论文 例谈构造函数法解题

2022年安徽省中小学教育教学论文例谈构造函数法解题摘要：构造函数法是一种非常重要的解题方法，在导数中的应用非常普遍，对于解决复杂的导数题，它无疑是一把利器.总结常见的构造函数的技巧和题型，把握问题科的核心素养.关键词：构造函数法，导数，函数的单调性，不等式质来解题，进而起到化难为易、化繁为简的作用.那么在处理这些导数问题时，应该如何构造函数呢？构造函数法在解题中又有哪些常见的应用呢？利用导数的运算法则或者根据式子结构特征来构造函数是常见的手段.如果题设中式或者不等式的结构特征，并依据该结构特征构造函数，进而利用函数的单调性解题.几种应用，供大家参考.一、构造函数求值【例1】已知实数a,b满足(a(b3)52022(1a)32022(3b)3，求ab的值.分析：例1属于一个方程化简求值的题型，首先考虑将含有相同变量的式子化到一边，进而仔细观察，构造合适的函数解题.解析：因为(a(b3)52022(1a)32022(3b)3，所以(a2022(a(3b)52022(3b)3.令f(x)x52022x3，则

f(x)在R上单调递增，又

f(af(3b)，所以a13b，所以ab4.【例2】已知实数a,b满足ae7a,3lnbe4lnb，求ab的值.分析：此为两个方程化简求值的题型，我们考虑将两个等式化简成一样的形式，利用函数单调性得到同根.12022年安徽省中小学教育教学论文解析：因为a(7a)lnb)(4lnb)7，所以a和3lnb同为xe7x的解，即函数f(x)xe7x的零点.分析可知函数f(x)在R上单调递增，所以a3lnb.故aae7(3lnb)e4lnbe 4，所以abe.b以上两题，我们均采取的是构造函数模型求值的方法，将方程f(x)0等价变形为F[g(x)]F[h(x)]或将f(a,b)0等价变形为F[g(a)]F[h(b)]F(x)的单调性得出简化的结果g(x)h(x)或g(a)h(b).的等价变形.二、构造函数比大小2【例3】(2020全国卷Ⅰ)若2alog2

a4b2log

b，则（ ）4a2b4

a2b

ab2

ab222alog2

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2bf(x)2xlogx，4222由指对函数单调性可得f(x)在(0,)上单调递增，由f(a)f(2b)可得a2b，故选B.4222【例4】（2020全国卷Ⅱ）若2x2y3x3y，则（ ）A.ln(yx0ln|xy|0

B.ln(yx0ln|xy02x3x2y3y，令f(x)2x3x，由指数函数单调性可得f(x)在R上单调递增，由f(x)f(y)可得xy.所以yx11，则ln(yx0，故选A.2020年高考全国Ⅰ卷理科数学第12题和2020年高考全国Ⅱ卷理科数学第11题都考查了根据式子结构构造函数，借助函数单调性处理自变量大小关系.2020年高考全国Ⅱ卷理科数学第11题结构整齐，只需移项将含有x的式子和含有y的式子放在不等式两2020年高考全国Ⅰ卷理科数学第12题的已知条件是等量关系式，需要通过放缩之后再构建不等量关系式，稍有难度.解决此类问题的关键是要善于发现题干式子的结构特征，进而找到恰当的函数来解决比大小问题.对于构造函数比大小的题目，我们考虑将不等式f(x)0等价变形或适当放缩变形22022年安徽省中小学教育教学论文为F[g(x)]F[h(x)]f(a,b)0变形为F[g(a)]F[h(b)]（其他不等号类似）的形式，再利用F(x)的单调性得出简化的结果g(x)h(x)或g(a)h(b)（其他不等号类似）.三、构造函数证明不等式【例5】已知a1，函数f(x)axlnx，证明：f(x)1xeax.e分析：本题是不等式的恒成立证明问题，观察发现不等式两边出现了指数式和对数式，考虑通过指对变形来简化代数形式，还原这些改头换面的代数结构..xeax1elnxaxf(x)1xeaxelnxaxlnxax1.令(x)lnxax，则1a.当x(0,1)时，0，(x)在(0,1)上单调递x a a增；当x(1,)0，(x)在(1,)上单调递减.故j(x)£j(1)1-1.a因为a1，所以e

aln1-1e-1，故(x)lnxax0.令a

a ag(t)ett，t(,0)，则et10，g(t)在(,0)上单调递减，故g(t)ettg(0)1，即ett1在(,0)上恒成立.因此elnxaxlnxax1，原不等式得证.， ，另解：因为axlnxlnx 1xeax1x 所以本题也可考虑将所需证明的， ，eax不等式等价转化为xlnx1处理.eax eax

eax利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，再借此来证明不等式是近几年高考的一大热点问题.此类问题的解题关键是通过对所需证明的不等式的合理变形，找出需要构造的辅助函数，把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性.如果函数结构中同问题就会迎刃而解.这种将指对数混合式进行形式上的改造，达到结构的统一，从而通过构造函数解决问题是很常见的题型，主要分为以下三种同构模型.1.积型：aeablnb（1）同左转化为aea(lnb)elnb，构造函数f(x)xex；32022年安徽省中小学教育教学论文（2）同右转化为ealneablnb，构造函数f(x)xlnx；（3）取对数转化为alnalnbln(lnb)，构造函数f(x)xlnx.ea b 2.商型： a lnba lnb x，构造函数 ；（1）同左转化为ee f(x)e ，构造函数 ；a lnb xea b x （2）同右转化为 ，构造函数f(x) ；lnea

lnb

lnx（3）取对数转化为alnalnbln(lnb)，构造函数f(x)xlnx.3.和差型：aeablnb（1）同左转化为aealnbelnb，构造函数f(x)xex；（2）同右转化为ealneablnb，构造函数f(x)xlnx.四、构造函数求参数取值范围【例合肥一模理科ex-aln(ax-³0对任意的x

,恒成立（e是自然对数的底数），则实数a的最大值为（ ）e1

e

e21

e2分析：本题结构独特、技巧性高、综合性强、难度较大，解题方法不唯一，可采用直接求导研究最值、先必要后充分、指对同构法等多种方法解决.这里我们选择构造函数求题，得到自变量的不等关系后还需要通过分离参数求得参数的取值范围.+x解析：因为ex-aln(ax-³0，所以e+x

1³ln(ax-a-

1)，即ex-lna-lna³-

1-

a a a1)，不等式符合指对同构的和差型.令F(t)teta a42022年安徽省中小学教育教学论文等式等价于F(x-lna)³F-

1)].因为函数F(t)tet在R上单调递增，所以ax-lna³ln(x-

1 ex)对任意的x , 恒成立.分离参数得a£ 在 , 上恒成立.令a

x x1(x)e

，x(x)在e1a£e，22x 22x 故选A.另解：本题也可考虑将原不等式等价转化为积型x(ex³axln(ax-来处理.下面我们再来看2020年新高考全国Ⅰ卷理科数学第21题.【例7】（2020新高考全国卷Ⅰ）已知f(x)aex1lnxlna，（2）若f(x)³1，求a的取值范围.aex-1-lnxa³1，可将其等价转化为指对同构的积型xex-1³xx或和差型a-1a-³a a

xx来处理.例7的解题过程与例6类似，这里就不做过多的赘述了.算量，加快了解题速度.本文总结了构造函