上海市奉城高级中学2024届数学高二上期末考试试题含解析_第1页
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文档简介

上海市奉城高级中学2024届数学高二上期末考试试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“今有俸粮三百零五石,令五等官(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之,问,各若干?”其大意是,现有俸粮石,分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员,依照品级递减石分这些俸粮,问,每个人各分得多少俸粮?在这个问题中,正三品分得俸粮是()A.石 B.石C.石 D.石2.若抛物线上一点到焦点的距离为5,则点的坐标为()A. B.C. D.3.“”是“直线与互相垂直”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(,)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg5.若圆与圆外切,则()A. B.C. D.6.在正方体中,,则()A. B.C. D.7.给出下列结论:①如果数据的平均数为3,方差为0.2,则的平均数和方差分别为14和1.8;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数r的值越接近于1.③对A、B、C三种个体按3:1:2的比例进行分层抽样调查,若抽取的A种个体有15个,则样本容量为30.则正确的个数是().A.3 B.2C.1 D.08.已知双曲线的左右焦点分别为、,过作的一条渐近线的垂线,垂足为,若的面积为,则的渐近线方程为A. B.C. D.9.已知双曲线C的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为()A. B.C. D.10.执行如图所示的程序框图,输出的结果为()A.4 B.9C.23 D.6411.①命题设“,若,则或”;②若“”为真命题,则p,q均为真命题;③“”是函数为偶函数的必要不充分条件;④若为空间的一个基底,则构成空间的另一基底;其中正确判断的个数是()A.1 B.2C.3 D.412.若关于x的方程有解,则实数a的取值范围为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知三角形OAB顶点,,,则过B点的中线长为______.14.如图,椭圆左顶点为轴上一点满足,且线段与椭圆交于点是以为底边的等腰三角形,则椭圆离心率为__________.15.直线的倾斜角为______16.若向量满足,则_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知命题:,在下面①②中任选一个作为:,使为真命题,求出实数a的取值范围.①关于x的方程有两个不等正根;②.(若选①、选②都给出解答,只按第一个解答计分.)18.(12分)蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子,建造和搬迁都很方便,适于游牧生活.其结构如图所示,上部分是侧棱长为3的正六棱锥,下部分是高为1的正六棱柱,分别为正六棱柱上底面与下底面的中心.(1)若长为,把蒙古包的体积表示为的函数;(2)求蒙古包体积的最大值.19.(12分)设双曲线的左、右焦点分别为,,且,一条渐近线的倾斜角为60°(1)求双曲线C的标准方程和离心率;(2)求分别以,为左、右顶点,短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程20.(12分)已知函数.(1)求函数的极值;(2)若对恒成立,求实数a的取值范围.21.(12分)如图,矩形和菱形所在的平面相互垂直,,为的中点.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的余弦值.22.(10分)在二项式展开式中,第3项和第4项的二项式系数比为.(1)求n的值及展开式中的常数项;(2)求展开式中系数最大的项是第几项.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】令位官员(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)所分得的俸粮数是公差为数列,利用等差数列的前n项和求,进而求出正三品即可.【详解】正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员所分得的俸粮数记为数列,由题意,是以为公差的等差数列,且,解得.故正三品分得俸粮数量为(石).故选:D.2、C【解析】设,由抛物线的方程可得准线方程为,由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离,求出,解出纵坐标,进而求出【详解】由题意可得,解得,代入抛物线的方程,解得,所以的坐标,故选:C.3、A【解析】根据两直线垂直的性质求出,再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解:因为直线与互相垂直,所以,解得或,所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件.故选:A.4、D【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71,则=0.85>0,y与x具有正的线性相关关系,A正确;回归直线过样本点的中心(),B正确;该大学某女生身高增加1cm,预测其体重约增加0.85kg,C正确;该大学某女生身高为170cm,预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg,D错误故选D5、C【解析】求得两圆的圆心坐标和半径,结合两圆相外切,列出方程,即可求解.【详解】由题意,圆与圆可得,,因为两圆相外切,可得,解得故选:C.6、A【解析】根据空间向量基本定理,结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为,而,所以有,故选:A7、B【解析】对结论逐一判断【详解】对于①,则的平均数为,方差为,故①正确对于②,若两个变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故②错误对于③,对A、B、C三种个体按3:1:2的比例进行分层抽样调查,若抽取的A种个体有15个,则样本容量为,故③正确故正确结论为2个故选:B8、D【解析】求得,根据的面积列方程,由此求得,进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】依题意,双曲线的一条渐近线为,则,所以,所以,所以.所以双曲线渐近线方程为.故选:D【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线的有关计算,属于中档题.9、B【解析】根据双曲线的离心率,求出即可得到结论【详解】∵双曲线的离心率是,∴,即1+,即1,则,即双曲线的渐近线方程为,故选:B10、C【解析】直接按程序框图运行即可求出结果.【详解】初始化数值,,第一次执行循环体,,,1≥4不成立;第二次执行循环体,,,2≥4不成立;第三次执行循环体,,,3≥4不成立;第四次执行循环体,,,4≥4成立;输出故选:C11、B【解析】利用逆否命题、含有逻辑联结词命题的真假性、充分和必要条件、空间基底等知识对四个判断进行分析,由此确定正确答案.【详解】①,原命题的逆否命题为“,若且,则”,逆否命题是真命题,所以原命题是真命题,①正确.②,若“”为真命题,则p,q至少有一个真命题,②错误.③,函数为偶函数的充要条件是“”.所以“”是函数为偶函数的充分不必要条件,③错误.④,若为空间的一个基底,即不共面,若共面,则存在不全为零的,使得,故,因为为空间的一个基底,,故,矛盾,故不共面,所以构成空间的另一基底,④正确.所以正确的判断是个.故选:B12、C【解析】将方程有解,转化为方程有解求解.【详解】解:因为方程有解,所以方程有解,因为,当且仅当,即时,等号成立,所以实数a的取值范围为,故选:C二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】先求出中点坐标,再由距离公式得出过B点的中线长.【详解】由中点坐标公式可得中点,则过B点的中线长为.故答案为:14、##【解析】根据题设条件可得坐标,代入椭圆方程后可求椭圆的离心率.【详解】因为,故,,且在轴的正半轴上,则在第二象限中,故,代入椭圆方程有:即,故,故答案为:.15、【解析】把直线方程化为斜截式,再利用斜率与倾斜角的关系即可得出【详解】设直线的倾斜角为由直线化为,故,又,故,故答案为【点睛】一般地,如果直线方程的一般式为,那么直线的斜率为,且,其中为直线的倾斜角,注意它的范围是16、【解析】根据题目条件,利用模的平方可以得出答案【详解】∵∴∴.故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、答案见解析【解析】根据题意,分析、为真时的取值范围,又由复合命题真假的判断方法可得、都是真命题,据此分析可得答案.【详解】解:选①时由知在上恒成立,∴,即又由q:关于x的方程有两个不等正根,知解得,由为真命题知,解得.实数a的取值范围.选②时由知在上恒成立,∴,即又由,知在上恒成立,∴,又,当且仅当时取“=”号,∴,由为真命题知,解得.实数a的取值范围.18、(1),其中.(2).【解析】(1)利用柱体和椎体体积公式求得的函数表达式.(2)利用导数求得体积的最大值.【小问1详解】正六边形的边长(0),底面积,于是,其中.【小问2详解】,,当时,单调递增,当时,单调递减,所以当时,.综上,当时,蒙古包体积最大,且最大体积为.19、(1),2(2)【解析】(1)结合,联立即得解;(2)由题意,即得解.【详解】(1)由题意,又解得:故双曲线C的标准方程为:,离心率为(2)由题意椭圆的焦点在轴上,设椭圆方程为故即椭圆方程为:20、(1)极大值为,无极小值(2)【解析】(1)求函数的导数,根据导数的正负判断极值点,代入原函数计算即可;(2)将变形,即对恒成立,然后构造函数,利用求导判定函数的单调性,进而确定实数a的取值范围..【小问1详解】对函数求导可得:,可知当时,时,,即可知在上单调递增,在上单调递减由上可知,的极大值为,无极小值【小问2详解】由对恒成立,当时,恒成立;当时,对恒成立,可变形为:对恒成立,令,则;求导可得:由(1)知即恒成立,当时,,则在上单调递增;又,因,故,,所以在上恒成立,当时,令,得,当时,在上单调递增,当时,在上单调递减,从而可知的最大值为,即,因此,对都有恒成立,所以,实数a的取值范围是.21、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)利用面面垂直和线面垂直的性质定理可证得;由菱形边长和角度的关系可证得;利用线面垂直的判定定理可证得结论;(2)以为坐标原点建立起空间直角坐标系,利用空间向量法可求得二面角的余弦值.详解】(1)平面平面,平面平面,且平面,平面,平面,,四边形为菱形且为中点,,又,,又,,平面,,平面.(2)以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系,设,则,,,,,,则,,,设平面的法向量,则,令,则,,,设平面的法向量,则,令,则,,,,二面角为钝二面角,二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面

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