专题20重要结论应用（教师版）

专题20重要结论应用等差数列和等比数列是两种基本数列，等差中项性质等差数列和等比数列是两种基本数列，等差中项性质是高考的热点，大部分数列应先转化为等差、等比的递推关系式，再求通项和前n项和Sn商数关系和公式taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)是解决三角函数分式问题的两个常用公式，统一角、统一名称解三角题的最终目的。圆锥曲线的切线和切点弦问题是近几年的高考热点，应记忆圆锥曲线在点P0(x综合单调性、对称性和周期性的函数题是近几年的高考的热点，这类问题可类比三角函数，画出图像，迎刃而解。——长郡中学高级教师廖喜全——高级教师探究1：数列常用结论【典例剖析】例1.(2022·北京卷){an}和{bn}是两个等差数列，其中akbk(1≤k≤5)为一固定常数值，aA.32 B.48 C.64 D.128选题意图:选题意图:高考对数列的考查以基础知识为主,本题主要考查等差数列的性质.考查学生简单的运算求解能力.思维引导：结合题意和等差数列的性质进行求解即可.【解析】由题意可得a1b1=a5b5，其中a1=288，a5=96，b1=192，解得b5=64【变式训练】练11(2022·山西省沂州市联考)设等差数列{an},{bn}的前n项和分别是Sn,【解析】由等差数列的性质可知：a3+a9=2a6，

由等差数列前n故答案为23练12(2022·天津市模拟)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}b1+b6+A.1 B.22 C.-2【解析】在等差数列{bn}中，由b1+b6在等比数列{an}中，由a2a6a10=33，得a6【规律方法】1.通项性质:若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N则对于等差数列，有am+a2.前n项和的性质：(1)对于等差数列有Sm对于等比数列有Sm,S2m-Sm,S(2)对于等差数列，有S2n-1探究2：三角函数常用结论【典例剖析】例2.(2021·新高考1卷)若tanθ=-2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosA.-65 B.-25选题意图：选题意图：高考真题,以齐次式为背景依托，考查学生对问题本质的理解，此题既可以分情况讨论，也可以利用倍角公式将已知条件转化为熟悉的结构，还可以直接齐次化处理，将分子和分母都变为二次式，给了学生更多灵活处理的空间.思维引导：由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征将其“弦化切”即可求得三角函数式的值.【解析】由题意可得：sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin【变式训练】练21(2022·河北省唐山市联考)已知α，β∈(0,π2)，且1+sinA.2α=β B.α=β C.α+β=π2【解析】由题意得tan⁡(α+π4)=因为α,β∈0,π2，所以π所以α+π4=π4+练22(2022·湖南省长沙市联考)已知θ为三角形的内角，且sin2θ=sin2θ，则sin【解析】因为θ为三角形的内角，且sin2θ=sin2θ，

所以2sinθcosθ=sin2θ，sinθ≠0，所以2cosθ=sinθ，可得tanθ=2，

sinθ(1-cos2θ)sinθ+A.12 B.-12 C.【解析】∵由sinα=-35，α∈(π,3π2)，∴可得cosα=-4练24(2022·四川省泸州市模拟)已知cos(π+θ)=13，若θ是第二象限角，则tanA.22 B.2 C.-2【解析】由cos(π+θ)=13，得-cosθ=13，即cosθ=-13，

又θ是第二象限角，【规律方法】1.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2)).(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).(3)taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).2.升幂公式：1-cos2α=2sin2α;1+cos2α=2co3.降幂公式：sinα∙cosα=12sin2α4.关于sinα,cosα分式齐次式：将分子、分母同时除以cosα,将其转化为关于tanα的式子进行求解.若为二次齐次式,则分子、分母同时除以cos2整式齐次式：将原式看作分母为1的表达式,把1换成sin2α+cos2α探究3：解析几何常用结论【典例剖析】例3.(2022·江苏省泰州市期中)已知椭圆C:x22+y2=1，点P为直线x+y=2上一动点，过点P向椭圆作两条切线PA、PB，A、B选题意图：选题意图：最新模考题,本题考查椭圆的简单性质,椭圆的切线方程,圆锥曲线中定点问题.可直接利用椭圆切线方程的二级结论快速答题.考查了数学抽象、数学运算的核心素养.思维引导：根据椭圆的切线方程的结论可得A、B都在直线x02x【解析】设P(x0,y0)，则x0+y0=2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则切线PA的方程为x0x12+y【变式训练】练31(2022·湖南省衡阳市模拟·多选)圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x2-y22=1的左、右焦点，点P为C在第一象限上的点，点M在F1P延长线上，点Q的坐标为A.|PF1||PF2|=2B.|PF1【解析】由已知可得PQ是双曲线的一条切线，设点P(x0y0)，则切线PQ为x0x-y0y2=1，

将点Q(33,0)代入切线方程可得：x0=3，所以P(3,2)，即点P到x轴的距离为2.所以C错误；

又双曲线的方程可得F2(3即倾斜角为150°，即选项D正确：

故选：AD．

练32(2022·江苏省镇江市联考)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0，抛物线C2:y2=4x，且CA.12 B.32 C.1【解析】设切点为Px0,y0则抛物线在P处的切线斜率k1=x0-12，且y0=2x0，

依题意过点Px0,y0椭圆的切线斜率存在，

设切线方程为y=kx+t，联立椭圆方程x2a2+y2b2=1，可得b2x2+a2(kx+t)2=a2b2，

化简可得：(b2+a2k2)x2+2【规律方法】1.若在椭圆x2a2+y2.若P0(x0,y3.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b4.若P0(x0,y0)在双曲线x2则切点弦P1P2探究4：函数常用结论【典例剖析】例4.(2022·全国乙卷理科)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5，g(x)-f(x-4)=7，若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122f(k)=A.-21 B.-22 C.-23 D.-24选题意图：选题意图：高考真题,试题以两个抽象函数为载体,通过考查函数的奇偶性、对称性和周期性培养学生的逻辑推理能力、运算求解能力,以及灵活的分析问题、转化问题、解决问题的能力.思维引导：试题的基本条件主要是针对函数g(x)给出的,但设问是对函数f(x【解析】若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，则g(2-x)=g(2+x)，因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(-x)+g(2+x)=5，故f(-x)=f(x)，f(x)为偶函数.由g(2)=4，f(0)+g(2)=5，得f(0)=1.由g(x)-f(x-4)=7，得g(2-x)=f(-x-2)+7，

代入f(x)+g(2-x)=5，得f(x)+f(-x-2)=-2，f(x)关于点(-1,-1)中心对称，所以f(1)=f(-1)=-1.由f(x)+f(-x-2)=-2，f(-x)=f(x)，得f(x)+f(x+2)=-2，所

以f(x+2)+f(x+4)=-2，故f(x+4)=f(x)，f(x)周期为4.由f(0)+f(2)=-2，得f(2)=-3，又f(3)=f(-1)=f(1)=-1，所以k=122故选：D．【变式训练】练41(2021·新高考2卷)设函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则

(

)A.f-12=0 B.f(-1)=0【解析】因为函数fx+2为偶函数，则f2+x=f因为函数f2x+1为奇函数，则f1-2x=-f所以，f(x+3)=-f(x+1)，即f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，故函数fx是以4因为函数Fx=f2x+1故f-1故选B．练42(2022·辽宁省抚顺市一模)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)-f(2)，若y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称，且对任意的，x1,x2∈[0,2]，当x1≠A.1f(-3)<1f(4)<1【解析】因为f(x)是定义在实数集R上的函数，且y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称，

则函数y=f(x)的图象关于x=0对称，所以函数y=f(x)是偶函数，

又对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)-f(2)，

令x=-2，则f(2)=f(-2)-f(2)=f(2)-f(2)=0，所以对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)，

即得函数y=f(x)是以4为周期的偶函数，

所以f(-3)=f(-3+4)=f(1)，f(4)=f(0)，f(112)=f(112-4)=f(32)，

因为对任意的x则当x∈[0,2]时，y=f(x)为增函数，

因为0<1<32<2即得f(4)<f(-3)<f(112)<0，所以1f(【规律方法】1.常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果fx+a=－f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数(2)如