高等数学(经管类)下、林伟初 郭安学主编、复旦大学出版社、课后习题答案

...wd......wd......wd...习题7-11.指出以下各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7).解：A在V卦限，B在y轴上，C在xOz平面上，D在VIII卦限。2.点M(-1，2，3)，求点M关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标.解：设所求对称点的坐标为(x，y，z)，则(1)由x-1=0，y+2=0，z+3=0，得到点M关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3).(2)由x=-1，y+2=0，z+3=0，得到点M关于x轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3).同理可得：点M关于y轴的对称点的坐标为：(1，2，-3)；关于z轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x=-1，y=2，z+3=0，得到点M关于xOy面的对称点的坐标为：(-1，2，-3).同理，M关于yOz面的对称点的坐标为：(1，2，3)；M关于zOx面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3.在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点.解:设所求的点为M(0，0，z)，依题意有|MA|2=|MB|2，即(-40)2(10)2(7z)2(30)2(50)2(-2z)2解之得z=11，故所求的点为M(0，0，).4.证明以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：由两点距离公式可得，所以以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.5.设平面在坐标轴上的截距分别为a=2,b=－3,c=5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为。6.求通过x轴和点(4,－3,－1)的平面方程.解：因所求平面经过x轴，故可设其方程为Ay+Bz=0.又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A-B=0.即B=-3A代入并化简可得y-3z=0.7.求平行于y轴且过M1(1,0,0)，M2(0,0,1)两点的平面方程.解：因所求平面平行于y轴，故可设其方程为Ax+Cz+D=0.又点M1和M2都在平面上，于是可得关系式：A=C=－D,代入方程得：－Dx－Dz+D=0.显然D≠0,消去D并整理可得所求的平面方程为x+z－1=0.8.方程x2+y2+z2－2x+4y=0表示怎样的曲面解：表示以点〔1，-2，0〕为球心，半径为的球面方程。9.指出以下方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形(1)x－2y=1；(2)x2+y2=1；(3)2x2+3y2=1；(4)y=x2.解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。(4)表示抛物线、抛物柱面。习题7-21.以下各函数表达式:(1)f(x,y)=x2+y2,求；(2)求f(x,y).解：〔1〕〔2〕所以2.求以下函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形：(1)；(2);(3)；(4)解：〔1〕由可得故所求定义域为D={(x,y)|}表示xOy平面上不包含圆周的区域。〔2〕由可得故所求的定义域为D={(x,y)|}，表示两条带形闭域。〔3〕由可得故所求的定义域为D={(x,y)|}，表示xOy平面上直线y=x以下且横坐标的局部。〔4〕由可得故所求的定义域为D={(x,y)|}。3.说明以下极限不存在：(1)；(2).解：〔1〕当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时，有。显然，此时的极限值随k的变化而变化。因此，函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。〔2〕当点P(x,y)沿曲线趋于点(0,0)时，有。显然，此时的极限值随k的变化而变化。因此，函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。4.计算以下极限：(1)；(2);(3)；(4).解：〔1〕因初等函数在(0,1)处连续，故有〔2〕〔3〕〔4〕。5.究以下函数的连续性：(1)(2)解：(1)所以f(x,y)在(0,0)处连续.(2)该极限随着k的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)处不连续.6.以下函数在何处连续(1)；(2).解：(1)z在{(x,y)|}处连续.(2)z在{(x,y)|}处连续.习题7-31.求以下函数偏导数：(1)z=x3+3xy+y3；(2);(3)；(4)(5)； (6)解：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.求以下函数在指定点处的偏导数：(1)f(x,y)=x2－xy+y2，求fx(1,2)，fy(1,2);(2);求(3);求； (4),求.解：(1)(2)因此(3)因此所以.(4)故3．设，证明：(1);(2);(3).证明：利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：(1)(2)利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：(3)利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：.4.求以下函数的二阶偏导数,,：(1)； (2).解：(1)(2)5.某水泥厂生产A,B两种标号的水泥，其日产量分别记作x,y(单位：吨)，总本钱(单位：元)为C(x,y)=20+30x2+10xy+20y2,求当x=4,y=3时，两种标号水泥的边际本钱，并解释其经济含义.解：经济含义:当A,B两种标号的水泥日产量分别4吨和3吨时，如果B水泥产量不变，而A水泥的产量每增加1吨，本钱将增加270元；如果A水泥产量不变，而B水泥的产量每增加1吨，本钱将增加160元。6.设某商品需求量Q与价格为p和收入y的关系为Q=400－2p+0.03y.求当p=25,y=5000时，需求Q对价格p和收入y的偏弹性，并解释其经济含义.解：经济含义:价格为25和收入为5000时，如果价格不变，而收入增加1个单位，商品的需求量将增加0.03；如果收入不变，而价格增加1个单位，商品的需求量将减少2.习题7-41.求以下函数的全微分：(1)z=4xy3+5x2y6；(2)(3)u=ln(x－yz)；(4)解：(1)所以(2)所以(3)所以(4)所以2.计算函数z=xy在点(3，1)处的全微分.解：所以3.求函数z=xy在点(2，3)处，关于Δx=0.1，Δy=0.2的全增量与全微分.解：所以4.计算(1.04)2.02的近似值.设函数f(x,y)=xy.x=1,y=2,Δx=0.04,Δy=0.02.f(1,3)=13=1,fx(x,y)=yxy-1,fy(x,y)=xylnx,fx(1,2)=2,fy(1,2)=0.由二元函数全微分近似计算公式(7-18)，得(1.05)3.02≈1+2×0.04+0×0.02=1.08.5.设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20cm，内半径为4cm，容器的壁与底的厚度均为解：解设圆柱的直径和高分别用x，y表示，则其体积为.于是，将所需的混凝土量看作当x+Δx=8+2×0.1，y+Δy=20+0.1与x=8，y=20时的两个圆柱体的体积之差ΔV(不考虑底部的混凝土)，因此可用近似计算公式ΔV≈dV=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy.又，代入x=8，y=20，Δx=0.2，Δy=0.1，得到(m3).因此，大约需要55.264m3的混凝土.习题7-51.求以下函数的全导数：(1)设z=e3u+2v，而u=t2,v=cost,求导数；(2)设z=arctan(u－v),而u=3x,v=4x3,求导数;(3)设z=xy+sint,而x=et,y=cost,求导数解：(1)(2)(3)2.求以下函数的偏导数(其中f具有一阶连续偏导数)：(1)设z=u2v－uv2，而u=xsiny,v=xcosy，求和；(2)设z=(3x2+y2)4x+2y，求和；(3)设u=f(x,y,z)=ex+2y+3z,z=x2cosy，求和；(4)设w=f(x，x2y，xy2z)，求,,.解：(1)(2)令.(3)3.应用全微分形式的不变性，求函数的全微分.解：令而故4.sinxy－2z+ez=0,求和..解：两同时对x求偏导，可得故两边同时对y求偏导，可得故5.假设f的导数存在，验证以下各式：(1)设u=yf(x2－y2)，则；(2)设，则.证：(1),所以.(2),所以.6.求以下函数的二阶偏导数(其中f具有二阶连续偏导数)：(1)；(2)z=ylnx；(3)z=f(xy,x2－y2).解：(1)由第3题可知故.(2)故,.(3)故7.求由以下方程所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数：(1)x2+y2+z2－4z=0；(2)z3－3xyz=1.解：(1)两边同时对x求偏导得故两边同时对y求偏导得故(2)两边同时对x求偏导得故两边同时对y求偏导得故习题7-61.求以下函数的极值：(1)f(x,y)=x2+y3－6xy+18x－39y+16；(2)f(x,y)=3xy－x3－y3+1.解：(1)先解方程组得驻点为(-6,1),(6,5).在点(-6，1)处，Δ=AC-B2=2×6-36<0,所以f(-6，1)不是极值；在点(6，5)处，Δ=AC-B2=2×30-36>0，又A>0，所以函数在(6，5)处有极小值f(6，5)=-90.(2)先解方程组得驻点为(0,0),(1,1).在点(0，0)处，Δ=AC-B2=-9<0,所以f(0，0)不是极值；在点(1，1)处，Δ=AC-B2=27>0,又A<0，所以函数在(1，1)处有极大值f(1，1)=2.2.求函数f(x,y)=x2－2xy+2y在矩形区域D={(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤2}上的最大值和最小值.解：(1)先求函数在D内的驻点，解方程组得唯一驻点(1,1),且f(1,1)=1.(2)再求f(x,y)在D的边界上的最值.在边界x=0,上,f(x,y)=2y，因此最大值为f(0,2)=4，最小值为f(0,0)=0；在边界x=3,上,f(x,y)=-4y+9，因此最大值为f(3,0)=9，最小值为f(3,2)=1；在边界y=0,上,f(x,y)=x2，因此最大值为f(3,0)=9，最小值为f(0,0)=0；在边界y=2,上,f(x,y)=x2－4x+4，因此最大值为f(3,2)=1，最小值为f(2,2)=0；(3)比拟上述得到的函数值，从而得到f(3,0)=9为最大值，f(0,0)=0为最小值.3.求函数f(x,y)=3x2+3y2－x3在区域D:x2+y2≤16上的最小值.解：(1)先求函数在D内的驻点，解方程组得驻点(0,0),(2,0)，且f(0,0)=0，f(2,0)=4.(2)再求f(x,y)在D的边界上的最值.这里啊在边界x2+y2=16上，f(x,y)=48－x3,因此最大值为f(0,4)=48，最小值为f(4,0)=-16；(3)比拟上述得到的函数值，从而得到f(0,4)=48为最大值，f(4,0)=-16为最小值.4.求以下函数的条件极值：(1)z=xy，x+y=1；(2)u=x－2y+2z，x2+y2+z2=1.解：(1)作拉格朗日函数L(x,y,λ)=xy+λ(x+y－1).写出方程组得到,因此，z=xy在处取得最大值.(2)作拉格朗日函数L(x,y,z,λ)=x－2y+2z+λ(x2+y2+z2－1).写出方程组得到,.因此，u=x－2y+2z在处取得最小值-3.5.要用铁板做成一个体积为8m解设长方体的三棱长分别为x，y，z，则问题就是在约束条件xyz=8下求函数S=2(xy+yz+xz)的最大值.构成辅助函数F(x，y，z)=2(xy+yz+xz)+λ(xyz－8)，解方程组得这是唯一可能的极值点.因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即：体积为8m3的有盖长方体水箱中,以棱长为26.某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x件和y件，总本钱函数为C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元),要求每天生产这两种产品的总量为42件，问甲、乙两种产品的日产量为多少时，本钱最低解：问题是在约束条件x+y=42(x>0，y>0)下，函数C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元)的条件极值问题.令由得x=25,y=17.根据问题本身的意义及驻点的唯一性知，当投入两种产品的产量分别为25件和17件时，可使本钱最低.7.某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，销售收入R(单位:万元)与电视广告费x(单位:万元)和报纸广告费y(单位:万元)之间的关系为R(x,y)=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2，(1)假设广告费用不设限，求最正确广告策略.(2)假设广告费用总预算是2万元，分别用求条件极值和无条件极值的方法求最正确广告策略.解：(1)得唯一驻点(1.5,1).由此可知，当电视广告费为1.5万元，报纸广告费为1万元时，广告策略最正确。(2)问题是在约束条件x+y=2(x>0，y>0)下，函数R(x,y)=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2的条件极值问题.令由解得x=0.75,y=1.25.由此可知，当电视广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元时，广告策略最正确。由x+y=2，可得y=2-x,代入R得R(x,y)=-4x2+6x+39令.因此y=1.25.复习题7〔A〕1.设，且y=1时，z=x则,.解：由y=1时，z=x，得令，.2.设，则1,0.解：3.设,,则.解：令而故4.设,其中f,g具有二阶连续偏导数,则.解：所以0.5.假设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数存在，则在该点处函数(D)A有极限 B连续C可微D以上三项都不成立解：因为偏导数存在，不能推出极限存在，所以ABC三项不一定正确.6.偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续的(D)A充分条件 B必要条件C充要条件 D即非充分也非必要条件解：同5.7.设函数f(x,y)=1－x2+y2,则以下结论正确的选项是(D)A点(0,0)是f(x,y)的极小值点 B点(0,0)是f(x,y)的极大值点C点(0,0)不是f(x,y)的驻点 Df(0,0)不是f(x,y)的极值8.求以下极限：(1)；(2).解：(1)因为所以(2)=09.设u=e3x－y，而x2+y=t2,x－y=t+2,求.解：由x2+y=t2,x－y=t+2,可得所以.因此，.令故10.设z=f(x,y)由方程xy+yz+xz=1所确定,求解：两边同时对x求偏导，得.11.设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足，又,试证.证：则所以.12.求函数f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值.解：先解方程组得驻点为(0,1).在点(0，1)处,Δ=AC-B2=6×1-0>0,又A>0,所以函数在(0，1)处有极小值f(0，1)=0.〔B〕1.设z=e－x+f(x－2y)，且y=0时，z=x2,则.解：令所以2.设f(x,y,z)=exyz2，其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则.解：故因此.3.设,则.解：，所以4.设,,其中f,g具有二阶连续偏导数,则.解：.5.函数在点(0,0)处的偏导数存在的情况是(C).Afx(0,0)，fy(0,0)都存在Bfx(0,0)存在，fy(0,0)不存在Cfx(0,0)不存在，fy(0,0)存在Dfx(0,0)，fy(0,0)都不存在解：6.设f(x,y),g(x,y)均为可微函数，且gy(x,y)≠0，(x0,y0)是f(x,y)在约束条件g(x,y)=0下的一个极值点，以下结论正确的选项是(D)A假设fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)=0B假设fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)≠0C假设fx(x0,y0)≠0,则fy(x0,y0)=0D假设fx(x0,y0)≠0,则fy(x0,y0)≠0解：作拉格朗日函数，则有，.由于gy(x,y)≠0，所以当fx(x0,y0)≠0，因此，从而fy(x0,y0)≠0.7.设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数，且z=z(x,y)是由xex－yey=zez所确定的隐函数，求du.解：由xex－yey=zez可得.因此.8.设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数，且y=y(x),z=z(x)分别由以下两式确定：，求.解：由由.故.9.设z=z(x,y)由方程x2+y2－z=g(x+y+z)所确定，其中g具有二阶连续偏导数且g′≠－1.(1)求dz;(2),求解：(1),两边分别同时对x、y求偏导得因此(2),10.求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小值.解：由.因此，问题转化为求下的极值问题.令,，.解得:因此,又所以最大值为72，最小值为6.习题8-11.设有一平面薄片，在xOy平面上形成闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为μ(x,y)，且μ(x,y)在D连续，试用二重积分表示该薄片的质量.解：.2.试比拟以下二重积分的大小：(1)与，其中D由x轴、y轴及直线x+y=1围成；(2)与，其中D是以A(1,0)，B(1,1)，C(2，0〕为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D内，，.(2)在D内，,习题8-21.画出积分区域，并计算以下二重积分：(1)，其中D为矩形闭区域：；(2)，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域；(3),其中D是由直线y=2,y=x,y=2x所围成的闭区域；(4),其中D是半圆形闭区域:x2+y2≤4,x≥0；(5),其中D为:0≤x≤4,1≤y≤e；(6)其中D是由曲线所围成的闭区域.解：(1)(2)(3)(4)因为被积函数是关于y的奇函数，且D关于x轴对称，所以(5).(6).2.将二重积分化为二次积分〔两种次序〕其中积分区域D分别如下：(1)以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域；(3)由直线y=x,x=2及双曲线所围成的闭区域；(4)由曲线y=x2及y=1所围成的闭区域.解：(1)(2)(3)(4)3.交换以下二次积分的积分次序：(1)；〔2〕；(3)；(4).解：(1).(2)(3)(4).4.求由平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体体积.解：5.求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及曲面x2+y2=6－z截得的立体体积.解：习题8-31.画出积分区域，把二重积分化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1)x2+y2≤a2(a>0)；(2)x2+y2≤2x；(3)1≤x2+y2≤4；(4)0≤y≤1－x,0≤x≤1.解：(1)(2)(3)(4)2.把以下积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1)；(2)解：(1).(2)3.在极坐标系下计算以下二重积分：(1),其中D是圆形闭区域:x2+y2≤1；(2),其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)，其中D是由圆周x2+y2=1,x2+y2=4及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域；(4)其中D由圆周x2+y2=Rx(R>0)所围成.解：(1)(2).(3)(4).4.求由曲面z=x2+y2与所围成的立体体积.解：两条曲线的交线为x2+y2=1，因此，所围成的立体体积为：习题8-41.计算反常二重积分，其中D：x≥0,y≥x.2.计算反常二重积分，其中D：x2+y2≥1.解：1.所以2.由，得复习题8〔A〕1.将二重积分化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D是：(1)︱x︱≤1,︱y︱≤2;(2)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成.解：(1)(2)2.交换以下两次积分的次序：(1);(2);(3)．解：(1).(2).(3).3.计算以下二重积分：(1)，D:︱x︱≤1,︱y︱≤1;(2),D由直线y1,x2及yx围成；(3),D由yx和yx３围成；(4)，D:︱x︱︱y︱≤1;(5)，D由与yx围成；(6)，D是圆域x2＋y2≤R2；解:(1).(2).(3).(4).(5).(6).4.反常二重积分收敛，求其值．其中D是由曲线y=4x2与y=9x2在第一象限所围成的区域．解：设则.所以.5.计算．解：由第四节例2以及是偶函数，可知.6.求由曲面z=0及z=4-x2-y2所围空间立体的体积．解：曲面z=0和z=4-x2-y2的交线为x2+y2=4.因此，所围空间立体的体积为：.7.曲线y=lnx及过此曲线上点(e，1〕的切线．(1)求由曲线y=lnx，直线和y=0所围成的平面图形D的面积；(2)求以平面图形D为底，以曲面z=ey为顶的曲顶柱体的体积．解：(1).(2).〔B〕1.交换积分次序：(1)；〔2〕；(3)；(4).解：(1).(2).(3).(4).2.计算积分.解：.3.计算积分.解：令,则原式.4.设函数f(x)在区间上连续，且，求.解：设..5.计算，其中D是由直线y=0,y=1及双曲线x2－y2=1所围成的闭区域.解：.6.计算.解：.7.证明，其中n为大于1的正整数.证：习题9-11.判定以下级数的收敛性：(1);(2);(3);(4);(5);(6)．解：〔1〕，则，级数发散。〔2〕由于，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。〔3〕，则，级数发散。〔4〕因而不存在，级数发散。〔5〕级数通项为，由于，不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。〔6〕级数通项为，而不存在，级数发散。2.判别以下级数的收敛性，假设收敛则求其和：(1)；(2);(3);(4)．解：〔1〕因为所以该级数的和为即〔2〕由于，则所以该级数的和为即〔3〕级数的通项为，由于，不满足级数收敛的必要条件，所以原级数发散。〔4〕由于因而不存在，原级数发散。习题9-21.判定以下正项级数的敛散性：(1);(2)；(3)(a＞0);(4)；(5)；(6);(7);(8)；(9)；(10);(11);(12)．解：〔1〕由于，而级数收敛，由比拟判别法知收敛。〔2〕因为，而p-级数收敛，由比拟判别法的极限形式知收敛。〔3〕假设，通项，级数显然发散；假设，有，不满足级数收敛的必要条件，级数发散；假设，有，而级数收敛，由比拟判别法知收敛。〔4〕因为，而p-级数收敛，由比拟判别法的极限形式知收敛。〔5〕通项，则，所以由比值判别法知，级数发散。〔6〕通项，则，所以由比值判别法知，级数发散。〔7〕通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。〔8〕通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。〔9〕通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。〔10〕通项，则，所以由根值判别法知，级数收敛。〔11〕由于，而级数收敛，由比拟判别法推论知级数收敛。〔12〕对于级数，因为，由比值判别法知级数收敛；由于，而级数收敛，由比拟判别法知，级数收敛。习题9-31.判定以下级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：(1);(2);(3);(４);(5)；(6);(7);(8)(0＜x＜π)．解：〔1〕这是一个交织级数，,且，．由莱布尼兹判别法知收敛．但发散，故条件收敛。〔2〕由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。〔3〕由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。〔4〕由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。〔5〕由于级数和级数都绝对收敛，所以绝对收敛。〔6〕当n充分大时，除去级数前面有限项，这是一个交织级数，,且有，．由莱布尼兹判别法知收敛．但发散〔〕，故条件收敛。〔7〕由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。〔8〕因为，当时，，故得到所以级数的局部和数列当时有界，而数列单调递减趋于零，由狄利克雷判别法推得级数收敛。2.设级数及都收敛，证明级数及也都收敛．证：由于级数及都收敛，则级数收敛。因为，所以由比拟判别法知级数收敛，即级数绝对收敛。习题9-41.求以下幂级数的收敛域：(1)；(2)；(3)；(4)．(5)；(6)．解：〔1〕因为，故收敛半径当时，原级数显然发散。因此，原级数的收敛域为。〔2〕因为，故收敛半径。当时，原级数为，由于，即，级数不满足级数收敛的必要条件，因此原级数发散；当时，原级数为，同样不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。因此，原级数的收敛域为。〔3〕因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数收敛；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。〔4〕令，则，于是，当，即时，原级数绝对收敛；当，即时，原级数发散；故原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时原级数收敛；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。〔5〕因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数发散；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。〔6〕因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数发散；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。2.求以下幂级数的和函数：(1)；(2)．解：〔1〕所给幂级数收敛半径为，收敛区间为。因为，在区间内成立，则所以。〔2〕3.求以下级数的和：(1)；(2)．解：〔1〕由于则。所以〔2〕因为所以。习题9-51.将以下函数展开成x的幂级数：(1);(2)；(3);(4)；(5)．(6)解：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕〔6〕因为；而所以2.将以下函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间：(1)，在x0＝１；(2)cosx,在x0=;(3)，在x0=1;(4)，在x0＝３．解：〔1〕；〔2〕〔3〕〔4〕因为；所以习题9-61．利用幂级数的展开式求以下各数的近似值：(1)(误差不超过0.0001)；(2)ln3(误差不超过104)；(3)(误差不超过105).解：〔1〕由二项展开式，，取可得.取前两项的和作为的近似值，其误差为故取近似值为〔2〕由于令解出，以代入上面的展开式得，取前六项作为的近似值，则误差为所以。〔3〕由于；则，取前两项的和作为的近似值，其误差为，所以。2.计算的近似值，准确到10.解：由于，则取前三项的和作为近似值，则其误差为，故所求近似值为。3．假定银行的年存款利率为5%，假设以年复利计算利息，某公司应在银行中一次存入多少资金才能保证从存入之日起，以后每年能从银行提取300万元作为职工的福利直至永远.解：第一次福利发放在创立之日，第一次所需要筹集的资金(单位：百万元)=3；第二次福利发放在一年后，第二次所需要筹集的资金(单位：百万元)；第三次福利发放在二年后，第三次所需要筹集的资金(单位：百万元)；一直延续下去，则总所需要筹集的资金(单位：百万元)=这是一个公比为的等比级数，收敛于。因此，以年复利计算利息时，该公司需要在银行中一次存入6300万元资金。复习题9〔A〕1.判别以下正项级数的敛散性：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.解：〔1〕由于，而调和级数发散，所以原级数发散；〔2〕由于，而调和级数发散，所以原级数发散；〔3〕由于，而级数收敛，所以原级数收敛；〔4〕因为，所以原级数收敛。2.设正项级数都收敛，试证明级数也收敛.证：由于正项级数收敛，由级数收敛的必要条件有，那么存在充分大的正整数，使得当时，成立，于是当时，。则由比拟判别法的推论，可知级数也收敛。同理，可证得级数也收敛。由于，而级数收敛，因此级数绝对收敛。因为，等式左边三个级数都收敛，所以级数收敛。3.判别以下级数:是绝对收敛?条件收敛?还是发散〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.解：〔1〕这是一个交织级数，,且，．由莱布尼兹判别法知收敛．但发散，故条件收敛。〔2〕因为，所以原级数绝对收敛；〔3〕因为不存在，即原级数不满足级数收敛的必要条件，故原级数发散；〔4〕因为，所以原级数绝对收敛；4.求以下幂级数的收敛域：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕.解：〔1〕由于，则原级数收敛半径为，显然原级数只在收敛；〔2〕由于，则原级数收敛半径为，显然原级数的收敛域为；〔3〕由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数发散；当时，原级数为，此时级数收敛。因此，原级数的收敛域为。〔4〕由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数发散；当时，原级数为，此时级数收敛。因此，原级数的收敛域为。〔5〕〕由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，级数发散；当时，原级数为，级数发散。因此，原级数的收敛域为。〔6〕由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数收敛；当时，原级数为，此时级数收敛。因此，原级数的收敛域为。5.求以下幂级数的收敛域及和函数：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.解：〔1〕由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数发散；当时，原级数为，此时级数发散。因此，原级数的收敛域为。级数的和为〔2〕由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数发散；当时，原级数为，此时级数发散。因此，原级数的收敛域为。级数的和为〔3〕由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数发散；当时，原级数为，此时级数发散。因此，原级数的收敛域为。级数的和为〔4〕由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数收敛；当时，原级数为，此时级数收敛。因此，原级数的收敛域为。由于，而所以6.将以下函数展开成x的幂级数：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕.解：〔1〕；〔2〕；〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕7.求以下函数在指定点处的幂级数展开式：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕〔2〕(B)1.讨论级数的敛散性.解：由于，由比值判别法知，原级数收敛。2.正项级数收敛，证明级数也收敛.反之，假设收敛，是否一定收敛证：由于正项级数收敛，由级数收敛的必要条件有，那么存在充分大的正整数，使得当时，成立，于是当时，。则由比拟判别法的推论，可知级数也收敛。反之，假设收敛，则不一定收敛。例如，级数收敛，但调和级数发散。3.级数收敛，证明级数绝对收敛.证：由柯西不等式，有，亦即，令，，，分别是级数、和的局部和。由上式，可知成立。由于级数和收敛，那么局部和数列和收敛，因此数列和有界。而，所以正项级数的局部和数列单调有界。由数列的单调有界定理，可知极限存在，所以级数收敛，亦即级数绝对收敛。4.求幂级数的收敛半径和收敛域.解：原级数，则，级数的收率半径为。当时，原级数为，此时级数收敛；当时，原级数为，此时级数发散。因此，原级数的收敛半径为，收敛域为。5.将函数展开为x的幂级数，并求其收敛域.解：由于，而；所以6.利用幂级数展开式求以下级数的和：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕由于；所以〔2〕由于所以7.利用级数敛散性，证明，其中，c>1是常数。证：由于；则对于任意常数，级数收敛。由级数收敛的必要条件，可知。8.设数列有界，证明级数收敛.证：由于数列有界，则存在正数，使得对于数列的任意项，成立，亦即。那么对于任意，成立；由于是常数，显然级数收敛。因此，由比拟判别法可知级数收敛。习题10-11.指出以下方程的阶数：(1)．(2)．(3)．(4)．解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶2.验证以下给出的函数是否为相应方程的解：(1),．(2),．(3)，．(4)，．解：(1)是，代入即可.(2)是，代入即可；(3)是，因为，满足；(4)是，代入，，显然满足.3.验证:函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程的通解.解：满足，所以是解，又因为含有两个任意常数，且方程是二阶的，故是通解.4.函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程的通解,求满足初始条件x|t02x|t00的特解.解：上题可知是微分方程通解，且代入初值条件，得，所以特解为习题10-21.求以下微分方程的通解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．解：(1)这是可别离变量方程，别离变量得两端分别积分：这就是方程通解.(2)这是可别离变量方程，别离变量得两端分别积分：即这就是方程通解.(3)这是可别离变量方程，别离变量得两端分别积分：即这就是方程通解.(4)这是可别离变量方程，别离变量得两端分别积分：即这就是方程通解.(5)这是齐次方程，令则代入原方程并整理两端分别积分：即这就是方程通解.(6)这是齐次方程，化简得令则代入原方程并整理，两端分别积分：即这就是方程通解.(7)这是齐次方程，化简得令则代入原方程并整理，两端分别积分：即这就是方程通解.(8)这是特殊方程，用换元法，令则代入原方程并整理，两端分别积分：即这就是方程通解.2.求以下微分方程满足所给初始条件的特解：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．解(1)别离变量：．两端分别积分：．解得：．将代入通解中，求得．故所求特解为．(2)别离变量：．两端分别积分：．将代入通解中，求得．故所求特解为．(3)这是齐次方程,令则代入原方程并整理两边积分得即变量回代得所求通解由代入通解，得，故所求初值问题的解为3.一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，且通过点(1,2)，求该曲线方程.解：设曲线方程为：由题意可得方程:,且，解别离变量方程得：,由得，故所求曲线为：.4.物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间t解设物体的温度与时间的函数关系为建设该问题的数学模型:其中为比例常数.下面来求上述初值问题的解.别离变量,得两边积分得(其中为任意常数)，即(其中).从而再将条件(2)代入,得于是，所求规律为习题10-31.求以下微分方程的通解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)解(1)这是一阶线性非齐次方程，其中．首先求出(积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为．(2)这是一阶线性非齐次方程，其中．首先求出(积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为．(3)这是一阶线性非齐次方程，其中．首先求出(积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为．(4)将x看作y的函数，即对进展求解，可将原方程化为未知函数为的线性方程，于是，．首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解为.(5)将x看作y的函数，即对进展求解，可将原方程化为未知函数为的线性方程，于是，．首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解为.(6)令则代入原方程并整理两边积分得变量回代得所求通解2.求解以下初值问题：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，.解(1)这是一个齐次线性方程,整理得，其通解为，将初始条件代入上式，可得，故所求特解为．(2)这是一阶线性非齐次方程，其中．首先求出(积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为将初始条件代入上式，可得，故所求特解为．(3)将x看作y的函数，即对进展求解，可将原方程化为未知函数为的线性方程，于是，．首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解为.将初始条件代入上式，可得，故所求特解为．(4)这是伯努利方程，以除方程的两端,得即令则上述方程变为解此线性微分方程(过程略)，可得，得所求通解为，将初始条件代入上式，可得，故所求特解为．3.通过适当变换求以下微分方程的通解：(1)；(2).解(1)令则原方程化为.别离变量,得，两端积分得以代入上式,得通解.(2)这是伯努利方程，其中，则有公式得通解4.求过原点的曲线，使其每一点的切线斜率等于横坐标的2倍与纵坐标之和.解：由题意可得方程，这是一阶非齐次线性方程，其中，然后用公式(10-6)可得所求通解为.习题10-41.求以下微分方程的通解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)解：(1)(2),(3)该方程是不显含y的方程，令，则.原方程化为一阶方程．别离变量，得.两边积分得:再积分一次即得原方程的通解为．(4)该方程是不显含y的方程，令，则.原方程化为一阶方程．整理，得，这是一阶非齐次线性方程，解得再积分一次即得原方程的通解为．(5)该方程是不显含x的方程，令，则,原方程化为．别离变量得．两边积分得：．再由，解得．(6)该方程是不显含x的方程，令，则,原方程化为．得．解得：可解得通解为：．2.求解以下初值问题：(1),；(2)；(3)，.解(1)相继积分三次得出:，，，以代入后可得出，于是所求特解为．(2)令代入方程并整理,有这是一阶线性非齐次方程，代入公式，得由条件得所以两端再积分,得又由条件得于是所求初值问题的解为(3)令由代入方程并化简得上式为可别离变量的一阶微分方程，解得再别离变量,得由初始条件得出从而得再两边积分,得,，得从而所求特解为.3.平面曲线的曲率为,求具有常曲率的曲线方程.解：由题意得方程，令代入方程,有即解之，得习题10-51.以下函数组在其定义区间内哪些是线性无关的(1)(2)；(3)，； (4).解：(1)无关；(2)无关；(3)无关；(4)无关.2.验证与是方程的线性无关解，并写出其通解.解：当，，，代入满足方程；当，，，代入也满足方程；另外，，是线性无关的〔由定义可知〕，方程的通解为：.3.求以下微分方程的通解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6);(7)；(8).解：(1)特征方程的根为：,通解为；(2)特征方程的根为：,通解为；(3)特征方程的根为：,通解为；(4)特征方程的根为：,通解为；(5)特征方程的根为：,通解为；(6)特征方程的根为：,通解为；(7)特征方程的根为：,齐次通解为；可以看成是与之和．所以分别求方程与方程的特解．容易求得方程的一个特解为：．按例9的方法可求得方程的一个特解为：．于是原方程的一个特解为＝．故原方程的通解为=.(8)为型的函数，且，，是特征方程的根，所以取．设特解为．．．代入原方程，得．比拟两端与的系数，得，故原方程的特解为．而对应齐次方程的通解为.于是原方程的通解为＋．4.求解以下初值问题：(1)y|x04、y|x02；(2),解：(1)特征方程的根为：,通解为；代入初值条件，得，方程特解为.(2)特征方程的根为：,通解为；代入初值条件，得，方程特解为.5.求以下微分方程的一个特解：(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)因为，且y的系数，设特解为．则，，代入原方程，得，使两端x同次幂的系数相等：,所求的特解为．(2)因为，且y的系数，设特解为．则，，代入原方程，使两端x同次幂的系数相等得，,所求的特解为．(3)是特征方程的重根，取，所以可设原方程的特解为，则，代入原方程得解得，故方程有一特解为.(4)可以看成是与之和．所以分别求方程与方程的特解．容易求得方程的一个特解为：．另求得方程的一个特解为：．于是原方程的一个特解为＝．习题10-61.求以下函数的一阶与二阶差分：(1)yt=3t2-t3；(2)yt=e2t；(3)yt=lnt；(4)yt=t2·3t.解：(1),；(2),，(3),(4),2.将差分方程Δ2yt+2Δyt=0表示成不含差分的形式.解：因为，，故可化为3.指出以下等式哪一个是差分方程，假设是，确定差分方程的阶：(1)yt+5-yt+2+yt－1=0;(2)Δ2yt-2yt=t；(3)Δ3yt+yt=1；(4)2Δyt=3t-2yt；(5)Δ2yt=yt+2-2yt+1+yt.解：(1)是差分方程.由于方程中未知函数下标的最大差为6，因此方程的阶为7；(2)是差分方程.由于，方程变为，方程中未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；(3)是差分方程.由于Δ3yt，方程变为，未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；(4)将原方程变形为2(yt+1-yt)=3t-2yt，即2yt+1=3t,不符合定义3′，因此，该等式不是差分方程.(5)不是差分方程.由于，方程变为，所以不是差分方程.4.验证yt=C(-2)t是差分方程yt+1+2yt=0的通解.解：，所以是解，又方程的阶数是1，所以是通解.习题10-71.求以下一阶常系数线性齐次差分方程的通解：(1)yt+1-2yt=0；(2)yt+1+3yt=0；(3)3yt+1-2yt=0.解：(1)特征方程为：λ-2=0,特征根为λ=2，于是原方程的通解为yt=C2t.(2)特征方程为：λ+3=0,特征根为λ=-3，于是原方程的通解为yt=C(-3)t.(2)特征方程为：3λ-2=0,特征根为，于是原方程的通解为2.求以下差分方程在给定初始条件下的特解：(1)yt+1-3yt=0，且y0=3；(2)yt+1+yt=0，且y0=-2.解(1)特征方程为,特征根为，于是原方程的通解为将初始条件y0=3代入，得出C=3，故所求解为(2)特征方程为,特征根为，于是原方程的通解为将初始条件y0=-2代入，得出C=-2，故所求解为3.求以下一阶常系数线性非齐次差分方程的通解：(1)yt+1+2yt=3；(2)yt+1-yt=-3；(3)yt+1-2yt=3t2；(4)yt+1-yt=t+1;(5)；(6)yt+1+2yt=t2+4t.解(1)由于a=-2，k=3，令y*t=A(待定系数)，代入方程得A+2A=3，从而A=1，即y*t=1，故原方程的通解为yt=C(-2)t+1(2)由于a=1，k=-3，令y*t=At(待定系数)，代入方程得A=-3，即y*t=-3t，故原方程的通解为yt=-3t+C.(3)设y*t=A0+A1t+A2t2为原方程的解，将y*t代入原方程并整理，比拟同次幂系数,可得A0=-9，A1=-6，A2=-3.从而,故原方程的通解为(4)由于a=1,设y*t=(A0+A1t)t为原方程的解，将y*t代入原方程并整理，比拟同次幂系数,可得,从而,故原方程的通解为(5)由，令原方程有一个特解为，解得.于是原方程的通解为(6)设f1(t)=t2，f2(t)=4t，则f(t)=f1(t)+f2(t).对于f1(t)=t2，因a=-2≠1，可令特解y*t1=A0+A1t+A2t2；对于f2(t)=4t，因a=-2≠4，可令y*t2=B4t故原方程的特解可设为y*t=A0+A1t+A2t2+B4t，代入原方程，得，于是，故所求通解为4.求以下差分方程在给定初始条件下的特解：(1)yt+1-yt=3+2t，且y0=5；(2)2yt+1+yt=3+t，且y0=1;(3)yt+1-yt=2t-1，且y0=2.解(1)由于a=1,设y*t=(A0+A1t)t为原方程的解，将y*t代入原方程并整理，比拟同次幂系数,可得,从而,故原方程的通解为又有初始条件y0=5，可知，故特解为(2)由于,设y*t=A0+A1t为原方程的解，将y*t代入原方程并整理，比拟同次幂系数,可得,故原方程的通解为又有初始条件y0=1，可知，故特解为(3)由a=1可知，对应的齐次方程的通解为yt=C.设f1(t)=2t，f2(t)=-1，则f(t)=f1(t)+f2(t).对于f1(t)=2t，因a=1≠3，可令y*t1=A2t；对于f2(t)=-1，因a=1，可令y*t2=Bt.故原方程的特解可设为y*t=A2t+Bt，代入原方程，得,故所求通解为又有初始条件y0=2，可知,故特解为.5.某人向银行申请1年期的贷款25000万元，约定月利率为1%，方案用12个月采用每月等额的方式还清债务，试问此人每月需付还银行多少钱假设记yt为第t个月后还需归还的债务，a为每月的还款额，写出yt所满足的差分方程以及每月还款额的计算公式.解先对问题的进展分析，第1个月后还需归还的贷款为y1=y0(1+1%)-a;第2个月后还需归还的贷款为y2=y1(1+1%)-a;……第t+1个月后还需归还的贷款为yt+1=yt(1+1%)-a，即yt+1-1.01yt=-a.这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程，其对应的齐次方程的特征根为λ=1.01≠1，设差分方程有特解y*t=A，代入得到，于是有通解.代入初始条件y0=25000，及得，从上面的等式解得.6.设某产品在时期t的价格、供应量与需求量分别为Pt，St与Qt(t=0，1，2，…).并满足关系：(1)St=2Pt+1，(2)Qt=-4Pt－1+5，(3)Q求证：由(1)(2)(3)可推出差分方程Pt+1+2Pt=2.假设P0，解由题意可得2Pt+1=-4Pt－1+5，即2Pt+1=-4Pt+4，得容易求得方程的特解为：，方程的通解为：,,故所求差分方程的解为7.设Ct为t时期的消费，yt为t时期的国民收入，I=1为投资(各期一样)，设有关系式Ct=ayt－1+b，yt=Ct+1，其中a，b为正常数，且a<1，假设基期(即初始时期)的国民收入y0为，试求Ct，yt表示为t的函数关系式.解由Ct=ayt－1+b，yt=Ct+1，得，又因为a<1，故可设特解为，代入得，所以方程的通解为，,故所求差分方程的解为，从而.复习题10〔A〕1.通解为y=Ce-x+x的微分方程是.解方程是一阶的，，方程为.2.通解为y=C1ex+C2e2x的微分方程是.解易见这是二阶常系数方程的解，特征根为,特征方程为所以微分方程为.3.微分方程xdy-(x2e－x+y)dx=0的通解是.解方程可化为，通解为.4.微分方程xy′+y=0满足初始条件y(1)=1的特解是.解别离变量得，通解为，初始条件y(1)=1特解为5.设非齐次线性