机械制图 课件 孙敬华 2投影基础

第2章投影基础机械制图PPT第2章投影基础机械制图课件2.1.2正投影的基本性质2.1.1投影法2.1.3视图的基本概念2.1投影法和三视图的基本概念2.1.1投影法2.1.1投影法

投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。根据投影法所得到的图形，称为投影1．投影法概述

光源、空间物体和投影面构成了投影法中必有可少的三要素。P投射中心空间平面投影面投射线ACBcba投影S自然现象投影法分类投射线平行或汇交中心投影法平行投影法斜投影法正投影法2．投影法的分类2.1.1投影法中心投影法投射线均汇交一点的投影法

（1）中心投影法工程上常用中心投影法绘制建筑物的透视图投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。优点：立体感较强投影特点2.1.1投影法S1S2S1平行投影法正投影法斜投影法投射线相互平行的投影法

投射线与投影面相垂直的平行投影法投射线与投影面相倾斜的平行投影法（2）

平行投影法投影大小与物体和投影面之间的距离无关度量性较好，工程中应用最广。平行投影法特点正投影法

2.1.1投影法3．工程上常用的投影图（1）

多面正投影图多面正投影图反映实形，度量性好，且作图较简便，在工程中被广泛应用。但立体感较差，需经过训练才能熟练掌握。2.1.1投影法3．工程上常用的投影图（2）

轴测投影图将物体连同其直角坐标系，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在投影面上所得到的投影称为轴测投影图（或轴测图）。由于将坐标轴对投影面放置成一定的角度，使得投影图上同时反映出立体长、宽、高三个方向上的形状，立体感较强。但作图较繁，且度量性差，常作为工程图样中的辅助图样。2.1.1投影法3．工程上常用的投影图（3）

标高投影图标高投影图也是用正投影法绘制的正投影图，它将不同高度的点或平面曲线向一个水平面投射，然后在投影图上标出点或曲线的高度坐标。图中一系列标有数字的曲线称为等高线标高投影图常用来表示不规则的曲面，如地形图和机器中复杂曲面（汽车、飞行器外壳等）。2.1.1投影法3．工程上常用的投影图（4）

透视投影图（透视图）透视投影图是用中心投影法将物体投射在单一投影面上得到的图形。透视图与照相成影的原理相似，图像接近于视觉映像，故透视图形象逼真，常用于建筑设计方案比较、工艺美术、宣传广告和展览等。但透视图的作图过程复杂且度量性差。2.1.1投影法同素性

一般情况下点的投影仍为点，直线的投影仍为直线。从属性

若空间点属于直线或平面，则点的投影属于此直线或平面的同面投影。平行性

若空间直线平行，则这两直线在同一投影面的投影也平行。积聚性若空间直线或平面与投影面垂直，则其投影积聚为点或直线。2.1.2正投影的基本性质真实性若空间直线或平面与投影面平行，则其投影反应实长或实形。类似性若空间直线或平面与投影面倾斜，则投影变短或变小，为其类似形。定比性若空间点在直线上，则点把空间直线分的比例与点的投影把直线的同面投影分的比例相等；若两空间直线平行，则这两条直线的实长之比与它们的投影之比相等。2.1.2正投影的基本性质2.1.3视图的基本概念

用正投影法绘制物体的图形时，把人的视线假想成相互平行且垂直投影面的一组投射线，将物体在投影面上的投影称为视图。物体视图投影面视线平行且垂直于投影面人的视线为投射线

国家标准规定：绘制视图时，可见的棱边线和轮廓线用粗实线绘制，不可见的棱边线和轮廓线用细虚线绘制。两个不同的物体，在同一投影面上的投影却相同两个不同的物体视图相同一个视图不能完整地表达物体的形状。2.1.3视图的基本概念HWV投影面

正立投影面（用字母V表示，简称正面）

水平投影面（用字母H表示，简称水平面）

侧立投影面（用字母W表示，简称侧面）投影轴OXZOX轴

V面与H面的交线，代表长度方向OZ轴

V面与W面的交线，代表高度方向OY轴

H面与W面的交线，代表宽度方向Y三个投影面相互垂直1.三投影面体系的建立2.1.3视图的基本概念主视图由前向后投射在正面所得的视图由上向下投射在水平面所得的视图由左向右投射在侧面所得的视图2.三视图的形成俯视图左视图2.1.3视图的基本概念3.投影面的展开V面不动

向右转90°

向下转90°2.1.3视图的基本概念4.三视图之间的对应关系及投影规律位置关系左视图在主视图的右方俯视图在主视图的下方投影规律主、俯长对正主、左高平齐左、俯宽相等方位关系主视图反映左、右和上、下俯视图反映左、右和前、后左视图反映上、下和前、后去掉投影面边框和投影轴三等规律左、俯视图远离主视图的一边，表示物体的前面；靠近主视图的一边，表示物体的后面。2.1.3视图的基本概念三视图的画图步骤【例】根据物体的轴测图，画出其三视图

画三视图时，物体的每一组成部分，最好是三个视图配合着画。不要先把一个视图画完后，再画另一个视图。这样，不但可以提高绘图速度，还能避免漏线、多线。画物体某一部分的三视图时，应先画反映形状特征的视图，再按投影关系画出其他视图。2.1.3视图的基本概念2.2点的投影2.2.2点的投影与直角坐标的关系2.2.1点的投影规律2.2.3两点的相对位置与重影点2.2.1点的投影规律WHVOXa

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影

空间点用大写字母表示，点的水平投影用相应的小写字母表示，点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，点的侧面投影用相应的小写字母加两撇表示。a

●a●a

●A●ZY点是最基本最简单的几何元素WVH●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazayaaZaa

yayaXYHYWO

●●az●xV面不动

向右转90°向下转90°投影面的展开2.2.1点的投影规律●●●●XYZOVHWAaa

a

①

a

a⊥OX轴；②aax=a

az=点A到V面的距离a

ax=a

ay=点A到H面的距离xaazay●●YWZaza

XYHayOaaxaya

●a

a

⊥OZ轴；a

az=aay

=点A到W面的距离aay

⊥

OYH轴；a

ay

⊥

OYW轴点的两面投影连线，必定垂直于相应的投影轴影轴距=点面距

点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应的投影面的距离。2.2.1点的投影规律【例】已知点A的两个投影，求作第三投影●a

●●a

aaxaz作45°线使

a

az=aax2.2.1点的投影规律2.2.2点的投影与直角坐标的关系点A的x坐标=点A到W面的距离（Aa″）点A的y坐标=点A到V面的距离（Aa′）点A的z坐标=点A到H面的距离（Aa）对应关系点A三面投影的坐标分别为:a（x，y）、a′（x，z）、a″（y，z）

任一投影都包含两个坐标，所以一个点的两面投影就包含了点的三个坐标，即确定了点的空间位置

空间点的位置可由该点的坐标（x，y，z）确定

【例】已知点A（15、10、12），求作它的三面投影2.2.2点的投影与直角坐标的关系2.2.3两点的相对位置与重影点

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系x

坐标值大者在左侧y坐标值大者在前方z坐标值大者在上方点A在点B的左、后、下方判别方法重影点的可见性判别

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。点A、点C为H面的重影点被挡住的投影加（）()●●●●●a

a

c

c

a

c点A、点C为哪个投影面的重影点呢？当两点在V面的投影重合时，则y坐标大者在前当两点在H面的投影重合时，则z坐标大者在上若两点在W面的投影重合时，则x坐标大者在左判别方法

2.2.3两点的相对位置与重影点【例】已知点A的三面投影，作出点B（16、8、0）的三面投影，并判断两点在空间的相对位置。点A在点B的右、前、上方

提示：b″一定在W面的OYW轴上，而不在H面的OYH轴上。【例】已知空间点A（12，10，7），点B在点A的正上方4mm，求作A、B两点的三面投影。2.2.3两点的相对位置与重影点2.3直线的投影2.3.2各种位置直线2.3.1直线的三面投影2.3.3一般位置直线的实长与倾角2.3.4直线上的点2.3.5两直线的相对位置2.3.1直线的三面投影

求作直线的三面投影时，可分别作出直线两端点的三面投影。然后将同一投影面上的投影（简称同面投影）连接起来，即得到直线的三面投影2.通过一个已知点并与一条已知直线平行直线空间位置的确定:1.通过两个已知点AB●●●●ab直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=ABcosα●●AB●●abα直线垂直于投影面投影重合为一点

积聚性AMB●a≡b≡m●●●2.3.2各种位置直线投影面平行线投影面垂直线一般位置直线特殊位置直线正平线（平行于Ｖ面）水平线（平行于H面）侧平线（平行于W面）正垂线（垂直于Ｖ面）铅垂线（垂直于H面）侧垂线（垂直于W面）

与一个基本投影面平行，与另外两个基本投影面成倾斜位置的直线垂直于一个基本投影面的直线与三个基本投影面均成倾斜位置的直线1.一般位置直线1）一般位置直线的三个投影都倾斜于影轴；2）一般位置直线的三个投影均不反映实长，长度均变短；3）投影与投影轴的夹角均不反映直线对投影面的夹角。投影特性与三个基本投影面均成倾斜位置的直线，称为一般位置直线2.3.2各种位置直线1．投影面平行线水平线平行于H面与V面、W面倾斜的直线正平线平行于V面与H面、W面倾斜的直线侧平线平行于W面与V面、H面倾斜的直线1）直线在所平行的投影面上的投影反映实长2）其他两面投影平行于相应的投影轴，且均不反映实长3）反映实长的投影与投影轴所夹的角度，等于空间直线对相应投影面的倾角投影特性2.3.2各种位置直线（1）水平线1）水平投影ab=AB2）正面投影a′b′∥OX，侧面投影a″b″∥OYW，且不反映实长3）

ab与OX和OYH

的夹角β、γ等于AB对V、W面的倾角投影特性实长2.3.2各种位置直线（2）正平线1）

正面投影c′d′=CD2）

水平投影cd∥OX，侧面投影c″d″∥OZ，且不反映实长3）

c′d′与OX和OZ的夹角α、γ等于CD对H、W的倾角投影特性实长2.3.2各种位置直线（3）侧平线1）

侧面投影e″f″=EF2）

水平投影ｅf∥OYH，正面投影e′f′∥OZ，且不反映实长3）

e″f″与OYW和OZ的夹角α、β等于EF对H、V面的倾角投影特性实长2.3.2各种位置直线2．投影面垂直线铅垂线垂直于H面的直线

正垂线垂直于V面的直线侧垂线垂直于W面的直线1）直线在所垂直的投影面上的投影，积聚成一点2）其他两面投影反映该直线的实长，且分别垂直于相应的投影轴投影特性2.3.2各种位置直线（1）铅垂线1）水平投影积聚成一点a（b）2）

a′b′=a″b″=AB，且a′b′⊥OX轴，a″b″⊥OYW轴投影特性2.3.2各种位置直线（2）正垂线1）

正面投影积聚成一点c′（d′）2）

cd=c″d″=CD，且cd⊥OX轴，c″d″⊥OZ轴投影特性2.3.2各种位置直线（3）侧垂线1）

侧面投影积聚成一点e″（f″）2）

ef=e′f′=EF，且ef⊥OYH轴，e′f′⊥OZ轴投影特性2.3.2各种位置直线【例】分析图中正三棱锥SA、SB、AC三条棱线与投影面的相对位置一般位置线侧垂线侧平线2.3.2各种位置直线2.3.3一般位置直线的实长与倾角作图原理（1）以线段某一投影长度为一直角边（2）以同一线段另一投影两端点的坐标差为另一直角边（3）所作直角三角形的斜边即为线段的实长直角三角形法的作图要领1．直角三角形法的作图原理方法一

方法二

【例】已知直线AB的两面投影，试利用y坐标差求直线AB的实长和直线与正面的倾角β提示：求α角，利用直线的水平投影；求β角，利用直线的正面投影；求γ角，利用直线的侧面投影2.3.3一般位置直线的实长与倾角2.3.4直线上的点投影特性

提示：只要点的一个投影不在直线的同面投影上，则可判定该点不在该直线上。（1）点在直线上，其各个投影在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律。（2）点分线段之比，在投影后保持不变。直观图投影图【例】已知点M在直线AB上，求作它们的第三投影2.3.4直线上的点【例】试判断C、D点是否属于直线AB结论C点不在AB线上，D点在AB线上。2.3.4直线上的点【例】已知线段AB的两投影，试取属于该线段的一点M，使AM等于定长AL。2.3.4直线上的点2.3.4两直线的相对位置空间两直线的相对位置可分为以下三类:平行相交交叉可以组成一个平面不能组成一个平面又称异面直线

⒈.平行两直线投影特性若空间两直线相互平行，则其各组同面投影必相互平行。若两直线的各组同面投影分别相互平行，则空间两直线必相互平行。

d

b

a

c

bcdab

c

a

d

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行AB与CD不平行【例】判断AB、CD两直线是否平行如何判断？分析求出侧面投影后可知求出侧面投影

还有什么方法？2.3.4两直线的相对位置2．相交两直线投影特性若空间两直线相交，则其各组同面投影必定相交，交点为两直线的共有点，且符合点的投影规律。若两直线的各组同面投影都相交，且交点符合点的投影规律，则两直线在空间必定相交。直观图投影图2.3.4两直线的相对位置Ｏcabb

a

c

dX●k●●k

●d

【例】已知两相交直线AB和CD的水平投影ab、cd，直线AB的正面投影a′b′和点C的正面投影c′，求直线CD的正面投影2.3.4两直线的相对位置3

(4

)2(1)3．交叉两直线投影特性“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。为什么？两直线相交吗？同名投影可能相交，但“交点”不符合点的投影规律。b

d

c

cdaaa'2

1

●●●34●●●Ⅰ、Ⅱ是H面的重影点Ⅲ、Ⅳ是V面的重影点

交点的连线与投影轴倾斜

2.3.4两直线的相对位置

【例】已知两直线AB和CD的水平投影ab、cd，和正面投影a′b′、c′d′，问此两直线是否相交？Ｏcabb

a

c

dXd

Ｏcabb

a

c

dXd

结论AB和CD不相交。2.3.4两直线的相对位置还有什么方法？４．直角投影定理如果角的两边同时平行于某个投影面，则两边在该面上投影的夹角反映该角的真实角度；直角投影定理如果垂直相交的两直线，其中一条是投影面的平行线，则它们在该投影面的投影仍为直角。cabBACmcaba

c

b

XO如果角的两边倾斜于某个投影面，则两边在该面上投影的夹角不能反映该角的真实角度。直角投影逆定理如果空间两直线在某投影面的投影为直角，且其中一条直线是投影面的平行线，那么这两条直线相互垂直。2.3.4两直线的相对位置

【例】已知水平线AB及正平线CD，试过定点E作它们的公垂线。cabde。。a

c

b

XOd

e

cabde。。fa

c

b

XOd

e

f

2.3.4两直线的相对位置

【例】试过点A作三角形ABC，已知一条直角边BC处于已知水平线MN上，另一直角边为AB，且已知AB:BC=3:2。an。。mm

n

XOa

an。。mn

m

a

an。。mn

m

a

b

c

bcab△ZAB2AB/32.3.4两直线的相对位置2.4平面的投影2.4.2各种位置平面的投影特性2.4.1平面的表示方法2.4.3平面上的直线和点的投影2.4.1平面的表示方法●●●●●●abca

b

c

不在同一直线上的三个点●●●●●●abca

b

c

直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●两相交直线●●●abca

b

c

●●●平面图形两平行直线abca

b

c

●●●●●●d●d

●平面的迹线表示法2.4.1平面的表示方法直观图投影图用迹线表示铅垂面E面ED面FF面DB面A面C面BCAG面G投影面平行面

平行于一个基本投影面的平面投影面垂直面正平面（平行于Ｖ面）侧平面（平行于Ｗ面）水平面（平行于Ｈ面）正垂面（垂直于Ｖ面）侧垂面（垂直于Ｗ面）铅垂面（垂直于Ｈ面）一般位置平面

与三个基本投影面均成倾斜位置的平面特殊位置平面

与一个基本投影面垂直，与另两个基本投影面成倾斜位置的平面2.4.2各种位置平面的投影特性1．投影面平行面①水平投影反映实形；②正面投影积聚成直线，且平行于OX轴；投影特性③侧面投影积聚成直线，且平行于OYW轴。（1）水平面2.4.2各种位置平面的投影特性（２）正平面①正面投影反映实形；②水平投影积聚成直线，且平行于OX轴；投影特性③侧面投影积聚成直线，且平行于OZ轴。2.4.2各种位置平面的投影特性（3）侧平面①侧面投影反映实形；②正面投影积聚成直线，且平行于OZ轴；投影特性③水平投影积聚成直线，且平行于OYH轴。2.4.2各种位置平面的投影特性①平面在所平行的投影面上的投影反映实形；②其他两面投影积聚成直线，且平行于相应的投影轴。投影面平行面投影特性总结2．投影面垂直面①水平投影积聚成直线，该直线与X、Y轴的夹角β、γ，等于平面对V、W面的倾角；②正面投影和侧面投影为原形的类似形。投影特性（1）铅垂面2.4.2各种位置平面的投影特性（2）正垂面①正面投影积聚成直线，该直线与X、Z轴的夹角α、γ，等于平面对H、W面的倾角；②水平投影和侧面投影为原形的类似形。投影特性2.4.2各种位置平面的投影特性（3）侧垂面①侧面投影积聚成直线，该直线与Y、Z轴的夹角α、β，等于平面对H、V面的倾角；②正面投影和水平投影为原形的类似形。投影特性2.4.2各种位置平面的投影特性①平面在所垂直的投影面上的投影，积聚成与投影轴倾斜的直线，该直线与投影轴的夹角等于平面对相应投影面的倾角；投影面垂直面投影特性总结②其他两面投影均为原形的类似形。3．一般位置平面由于一般位置平面对三个投影面都倾斜，其三面投影均不反映实形，都是小于原平面的类似形。投影特性类似形类似形类似形2.4.2各种位置平面的投影特性【例2-12】判断正三棱锥的三个面（ABC、SAC、SAB）与投影面的相对位置。水平面侧垂面一般位置平面2.4.2各种位置平面的投影特性判断直线在平面内的方法定理一

若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二

若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。1．平面内的直线2.4.3平面上的直线和点的投影【例】已知△ABC上的直线EF的正面投影e′f′，求水平投影ef。2.4.3平面上的直线和点的投影2．平面内的点先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。首先面上取线点从属于平面的几何条件

若一点在平面内的任一直线上，则此点必定在该平面内。面上取点的方法2.4.3平面上的直线和点的投影【例】已知

△ABC内点E的正面投影e′和点F的水平投影f，求作它们的另一面投影。2.4.3平面上的直线和点的投影【例】在△

ABC平面上取一点K，距离V面14，距离H面16。2.4.3平面上的直线和点的投影2.5几何元素的相对位置2.5.2相交问题2.5.1平行问题2.5.3垂直问题2.5.4综合问题1.直线与平面平行几何定理:2.5.1平行问题1.若平面外一直线与平面内一直线对应平行，则平面外直线必与该平面平行。2.若直线平行于一平面，则通过属于该平面的任一点必能在该平面内作一条直线与已知直线平行。运用定理可解决三类问题1.判断直线与平面是否平行【例】判断已知直线MN是否平行于ABC所确定的平面。结论:不平行2.5.1平行问题2.过定点作直线平行已知平面【例】过定点K作一正平线平行于△

ABC所在的平面。2.5.1平行问题3.过定点作平面平行已知直线【例】过定点A作平面平行于已知直线。2.5.1平行问题2.平面与平面平行几何定理:1.若一平面内相交两直线分别平行于另一平面内的相交两直线，则两平面相互平行。

特殊情况时，当两平面同垂直于某一投影面，只要它们的积聚性投影平行，则两平面必定平行。2.5.1平行问题运用此定理可解决以下问题1.判断两平面是否平行【例】判断已知平面

ABC和DEF是否平行。2.5.1平行问题2.过定点作平面平行已知平面【例】过定点K作平面平行于由平行两直线AB和CD确定的平面。2.5.1平行问题直线与平面相交必产生一个交点，该点是平面与直线的共有点。１.与投影面垂直的直线或平面相交当处于一般位置的直线与投影面垂直面相交时，平面有积聚性，则利用直线上取点的方法求出其他投影。当直线为投影面垂直线时，它与一般位置平面相交，直线有积聚性，则利用平面内取点的方法求出其他投影。2.5.2相交问题【例】求直线MN与

ABC平面的交点K。2.5.2相交问题【例】求直线EF与

ABC平面的交点。2.5.2相交问题平面与平面相交必产生一条交线，该交线是平面与平面的共有线。2.与投影面垂直的平面与平面相交投影面垂直面与一般位置平面相交时，垂直面有积聚性，则利用积聚性求交线。【例】求

ABC平面与DEF平面的交线。2.5.2相交问题一般位置的直线与一般位置平面相交时，由于均没有积聚性，在投影图中交点不能直接确定，需采用辅助平面才能求出。3.一般位置直线与平面相交【例】求直线AB与与CDE平面的交点。2.5.2相交问题4.一般位置平面与平面相交一般位置平面与平面相交可以用两种方法求其交线。（1）用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点。作图方法：两次求解一般位置直线与一般位置平面的交点。求交点k求交点l2.5.2相交问题判别可见性2.5.2相交问题（2）用三面共点法求交线。空间分析2.5.2相交问题投影图2.5.2相交问题2.5.3垂直问题1.直线与平面垂直直线与平面垂直的充要条件如果一直线垂直于一平面内两条相交直线，则此直线垂直于该平面。如果一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于该平面内的一切直线。根据直角投影原理得出定理如果一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于平面上水平线的水平投影，该直线的正面投影必垂直于平面上正平线的正面投影。如果直线的水平投影垂直于平面上水平线的水平投影，同时直线的正面投影垂直于平面上正平线的正面投影，则此直线必垂直于该平面。逆定理2.5.3垂直问题运用定理可解决线面垂直的三类问题（1）过定点作直线垂直于平面【例】已知平面由两相交直线AB和CD确定，试过S点作该平面的垂线。2.5.3垂直问题【例】试判断直线DF是否与平面ABC垂直。结论：不垂直2.5.3垂直问题【例】过点A作平面DEF的垂线，并求出垂足K的投影。（2）过定点作平面垂直于定直线2.5.3垂直问题【例】过定点A作平面与已知直线MN垂直。Ｏamnn

m

a

X●●Ｏamnn

m

a

X●●（3）过定点作直线垂直于一般位置直线2.5.3垂直问题【例】过定点A作直线与已知直线EF正交。2.两平面互相垂直2.5.3垂直问题(1)若一直线垂直于一平面，则包含这条直线的一切平面都垂直于该平面。(2)如果两平面互相垂直，那么过属于第一个平面的任意一点向第二个平面所作的垂线一定属于第一个平面。【例】过定点S作平面垂直于ABC平面。有无穷多解2.5.3垂直问题【例】试判断由相交的水平线与正平线确定的平面与平面ABC是否垂直。结论：不垂直2.5.3垂直问题2.5.4综合问题

【例】已知直角三角形ABC中一直角边AB的两投影及另一直角边BC的水平投影，试完成直角三角形ABC的投影。【例】求点S到ABC平面的距离。作垂线2.5.4综合问题求垂足求实长2.5.4综合问题2.6换面法2.6.2点、直线的换面2.6.1换面法的概念2.6.3平面的换面2.6.4换面法的应用特殊位置几何元素的投影特性问题的提出如何将一般位置直线或平面转变为特殊位置？解决方法★变换投影面法★旋转法（自学）★斜投影法（自学）2.6.1换面法的概念

空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替某一旧的投