ch2函数逼近与曲线拟合

Ch3函数逼近与曲线拟合

什么是函数逼近维尔斯特拉斯定理

Weierstrass范数与赋范线性空间三种常用的范数内积与内积空间正交多项式

OrthogonalPolynomials

勒让德(Legendre)多项式勒让德多项式的性质切比雪夫（Chebyshev）多项式性质其它正交多项式最佳一致逼近多项式

optimaluniformapproximatingpolynomial切比雪夫定理xy0yyx=()yyxEn=+()yyxEn=-()yPxn=()证明：反证，设有2个，分别是Pn

和Qn

。则它们的平均函数也是一个OUAP。2)()()(xQxPxRnnn+=对于Rn

有Chebyshev交错组{t1,…,tn+2}使得nkknkknkknnEtytQtytPtytRE

-+-

-=|)()(|21|)()(|21|)()(|nkknkknEtytQtytP=-=-|)()(||)()(|则至少在一个点上必须有)()()()(knkkkntQtytytP-=-

0)()(=-kkntytR0=nE

最佳一次逼近多项式最佳平方逼近法方程组

/*normalequations*/

Hilbert阵！曲线拟合的最小二乘法确定多项式，对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)

使得达到极小，这里n

<<

m。naaa10

实际上是a0,a1,…,an

的多元函数，即[]

=-+++=miinininyxaxaaaaa121010...),...,,(j在

的极值点应有kiminjijijxyxa

==-=10][2-=

===+njmikiimikjijxyxa0112记

====mikiikmikikxycxb11,法方程组(或正规方程组)/*normalequations*/回归系数/*regressioncoefficients*/§1L-SApproximatingPolynomials例：xy(xi,yi),i=1,2,…,m方案一：设baxxxPy+=

)(求a

和b

使得最小。

=-+=miiiiybaxxba12)(),(jButhey,thesystemofequationsforaandbisnonlinear!Takeiteasy!Wejusthavetolinearizeit…线性化

/*linearization*/：令，则bXaY+

就是个线性问题将化为后易解a

和b。),(iiYX),(iiyx§1L-SApproximatingPolynomials方案二：设xbeaxPy/)(-=

(a>0,b>0)线性化：由可做变换xbay-

lnlnbBaAxXyY-====,ln,1,lnBXAY+

就是个线性问题将化为后易解A

和B),(iiYX),(iiyxMovingLeastSquaresapproximation

onanarbitrarysurfaceMLSonanarbitrarysurfaceParametricunitsquareFormulationdevelopmentMLSonanarbitrarysurfaceweighteddiscretenormsWherewI(s)isaweightfunctionwithcompactsupportarenodalvaluesandMLSonanarbitrarysurfaceSolvingfora(s)andb(s)byminimizingJ1andJ2

whereMLSonanarbitrarysurfaceThepartialderivativesofareobtainedtobe(),kdenotesMLSonanarbitrarysurfaceWeightfunctionShapeofweightfunction

MLSonanarbitrarysu