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文档简介
陕西省兴平市2024届高二上数学期末联考模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列是各项均为正数的等比数列,若,则公比()A. B.2C.2或 D.42.已知两条不同直线和平面,下列判断正确的是()A.若则 B.若则C.若则 D.若则3.已知O为坐标原点,,点P是上一点,则当取得最小值时,点P的坐标为()A. B.C. D.4.在各项均为正数的等比数列中,若,则()A.6 B.12C.56 D.785.圆与的公共弦长为()A. B.C. D.6.设、是向量,命题“若,则”的逆否命题是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则7.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为A.11 B.12C.13 D.148.过抛物线的焦点作直线l,交抛物线与A、B两点,若线段中点的纵坐标为3,则等于()A.10 B.8C.6 D.49.已知点是双曲线的左、右焦点,以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为,若,则()A.与双曲线的实轴长相等B.的面积为C.双曲线的离心率为D.直线是双曲线的一条渐近线10.已知函数.若数列的前n项和为,且满足,,则的最大值为()A.9 B.12C.20 D.11.已知圆,为圆外的任意一点,过点引圆的两条切线、,使得,其中、为切点.在点运动的过程中,线段所扫过图形的面积为()A. B.C. D.12.下面四个说法中,正确说法的个数为()(1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;(2)两条直线可以确定一个平面;(3)若,,,则;(4)空间中,两两相交的三条直线在同一平面内.A.1 B.2C.3 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.下图是4个几何体的展开图,图①是由4个边长为3的正三角形组成;图②是由四个边长为3的正三角形和一个边长为3的正方形组成;图③是由8个边长为3的正三角形组成;图④是由6个边长为3的正方形组成若直径为4的球形容器(不计容器厚度)内有一几何体,则该几何体的展开图可以是______(填所有正确结论的番号)14.若圆的一条直径的端点是、,则此圆的方程是_______15.设,,,则动点P的轨迹方程为______,P到坐标原点的距离的最小值为______16.定义在上的函数满足:有成立且,则不等式的解集为__________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)当时,求函数的值域.18.(12分)已知函数(1)若,求函数的单调区间;(2)若函数有两个不相等的零点,证明:19.(12分)已知函数(1)求函数在区间上的最大值和最小值;(2)求出方程的解的个数20.(12分)已知等差数列的前项和为,且,(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项和21.(12分)已知双曲线与有相同的渐近线,且经过点.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线与双曲线交于不同的两点,且线段的中点在圆上,求实数的值.22.(10分)设O为坐标原点,动点P在圆上,过点P作轴的垂线,垂足为Q且.(1)求动点D的轨迹E的方程;(2)直线与圆相切,且直线与曲线E相交于两不同的点A、B,T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点,记的面积分别为,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由两式相除即可求公比.【详解】设等比数列的公比为q,∵其各项均为正数,故q>0,∵,∴,又∵,∴=4,则q=2.故选:B.2、D【解析】根据线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系即可判断.【详解】解:对于选项A:若,则与可能平行,可能相交,可能异面,故选项A错误;对于选项B:若,则,故选项B错误;对于选项C:当时不满足,故选项C错误;综上,可知选项D正确.故选:D.3、A【解析】根据三点共线,可得,然后利用向量的减法坐标运算,分别求得,最后计算,经过化简观察,可得结果.【详解】设,则则∴当时,取最小值为-10,此时点P的坐标为.故选:A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算,难点在于三点共线,审清题干,简单计算,属基础题.4、D【解析】由等比数列的性质直接求得.【详解】在等比数列中,由等比数列的性质可得:由,解得:;由可得:,所以.故选:D5、D【解析】已知两圆方程,可先让两圆方程作差,得到其公共弦的方程,然后再计算圆心到直线的距离,再结合勾股定理即可完成弦长的求解.【详解】已知圆,圆,两圆方程作差,得到其公共弦的方程为::,而圆心到直线的距离为,圆的半径为,所以,所以.故选:D.6、C【解析】利用原命题与逆否命题之间的关系可得结论.【详解】由原命题与逆否命题之间的关系可知,命题“若,则”的逆否命题是“若,则”.故选:C.7、B【解析】使用系统抽样方法,从840人中抽取42人,即从20人抽取1人∴从编号1~480的人中,恰好抽取480/20=24人,接着从编号481~720共240人中抽取240/20=12人考点:系统抽样8、B【解析】根据抛物线的定义求解【详解】抛物线的焦点为,准线方程为,设,则,所以,故选:B9、B【解析】由题意及双曲线的定义可得,的值,进而可得A不正确,计算可判断B正确,再求出,的关系可得C不正确,求出,的关系,进而求出渐近线的方程,可得D不正确【详解】因为,又由题意及双曲线的定义可得:,则,,所以A不正确;因为在以为直径的圆上,所以,所以,所以B正确;在△中,由勾股定理可得,即,所以离心率,所以C不正确;由C的分析可知:,故,所以渐近线的方程为,即,所以D不正确;故选:B10、C【解析】先得到及递推公式,要想最大,则分两种情况,负数且最小或为正数且最大,进而求出最大值.【详解】①,当时,,当时,②,所以①-②得:,整理得:,所以,或,当是公差为2的等差数列,且时,最小,最大,此时,所以,此时;当且是公差为2的等差数列时,最大,最大,此时,所以,此时综上:的最大值为20故选:C【点睛】方法点睛:数列相关的最值求解,要结合题干条件,使用不等式放缩,函数单调性或导函数等进行求解.11、D【解析】连接、、,分析可知四边形为正方形,求出点的轨迹方程,分析可知线段所扫过图形为是夹在圆和圆的圆环,利用圆的面积公式可求得结果.【详解】连接、、,由圆的几何性质可知,,又因为且,故四边形为正方形,圆心,半径为,则,故点的轨迹方程为,所以,线段扫过的图形是夹在圆和圆的圆环,故在点运动的过程中,线段所扫过图形的面积为.故选:D.12、A【解析】如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合或者是相交,即可判断;利用两条异面直线不能确定一个平面即可判断;利用平面的基本性质中的公理判断即可;若两两相交的三条直线相交于同一点,则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内(如棱锥的3条侧棱),即可判断.【详解】如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合或者是相交,故(1)不正确;两条异面直线不能确定一个平面,故(2)不正确;利用平面的基本性质中的公理判断(3)正确;空间中,若两两相交的三条直线相交于同一点,则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内(如棱锥的3条侧棱),故(4)不正确,综上所述只有一个说法是正确的,故选:A【点睛】本题主要考查了空间中点,线,面的位置关系.属于较易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①【解析】根据几何体展开图可知①正四面体、②正四棱锥、③正八面体、④正方体,进而求其外接球半径,并与4比较大小,即可确定答案.【详解】若几何体外接球球心为,半径为,①由题设,几何体为棱长为3的正四面体,为底面中心,则,,所以,可得,即,满足要求;②由题设,几何体为棱长为3的正四棱锥,为底面中心,则,所以,可得,即,不满足要求;③由题设,几何体为棱长为3的正八面体,其外接球直径同棱长为3的正四棱锥,故不满足要求;④由题设,几何体为棱长为3的正方体,体对角线的长度即为外接球直径,所以,不满足要求;故答案为:①14、【解析】先设圆上任意一点的坐标,然后利用直径对应的圆周角为直角,再利用向量垂直建立方程即可【详解】设圆上任意一点的坐标为可得:,则有:,即解得:故答案为:15、①.②.l【解析】根据双曲线的定义得到动点的轨迹方程,从而求出到坐标原点的距离的最小值;【详解】解:因为,所以动点P的轨迹为以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的下支.因为,,所以,,,所以动点P的轨迹方程为故P到坐标原点的距离的最小值为故答案为:;;16、【解析】由,判断出函数的单调性,利用单调性解即可【详解】设,又有成立,函数,即是上的增函数,,即,,故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)单调递增区间(−∞,−1)和(4,+∞),单调递减区间(−1,4)(2)【解析】(1)求出,令,由导数的正负即可得到函数f(x)的单调递增区间和递减区间;(2)求出函数在区间中的单调性,求出极大值和极小值以及区间端点的函数值,比较大小即可得到答案【小问1详解】由函数得,令,解得x<−1或x>4,;令,解得−1<x<4,故函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)和(4,+∞),单调递减区间为(−1,4);【小问2详解】由(1)可知,当x∈[−3,−1)时,,f(x)单调递增,当x∈(−1,4)时,,f(x)单调递减,当x∈(4,6]时,,f(x)单调递增,所以当x=−1时,函数f(x)取得极大值f(−1)=,当x=4时,函数f(x)取得极小值f(4)=,又,所以当x∈[−3,6]时,函数f(x)的值域为18、(1)单调递增区间是(4,+∞),单调递减区间是(0,4);(2)证明见解析.【解析】(1)求的导函数,结合定义域及导数的符号确定单调区间;(2)法一:讨论、时的零点情况,即可得,构造,利用导数研究在(0,2a)恒成立,结合单调性证明不等式;法二:设,由零点可得,进而应用分析法将结论转化为证明,综合换元法、导数证明结论即可.【小问1详解】函数的定义域为(0,+∞),当a=2时,,则令得,x>4;令得,0<x<4;所以,单调递增区间是(4,+∞);单调递减区间是(0,4).【小问2详解】法一:当a≤0时,>0在(0,+∞)上恒成立,故函数不可能有两个不相等的零点,当a>0时,函数在(2a,+∞)上单调递增,在(0,2a)上单调递减,因为函数有两个不相等的零点,则,不妨设,设,(0<x<2a),则,所以,由a>0知:在(0,2a)恒成立,所以在(0,2a)上单调递减,即>=0,所以,即,又,故,因为,所以,因为函数在(2a,+∞)上单调递增,所以,即法二:不妨设,由题意得,,得,即,要证,只需证,即证:,即,令,,则,所以在区间(1,+∞)单调递减,故<=0,即恒成立因此,所以.【点睛】关键点点睛:第二问,法一:应用极值点偏移方法构造,将问题转化为在(0,2a)恒成立,法二:根据零点可得,再由分析法将问题化为证明,构造函数,综合运用换元法、导数证明结论.19、(1)f(x)的最大值为7,最小值为-33;(2)见解析.【解析】(1)求函数f(x)的导数,列表求其单调性即可;(2)求出函数f(x)的极值即可.【小问1详解】023+-+f(-2)=-33↗f(0)=7↘f(2)=-1↗f(3)=7∴f(x)的最大值为7,最小值为-33;【小问2详解】02+-+↗f(0)=7↘f(2)=-1↗当a<-1或a>7时,方程有一个根;当a=-1或7时,方程有两个根;当-1<a<7时,方程有三个根.20、(1);(2).【解析】(1)设等差数列的公差为,根据已知条件可得出关于、的方程组,解出这两个量的值,即可求得数列的通项公式;(2)求得,利用裂项相消法可求得.【小问1详解】解:设等差数列公差为,,【小问2详解】解:,.21、(1)(2)【解析】(1)根据所求双曲线与有共同的渐近线可设出所求双曲线方程为,在根据点在双曲线上,代入双曲线方程中即可求解.(2)联立直线与双曲线的方程,得关于的一元二次方程,利用韦达定理得出的关系,再根据中点坐标公式求出线段的中点的坐标,代入圆方程即可求解.【小问1详解】由题意,设双曲线的方程为,则又因为双曲线过点,,所以双曲线的方程为:【小问2详解】由,消去整理,得,设,则因为直线与双曲线交于不同的两点,所以,解得.,所以则中点坐标为,代入圆得,解得.实数的值为22、(1);(2).【解析】(1)设出点D的坐标,借助向量运算表示出点P的坐标代入圆O的方程计算作答.(2)在直线的斜率存在时设出其方程,与轨迹E的方程联立,借助韦达定理表
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