第16讲应用二元一次方程组六大类型（知识解读题型精讲随堂检测）

第16讲应用二元一次方程组六大类型一、二元一次方程的解题步骤步骤1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；4．解方程组；5．检验：检验方程的根是否符合题意；6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．二、基本公式单价×数量=总价利润=实际售价成本实际售价=标价（原价）×折扣利润率=×100【题型1：鸡兔同笼问题】【典例1】（2023春•福清市期末）小明同学仿照我国古代经典的“鸡兔同笼”问题给小石同学出了一道题目：“今有鸡兔同笼，上有十二头，下有四十足，问鸡兔各几何？”．若小石同学设笼中有鸡x只，兔y只，则根据题意可列方程组为．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意可列方程组为：．故答案为：．【变式11】（2023•余姚市校级模拟）“鸡兔同笼”是我国古代算术名著《孙子算经》中的第31题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则可以列出关于x、y的二元一次方程组为．【答案】．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．【变式12】（2022秋•成都期末）《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣．其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛，漂洋过海流传到了日本等国．“雉兔同笼”题为：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉兔各几何？”设雉（鸡）有x只，兔有y只，则可列方程组为．【答案】．【解答】解：根据题意得：．故答案为：．【题型2：牛羊值金问题】【典例2】（2022•二道区校级模拟）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？“译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：依题意得：．故选：B．【变式21】（2022春•文峰区校级期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《九章算术》卷八方程第七题原文为：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：现有5头牛和2只羊共值10两金子，2头牛和5只羊共值8两金子，那么每头牛，每只羊各值多少两金子？设1头牛值x两金子，1只羊值y两金子，那么，符合题意的方程组是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：设1头牛值x两金子，1只羊值y两金子，由题意可得，，故选：B．【变式22】（2023•大连一模）《九章算术》卷八方程【七】中记载：“今有牛五、羊二，值金十两．牛二、羊五，值金八两．牛、羊各值金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两，2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？若设一头牛值金x两，一只羊值金y两，则可列方程组为．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可得，，故答案为：．【变式23】（2022春•商南县校级期末）《九章算术》卷八方程第七题原文：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五直金八两向牛，羊各直金几何？”题目大意：现有5只牛、2只羊，共价值10两.2只牛，5只羊共价值8两，那么每只牛、羊各价值多少？设每只牛、羊价值分别为x两，y两，则可列方程组：．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵5只牛、2只羊，共价值10两，∴5x+2y＝10；∵2只牛，5只羊共价值8两，∴2x+5y＝8．∴所列方程组为．故答案为：【题型3：几何问题】【典例3】（2023春•方城县期中）小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为1mm的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？【答案】小长方形的面积是15mm2．【解答】解：设每个长方形的长为xmm，宽为ymm，由题意，得，解得：．∴小长方形的长为5mm，宽为3mm，∴小长方形的面积＝5×3＝15（mm）2．【变式31】（2023春•伊犁州期末）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：根据图示可得，故选：D．【变式32】（2023春•江源区期末）如图，宽为50cm长方形图案由10个相同的小长方形拼成，求每块小长方形的长和宽分别是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：设每块小长方形的长是xcm，宽是ycm，根据题意得解得答：长是40cm，宽是10cm．【题型4：球赛积分问题】【典例4】（2022秋•安乡县期末）在一次有12个队参加的足球循环赛（每两队之间必须比赛一场）中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场多两场，结果积18分，问该队战平几场？【答案】见试题解答内容【解答】解：设该队胜x场，平y场．则解得．答：该队战平3场．【变式41】（2023•皇姑区开学）甲、乙两人进行射击比赛，他们约定：每射中一发记20分，脱靶一发扣12分．两个人各打10发，共得208分，其中甲比乙多得64分．（1）求甲、乙两人各得多少分（2）求甲、乙两人各射中多少发．【答案】（1）甲得136分，乙得72分；（2）甲射中a发，乙射中b发．【解答】解：（1）设甲得x分，乙得y分，则：，解得：，答：甲得136分，乙得72分；（2）设甲射中a发，乙射中b发，则：20a﹣12（10﹣a）＝136，20b﹣12（10﹣b）＝72，解得：a＝8，b＝6，答：甲射中8发，乙射中6发．【变式42】（2023春•乐山期末）在CBA季后赛的一场焦点大战中，一位球员在比赛中的技术统计如下表所示：技术上场时间（分钟）出手投篮（次）投中（次）罚球得分篮板（个）助攻（次）个人总得分数据403813911840（注：表中出手投篮和投中次数均不包含罚球）根据以上信息，求本次比赛中该运动员投中2分和投中3分的个数．【答案】本次比赛中该运动员投中2分球8个，3分球5个．【解答】解：设本次比赛中该运动员投中2分球x个，3分球y个，由题意得：，解得：，答：本次比赛中该运动员投中2分球8个，3分球5个．【变式43】（2022秋•岳麓区校级期末）足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分．某队踢了17场比赛，负了5场，共得28分，那么这个队胜了多少场？【答案】这个队胜了8场．【解答】解：设这个队共胜了x场．由题意得：3x+（17﹣5﹣x）×1+0＝28，解得：x＝8．答：这个队胜了8场．【题型5：盈不足问题】【典例5】（2023•长岭县一模）《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？设共有x人买鸡，鸡价为y文钱，可列方程组为．【答案】见试题解答内容【解答】解：设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，根据题意得：，故答案为：，【变式51】（2023•渝中区校级一模）在一次设计环保标志的活动中，初三（1）班的同学们积极投稿，班主任王老师准备了若干盒巧克力奖励给本班投稿的同学，若每2位同学奖励一盒巧克力，则少2盒；若每3位同学奖励一盒巧克力，则又多了3盒，设该班投稿的同学有x人，巧克力有y盒，根据题意得方程组（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵每2位同学奖励一盒巧克力，则少2盒，∴x＝2y+2×2；∵每3位同学奖励一盒巧克力，则又多了3盒，∴x＝3y﹣3×3．∴依题意得方程组．故选：C．【变式52】（2023春•通州区期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书．已知购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同．如果设《北上》的单价是x元，《牵风记》的单价是y元．那么根据题意列方程组正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵知购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元，∴x+2y＝80；∵购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同，∴5x＝6y．∴根据题意可列方程组．故选：A．【题型6：经济问题】【典例6】（2022秋•渠县期末）正值春夏换季的时节，某商场用12000元分别以每件120元和60元的价格购进了某品牌衬衫和短袖共140件．（1）商场本次购进了衬衫和短袖各多少件？（2）若该商场以每件180元的价格销售了衬衫总进货量的25%，将短袖在成本的基础上提价20%销售，在销售过程中，有5件衬衫因损坏无法销售，为了减少库存积压，该商场准备将剩下的衬衫在原售价的基础上降价销售，每件衬衫降价多少元，该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到利润25.5%的预期目标．【答案】（1）商场本次购进了衬衫60件，短袖80件；（2）15元．【解答】解：（1）设商场本次购进了衬衫x件，短袖y件，依题意得：，解得：．答：商场本次购进了衬衫60件，短袖80件．（2）设每件衬衫降价m元，依题意得：180×60×25%+（180﹣m）[60×（1﹣25%）﹣5]+60×（1+20%）×80﹣12000＝12000×25.5%，解得：m＝15．答：每件衬衫降价15元，该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到益利25.5%的预期目标．【变式61】（2022春•乳山市期中）某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润＝售价﹣进价），这两种服装的进价、标价如表所示：A种B种进价（元/件）60100标价（元/件）100160（1）这两种服装各购进的件数；（2）如果A中服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店的利润1360元．【答案】（1）A种服装购进50件，B种服装购进30件；（2）1360．【解答】解：（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由题意，得，解得：．答：A种服装购进50件，B种服装购进30件；（2）由题意，得：50×（100×0.8﹣60）+30×（160×0.7﹣100）＝1000+360＝1360（元）．故答案为：1360．【变式62】（2023•鹤城区校级开学）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，预从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元．（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？【答案】（1）每瓶免洗手消毒液价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元；（2）学校选用方案一更节约钱，节约76元．【解答】解：（1）设每瓶免洗手消毒液价格是x元，每瓶84消毒液的价格是y元，由题意得：，解得：，∴每瓶免洗手消毒液价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元，答：每瓶免洗手消毒液价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元；（2）方案一的花费为：（15×100+8×60）×0.8＝1584（元），方案二的花费为：15×100+8×（60﹣×2）＝1660（元），∵1584＜1660，∴方案一更节约钱，节约钱为：1660﹣1584＝76（元），答：学校选用方案一更节约钱，节约76元．【题型7：方案问题】【典例7】（2022春•黄埔区期末）某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型台4000元、C型每台2500元．某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选选择，并说明理由．【答案】①购买A型3台，C型33台；②购买B型7台，C型29台．【解答】解：设购买A型电脑x台，B型y台，C型z台，（1）若购买A型、B型时，由题意，得，没有整数解，不符合题意，舍去；（2）若购买A型、C型，由题意，得，解得：；（3）当购买C型、B型时，由题意，得，解得：．故共有两种购买方案：①购买A型3台，C型33台；②购买B型7台，C型29台．【变式71】（2022春•渝中区校级月考）北京冬奥会，给世界一个温暖的拥抱；北京冬奥会，让世界见证了中国科技和中国智慧；北京冬奥会，让世界记住了一个冬奥明星“冰墩墩”．某商场为了跟上冬奥的脚步，计划用1050元从厂家购进30个冰墩墩产品，已知该厂家生产冰墩墩钥匙扣、冰墩墩手办、冰墩墩挎包三种不同的冰墩墩产品，设冰墩墩手办、冰墩墩挎包应各买入x，y个，其中每个的价格、销售获利如表：冰墩墩钥匙扣冰墩墩手办冰墩墩挎包价格（元/个）254050销售获利（元/个）121520（1）购买冰墩墩钥匙扣（30﹣x﹣y）个（用含x，y的代数式表示）；（2）若商场同时购进三种不同的冰墩墩产品（每种产品至少有一个），恰好用了1050元，则商场有哪几种购进方案？（3）在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？【答案】（1）（30﹣x﹣y）；（2）商场共有3种购进方案，方案1：购买冰墩墩手办15个，冰墩墩挎包3个，冰墩墩钥匙扣12个；方案2：购买冰墩墩手办10个，冰墩墩挎包6个，冰墩墩钥匙扣14个；方案3：购买冰墩墩手办5个，冰墩墩挎包9个，冰墩墩钥匙扣16个；（3）应选择购进方案3，此时获利为447元．【解答】解：（1）∵购买冰墩墩手办x个，冰墩墩挎包y个，∴购买冰墩墩钥匙扣（30﹣x﹣y）个．故答案为：（30﹣x﹣y）；（2）根据题意得：40x+50y+25（30﹣x﹣y）＝1050，∴x＝20﹣y，又∵x，y，（30﹣x﹣y）均为正整数，∴或或，∴商场共有3种购进方案，方案1：购买冰墩墩手办15个，冰墩墩挎包3个，冰墩墩钥匙扣12个；方案2：购买冰墩墩手办10个，冰墩墩挎包6个，冰墩墩钥匙扣14个；方案3：购买冰墩墩手办5个，冰墩墩挎包9个，冰墩墩钥匙扣16个．（3）选择方案1可获利15×15+20×3+12×12＝429（元）；选择方案2可获利15×10+20×6+12×14＝438（元）；选择方案3可获利15×5+20×9+12×16＝447（元）．∵429＜438＜447，∴应选择购进方案3，此时获利为447元．【变式72】（2022秋•吉州区期末）某药店出售A、B两种N95的口罩，已知该店进货4个A种N95口罩和2个B种N95口罩共需22元，进货8个A种N95口罩所需费用比进货4个B种N95口罩所需费用多4元．（1）请分别求出A、B两种N95口罩的进价是多少元？（2）已知药店将A种N95口罩每个提价1元出售，B种N95口罩每个提价20%出售，小雅在该药店购买A、B两种N95口罩（两种口罩均要购买），共花费40元，小雅有哪几种购买方案？【答案】（1）A种N95口罩的进价是3元，B种N95口罩的进价是5元；（2）小雅共有3种购买方案，方案1：购买A种N95口罩7个，B种N95口罩2个；方案2：购买A种N95口罩4个，B种N95口罩4个；方案3：购买A种N95口罩1个，B种N95口罩6个．【解答】解：（1）设A种N95口罩的进价是x元，B种N95口罩的进价是y元，依题意得：，解得：．答：A种N95口罩的进价是3元，B种N95口罩的进价是5元．（2）设购买A种N95口罩m个，B种N95口罩n个，依题意得：（3+1）m+5×（1+20%）n＝40，解得：m＝10﹣n．又∵m，n均为正整数，∴或或，∴小雅共有3种购买方案，方案1：购买A种N95口罩7个，B种N95口罩2个；方案2：购买A种N95口罩4个，B种N95口罩4个；方案3：购买A种N95口罩1个，B种N95口罩6个．【变式73】（2022秋•中原区校级期末）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？（2）现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．【答案】（1）1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资；（2）共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车；（3）费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．【解答】解：（1）设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资，依题意得：，解得：．答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资．（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，依题意得：300a+400b＝3100，∴a＝．又∵a，b均为正整数，∴或或，∴共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．（3）选择方案1所需租车费为400×9+500×1＝4100（元）；选择方案2所需租车费为400×5+500×4＝4000（元）；选择方案3所需租车费为400×1+500×7＝3900（元）．∵4100＞4000＞3900，∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．1．（2023春•五莲县期末）小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏．游戏规则：站在5米开外朝飞镖盘扔飞镖，若小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分．结果两人一共投中了20次，经过计算发现爸爸的得分比小华的得分多4分．设小华投中的次数为x，爸爸投中的次数为y，根据题意列出的方程组正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：根据题意可得：，故选：D．2．（2023春•新田县期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，则所列方程组正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，根据题意得，，故选：C．3．（2023•龙岗区校级模拟）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：，故选：D．4．（2023•邗江区二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：设有x人，y辆车，根据题意可得：，故选：D．5．（2023春•河口区期末）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，可得出方程为x+5＝y；又根据第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，可得出方程为x﹣5＝，那么方程组是．故选：A．6．（2023春•岳池县期末）某种仪器由1个A部件和2个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件50个或者加工B部件60个，现有工人72名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？设安排x个人生产A部件，安排y个人生产B部件．则列出二元一次方程组为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：设应安排x人生产A部件，y人生产B部件，由题意，得．故选：B．7．（2023春•盐山县期末）把一堆练习本分给学生，如果每名学生分4本，那么多4本；如果每名学生分5本，那么最后1名学生只有3本．设有x名学生，y本书，根据题意，可列方程组为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：依题意，得：．故选：C．8．（2023•泰山区校级三模）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺四寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5.4尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5.4尺，∴y﹣x＝5.4；∵将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，∴x﹣＝1．∴所列方程组为．故选：C．9．（2023•天心区校级三模）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头，共价二十四两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵马六匹、牛五头，共价四十四两，∴6x+5y＝44；∵马二匹、牛三头，共价二十四两，∴2x+3y＝24．∴根据题意可列方程组．故选：D．10．（2023•天山区校级二模）如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，若求阴影部分的面积，应先求一个小矩形的面积，设小矩形的长为x，宽为y，则列方程组为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵大矩形的长为15，∴x+2y＝15；观察图形，可知：x＝3y，∴根据题意可列方程组，故选：C．11．（2023春•高要区期末）某校有两种类型的学生宿舍30间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住5人．该校198个住宿生恰好住满30间宿舍．设大宿舍有x间，小宿舍有y间，得方程组（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由题意可得，，故选：B．12．（2022秋•碑林区校级期末）《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛：大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容器各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵大容器5个、小容器1个，总容量为3斛，∴5x+y＝3；∵大容器1个、小容器5个，总容量为2斛，∴x+5y＝2．∴所列方程组为．故选：C．13．（2023春•双鸭山期末）《九章算术》其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，则下列符合题意的方程组是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，根据题意可得：，故选：B．14．（2023春•滦州市期中）小红家离学校1500米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了18分钟，假设小红上坡路的平均速度是2千米/时，下坡路的平均速度是3千米/时，若设小红上坡用了x分钟，下坡用y分钟，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：设小红上坡用了x分钟，下坡用y分钟，根据题意得：．故选：B．15．（2023•梅县区一模）《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：依题意得：．故选：C．16．（2023春•瓯海区期中）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板5张，长方形纸板10张．（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（3）该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且290＜a＜300．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．（直接写出答案）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据图中所给1个竖式无盖纸盒构成：4个长方形侧面和1个正方形底面可知，需要1个正方形纸板（底面）和4个长方形纸板（侧面）；根据图中所给1个横式无盖纸盒构成：2个正方形侧面+2个长方形侧面+一个长方形底面可知，需要2个正方形纸板（侧面）和3个长方形纸板（侧面和底面）；综上所述，做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板1+2×2＝5张，长方形纸板4+2×3＝10张，故答案为：5，10；（2）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据题意得：，解得：，∴加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完，答：加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完；（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工个，由题意得：，化简得：，∵290＜a＜300，且a、m为整数，∴，即18.8＜m＜22.8，∴满足题意的m有19，20，21，22，∴使为整数的m取值是：20，22，∴a的所有可能值是：293，298．17．（2023•上蔡县校级开学）土耳其地震后，某华资集团为灾区购进A，B两种救灾物资100吨，共用去300万元，A种物资每吨2.7万元，B种物资每吨3.7万元．（1）求A，B两种物资各购进了多少吨？（2）该集团租用了大、小两种货车若干辆正好将这些物资一次性运往灾区，每辆大货车可运8吨AB种物资，每辆小货车可运6吨AB种物资，问租用的大、小货车各多少辆？【答案】（1）A种物资购进了70吨，B种物资购进了30吨；（2）租用的大货车为5辆，小货车为5辆．【解答】解：（1）设A种物资购进了x吨，B种物资购进了y吨，由题意得：，解得：，答：A种物资购进了70吨，B种物资购进了30吨；（2）设租用的大货车为m辆，小货车为n辆，由题意得：，解得：，答：租用的大货车为5辆，小货车为5辆．18．（2023•雁峰区校级开学）幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个．已知大班比小班多3个小朋友，这一筐苹果有多少个？【答案】这一筐苹果有70个．【解答】解：设大班的小朋友有x人，小班的小朋友有y人，由题意得：，解得：，∴这一筐苹果有：5×12+10＝70（个），答：这一筐苹果有70个．19．（2023•织金县开学）某次考试共有20道题目，做对一道得5分，做错一道扣2分，亮亮做了所有的题目，共得79分，他做对了几道题？【答案】17．【解答】解：设他做对了x道题．则有5x﹣2（20﹣x）＝79，解得，x＝17．答：他做对了17道题20．（2023春•邹平市期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从