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文档简介
Ch3函数逼近与曲线拟合
什么是函数逼近维尔斯特拉斯定理
Weierstrass范数与赋范线性空间三种常用的范数内积与内积空间正交多项式
OrthogonalPolynomials
勒让德(Legendre)多项式勒让德多项式的性质切比雪夫(Chebyshev)多项式性质其它正交多项式最佳一致逼近多项式
optimaluniformapproximatingpolynomial切比雪夫定理xy0yyx=()yyxEn=+()yyxEn=-()yPxn=()证明:反证,设有2个,分别是Pn
和Qn
。则它们的平均函数也是一个OUAP。2)()()(xQxPxRnnn+=对于Rn
有Chebyshev交错组{t1,…,tn+2}使得nkknkknkknnEtytQtytPtytRE
-+-
-=|)()(|21|)()(|21|)()(|nkknkknEtytQtytP=-=-|)()(||)()(|则至少在一个点上必须有)()()()(knkkkntQtytytP-=-
0)()(=-kkntytR0=nE
最佳一次逼近多项式最佳平方逼近法方程组
/*normalequations*/
Hilbert阵!曲线拟合的最小二乘法确定多项式,对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)
使得达到极小,这里n
<<
m。naaa10
实际上是a0,a1,…,an
的多元函数,即[]
=-+++=miinininyxaxaaaaa121010...),...,,(j在
的极值点应有kiminjijijxyxa
==-=10][2-=
===+njmikiimikjijxyxa0112记
====mikiikmikikxycxb11,法方程组(或正规方程组)/*normalequations*/回归系数/*regressioncoefficients*/§1L-SApproximatingPolynomials例:xy(xi,yi),i=1,2,…,m方案一:设baxxxPy+=
)(求a
和b
使得最小。
=-+=miiiiybaxxba12)(),(jButhey,thesystemofequationsforaandbisnonlinear!Takeiteasy!Wejusthavetolinearizeit…线性化
/*linearization*/:令,则bXaY+
就是个线性问题将化为后易解a
和b。),(iiYX),(iiyx§1L-SApproximatingPolynomials方案二:设xbeaxPy/)(-=
(a>0,b>0)线性化:由可做变换xbay-
lnlnbBaAxXyY-====,ln,1,lnBXAY+
就是个线性问题将化为后易解A
和B),(iiYX),(iiyxMovingLeastSquaresapproximation
onanarbitrarysurfaceMLSonanarbitrarysurfaceParametricunitsquareFormulationdevelopmentMLSonanarbitrarysurfaceweighteddiscretenormsWherewI(s)isaweightfunctionwithcompactsupportarenodalvaluesandMLSonanarbitrarysurfaceSolvingfora(s)andb(s)byminimizingJ1andJ2
whereMLSonanarbitrarysurfaceThepartialderivativesofareobtainedtobe(),kdenotesMLSonanarbitrarysurfaceWeightfunctionShapeofweightfunction
MLSonanarbitrarysu
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