(z),则称F(z)为f(z)在区域

B上的原函数全体不定积分,记作定义2在

B上的称为定理6如果f(z)在单连通域B内处处解析,的一个原函数,则这里z0,z1为域B

内的两点.G(z)为f(z)工程数学---------复变函数例3.

解:计算积分工程数学---------复变函数3.复合闭路定理定理7是在C内部的简单闭曲线,且设C为多连通域D

内的互不包含也互不相交,另外以C,C1,C2,...,Cn

为边界的区域如果f(z)

在D内解析,则一条简单闭曲线,C1,C2,...,Cn全含于D.工程数学---------复变函数证明：这样区域D就被分为D1和D2两考虑只有两条围线C0,C1

的情况.区域，作辅助线段L1和L2连接

C0,和C1，域,而且f(z)

在内解析,由柯西积分定理，有,所以显然D1和D2都是单连通工程数学---------复变函数所以即或工程数学---------复变函数例4.

解:计算的正向简单闭曲线.包含圆周为奇点.在C内作互不相交，互不包含的只包含只包含其中C为圆周由复合闭路定理，得工程数学---------复变函数工程数学---------复变函数例5.

解:计算其中C为正向圆周：工程数学---------复变函数解:圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,例6.计算积分其中为正向圆周和负向圆周组成.工程数学---------复变函数§3柯西公式定理1如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,则1.柯西公式工程数学---------复变函数证明：当时，由于f(z)在连续，所以在C内部作圆周

那么工程数学---------复变函数而即所以工程数学---------复变函数注：1）柯西公式常写作2）若则平均值公式工程数学---------复变函数例1.

解:计算其中C为(1)正向圆周：(3)正向圆周：(2)正向圆周：(1)(2)(3)工程数学---------复变函数求下列积分的值.解：例2.工程数学---------复变函数(2)注意到函数在内解析，而在内，由柯西积分公式得工程数学---------复变函数故得到

设

例3.根据柯西积分公式，得到解：求工程数学---------复变函数2.解析函数的高阶导数解析函数f(z)的导数仍为解析函数,其中C为在f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于D.定理2它的n阶导数为:注：高阶导数公式常写成如下形式工程数学---------复变函数例4.

解:计算的正向闭曲线.其中C为绕工程数学---------复变函数例5.

解:计算在内有奇点：作圆周于是工程数学---------复变函数所以工程数学---------复变函数§4解析函数与调和函数的关系定义1在区域D内具有二阶连续偏若二元函数导数，且满足拉普拉斯（Laplace）方程则称为区域D内的调和函数.若为解析函数，定理1则其实部u和虚部v

都是调和函数.设f(z)=u+iv

在区域D内解析,则由C.-R.条件证：工程数学---------复变函数得同理,即u及v都是D内的调和函数.因与D内连续，它们必定相等，故在D内有工程数学---------复变函数定义2定理2设则v(x,y)必为u(x,y)的共轭调和函数.u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足C.-R.条件：则称v(x,y)

为u(x,y)的共轭调和函数.是区域D的解析函数，工程数学---------复变函数例1.解:已知是右半复平面的调和函数，求调和函数u，使u的共轭调和函数是v.由C-R方程，得工程数学---------复变函数例2.解:已知验证u是调和函数，并求以u为实部的解析函数f(z),使f(0)=i.因为所以u是调和函数.又f(0)=i，所以工程数学---------复变函数

ch3复变函数积分一、知识要点1.复积分基本计算法曲线C:工程数学---------复变函数2.

柯西-古萨基本定理函数f(z)处处解析.在单连通域

B内，与路径无关.1)其中C是B任意一条简单封闭曲线.2)解析,并且3)4)工程数学---------复变函数3.复合闭路定理工程数学---------复变函数4.柯西积分公式工程数学---------复变函数5.调和函数1).调和函数2).共轭调和函数若为解析函数，3).则其虚部v是实部u

的共轭调和函数.工程数学---------复变函数二、典型例题解:分以下四种情况讨论：例1.工程数学---------复变函数工程数学---------复变函数工程数学---------复变函数工程数学---------复变函数解法一

不定积分法

利用柯西—