Chp9 解非线性方程组的数值方法

第九章解非线性方程组的数值方法

§1

多变元微积分

§2

不动点迭代

§3

Newton法

§4

割线法

§5

拟Newton法

§6

下降算法§1

多变元微积分

Gateaux导数

Frechet导数高阶导数

Riemann积分定义1对给定的若极限（1.1）存在，则说f在x沿方向η是Gateaux可微的。并将（1.1）记作，即上式亦即称为f在x沿方向η是Gateaux导数。若f在x沿任何方向都是Gateaux可微的，

则说f在x是Gateaux可微的，算子（映射）称为f在x的Gateaux导数。定理1

映射在x的Gateaux导数Df(x)是齐次算子，即

定理2

若在达到极大值或极小值，且存在，则（零算子）

定义2设都是赋范空间。若存在线性算子使得

则称为映射f在x的Frechet导数，且说f在x是Frechet可微。算子称为f的Frechet导数，它对于，确定了是由到的一切线性算子构成的赋范线性空间。定理3假设在x为Frechet可微，则f在x必为Gateaux可微，且定理4

设在是Frechet可微的，则f在x连续定义3

假设有一个向量，若对任给存在使得对任意的分法P,当时，有则称J为f在[0，1]上的Riemann积分，记作即定义4

假设都是赋范空间。给定若积分

存在，则称它为f从到的Riemann积分。定理5

设给定若存在使得则此处，假设上述积分都存在。定理6

设在凸集中每一点都是Frechet可微的，且在上连续，则定理7

设在凸集上处处Frechet可微，且存在常数使得则对一切有§2

不动点迭代定理一设有一个不动点，若存在一个开球使得则对任意的初始近似，由迭代公式（2.5）产生的序列具有下列性质：

(1)对一切;(2);(3)序列至少为线性收敛。定理二（压缩映射原理）设D为中的一个闭集，

为压缩映射，即它满足条件：则下列结论成立：

(1)对任意的，由（2.5）产生的迭代序列都有

(2)在D上有唯一的不动点，，且

(3)即至少线性收敛；

(4)有估计式§3

Newton法

Newton法

修正Newton法算法9.1应用Newton法求非线性方程组的解（对给定的初始近似x)输入方程组的阶数n；初始近似x=;误差容限TOL；最大迭代次数m.输出近似解x=或迭代次数超过m的信息.step1对k=1,…m做step2-5.step2计算f(x)和f’(x).step3解n×n阶线性方程组f’(x)y=-f(x).step4xx+y.step5若||y||<TOL,则输出(x);

停机.step6输出（‘Maximumnumberofiterationsexceeded’）；

停机.定理1设x*是方程组（2.2）的一个接，在包含x*的临域D中Frechet可微，f’(x)在x*连续，且f’(x)非奇异，那么存在闭球(x*)={x|r,r>0}D,使得对一切(x*),由Newton法（2.3）产生的迭代序列{}是完全确定的，

(x*)，k=1，2，…，且{}收敛于x*.定理2（Kantorovich）假设给定了中的一个开集D,为一凸集，且D.设对于给定的，存在正常数r，α，β，γ，h，它们具有下列性质：

,h=αβγ/2<1,R=α/(1-h).（续1）若在D中连续，在上处处Frechet可微，且具有下列性质：

(1)；

(2)存在，且；

(3),则

(1)从出发，

（续2）都是完全确定的，且对(2)极限存在，且(3)Newton法至少为二阶收敛；(4)对k=0,1,2,…§4

割线法两点序列割线法（n+1）序列割线法§5

拟Newton法

Broyden方法

DFP方法和BFS方法算法9.2应用Broyden方法球非线方程组f(x)=0的近似解输入方程组的阶数n；初始近似；误差容限TOL；最大迭代次数输出近似解或方法失败信息。Step1Step2Step3Step4当时，做step5-14.step5（续）

step6

step7

step8

若p=0，则输出(‘Methodfailed’);停机.

step9

step10