高考数学第一轮复习1 第1讲　空间几何体的结构特征及三视图和直观图

第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图课标要求考情分析1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等及其简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.空间几何体的结构特征、三视图、直观图在高考中几乎年年考查．主要考查根据几何体的三视图求其体积与表面积．对空间几何体的结构特征、三视图、直观图的考查，以选择题和填空题为主.核心素养：直观想象、数学建模1．空间几何体的结构特征2．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．3．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在的平面垂直；②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．常用结论1．常见几何体的三视图类型及其几何体的结构特征(1)三视图为三个三角形，一般对应三棱锥；(2)三视图为两个三角形，一个四边形，一般对应四棱锥；(3)三视图为两个三角形，一个圆，一般对应圆锥；(4)三视图为一个三角形，两个四边形，一般对应三棱柱；(5)三视图为两个四边形，一个圆，一般对应圆柱．2．原图形与直观图面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形；S原图形＝2eq\r(2)S直观图．【小题自测】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．()(6)菱形的直观图仍是菱形．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2．(教材改编)在如图所示的几何体中，是棱柱的为()解析：选C.由棱柱的结构特征可知C是棱柱．3.(斜二测画法的规则不清致误)如图，直观图所表示的平面图形是()A．正三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．直角三角形解析：选D.由直观图中A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后AC∥y轴，BC∥x轴，所以△ABC是直角三角形，故选D.4．下图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()解析：选D.先观察俯视图，由俯视图可知B和D中的一个正确，由正视图和侧视图，可知D正确．考点一空间几何体的结构特征(自主练透)1．(2021·新高考卷Ⅰ)已知圆锥的底面半径为eq\r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)解析：选B.设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为eq\r(2)，所以2π×eq\r(2)＝πl，解得l＝2eq\r(2)，故选B.2．下列说法正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D.由图知，A不正确．两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．侧棱长与底面多边形的边长相等的棱锥一定不是六棱锥，故C错误．由定义知，D正确．3．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.①不一定正确，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．空间几何体概念辨析问题的常用方法考点二空间几何体的三视图(多维探究)考向1由几何体识别三视图已知棱长都为2的正三棱柱ABC­A1B1C1的直观图如图．若正三棱柱ABC­A1B1C1可绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为()【解析】由题知，四个选项的高都是2.若侧视图为A，则中间应该有一条竖直的实线或虚线；若侧视图为C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线；若侧视图为D，则底边长度应为eq\r(3)，而不是1.故选B.【答案】B空间几何体三视图的画法(1)明确正视、侧视、俯视的方向，同一物体由于放置的方向不同，所画出的三视图可能不同；(2)看清简单几何体是由哪几个基本元素组成的；(3)画三视图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，还要注意几何体中与投影面垂直或平行的线段及面的位置关系；(4)画三视图时，被遮挡的线使用虚线，不被遮挡的线使用实线．考向2由三视图判断几何体特征(2020·高考全国卷Ⅱ)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A．E B．FC．G D．H【解析】由三视图知，该几何体是由两个长方体组合而成的，其直观图如图所示，由图知该端点在侧视图中对应的点为E，故选A.【答案】A由三视图确定几何体的步骤考向3由三视图中的部分视图确定剩余视图(2021·高考全国卷乙)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________(写出符合要求的一组答案即可)．【解析】根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则原几何体如图1所示；若是②⑤，则原几何体如图2所示．【答案】③④(答案不唯一，②⑤也可)由几何体的部分视图确定剩余视图的方法解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．如果是选择题，也可将选项逐项代入检验．【对点训练】1.(2021·高考全国卷甲)在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A­EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()解析：选D.根据已知条件作出图形如图所示，结合多面体的正视图可知，该几何体的侧视图为D选项中的图形．2．(巧用结论1)一个四棱锥的三视图如图所示，一只蚂蚁从该四棱锥底面上一个顶点出发，经过四棱锥的侧面爬到与其不相邻的另一个顶点(同一条棱上的两个端点称为相邻顶点)处，则这只蚂蚁经过的最短路程为()A．1＋eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\r(2＋\r(3))D.eq\r(3＋\r(6))解析：选B.由三视图还原四棱锥P­ABCD，直观图如图(1)所示，连接BD，PD⊥平面ABCD，BD⊥DC，底面为平行四边形，且PD＝DC＝1，AD＝eq\r(2)，PC＝eq\r(2)，PA＝eq\r(3).①沿侧面从A到C，若沿着侧面PAD与侧面PDC爬行，则最短路程为1＋eq\r(2)；若沿着侧面PAB与侧面PBC爬行，则展开侧面PAB与PBC，使两者在同一个平面上，连接AC，如图(2)所示，易得最短路程为AC＝eq\r(3＋\r(6)).②沿侧面从B到D，若沿着侧面PAB与侧面PAD爬行，则最短路程为eq\r(3)；若沿着侧面PBC与侧面PDC爬行，则最短路程为eq\r(2＋\r(3)).综上，最短路程为eq\r(3).考点三空间几何体的直观图(师生共研)(巧用结论2)已知等腰梯形ABCD，CD＝1，AD＝CB＝eq\r(2)，AB＝3，以AB所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．【解析】方法一：如图，取AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，y轴交DC于点E，O，E在斜二测画法中的对应点为O′，E′，过E′作E′F′⊥x′轴，垂足为F′，因为OE＝eq\r(（\r(2)）2－12)＝1，所以O′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4).所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).方法二：由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)×(1＋3)×1＝2.由S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形的关系，得S直观图＝eq\f(\r(2),4)×2＝eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(2),2)用斜二测画法画直观图的技巧(1)原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行；(2)原图形中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点，再连线；(3)原图形中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．【对点训练】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形解析：选C.如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，CD＝C′D′＝2，OA＝O′A′＝6.所以OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(（4\r(2)）2＋22)＝6，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形．[A级基础练]1．下列命题是真命题的是()A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱B．正四面体是特殊的正四棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫做棱锥D．正四棱柱是平行六面体解析：选D.A项，当两个侧面是矩形且相邻时，四棱柱是直四棱柱，当两个侧面是矩形且不相邻时，四棱柱不是直四棱柱，故A项错误；B项，正四面体是三棱锥，故B项错误；C项，棱锥是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体，故C项错误；D项，正四棱柱是平行六面体，故D项正确．故选D.2．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括()A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆柱、一个圆台 D．一个圆柱、两个圆锥解析：选D.从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱、两个圆锥所组成的几何体，如图所示．3．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()解析：选A.由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A.4．如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为()解析：选D.由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱，故选D.5.如图所示的直观图中，O′A′＝O′B′＝2，则其平面图形的面积是()A．4 B．4eq\r(2)C．2eq\r(2) D．8解析：选A.S原△ABC＝2eq\r(2)S△A′O′B′＝2eq\r(2)×eq\f(1,2)×2×2×sin45°＝4.6.如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，则剩余的部分是()A．三棱锥 B．四棱锥C．三棱柱 D．组合体解析：选B.如图所示，由题意及图可知剩余部分是四棱锥A′­BCC′B′.7．若棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：选B.不妨设该棱台为三棱台ABC­A1B1C1，原棱锥为P­A1B1C1，棱台和棱锥对应的高分别为OO1和PO1.由题意知eq\f(PO,PO1)＝eq\f(AO,A1O1)＝eq\f(AB,A1B1)＝eq\r(\f(4,9))＝eq\f(2,3)，所以eq\f(OO1,PO1)＝eq\f(1,3).故选B.8.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，三棱锥表面上的点M在俯视图上的对应点为A，点N在侧视图上的对应点为B，则线段MN的长度的最大值为()A．2eq\r(3) B．3eq\r(2)C．4eq\r(2) D．3eq\r(3)解析：选D.由三视图可知，该三棱锥的底面是直角三角形，一条侧棱与底面垂直(AD⊥平面ABC)，几何体的直观图如图，点M在AD上，点N与点B重合．当点M与点D重合时，线段MN的长度最大，为BD＝eq\r(32＋（3\r(2)）2)＝3eq\r(3).故选D.9．有一个长为5cm，宽为4cm的矩形，则其直观图的面积为________．解析：由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝eq\f(\r(2),4)S＝5eq\r(2)(cm2)．答案：5eq\r(2)cm210．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为______cm.解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：1311．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧视图的面积的最小值是________．解析：如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，当CD⊥AB，C1D1⊥A1B1时，侧视图的面积最小，此时D，D1分别是AB，A1B1的中点．易得CD＝eq\r(3)，则侧视图面积的最小值为2×eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)[B级综合练]12．(2022·贵阳市四校联考)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条表示的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面中面积最小是()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C．2 D.eq\r(3)解析：选C.根据该三棱锥的三视图，在棱长为2的正方体中作出该三棱锥A­BCD，如图，从直观图中可以看出该三棱锥中面积最小的面为△BCD，其面积为S△BCD＝eq\f(1,2)×2×2＝2，故选C.13.(2022·绵阳市第二次诊断性考试)一个正六棱柱的正视图(由两个边长等于4的正方形组成)如图所示，则该六棱柱的侧视图的面积为()A．16 B．16eq\r(3)C.eq\f(64\r(3),3) D．32eq\r(3)解析：选C.由正视图可得，正六棱柱的直观图如图中ABCDEF­A1B1C1D1E1F1所示，设底面正六边形的边长为a，则eq\r(3)a＝8，解得a＝eq\f(8\r(3),3)，连接A1D1，则A1D1＝2a＝eq\f(16\r(3),3)，所以该棱柱的侧视图是两邻边长分别为eq\f(16\r(3),3)与4的矩形(三个小矩形组成)，面积为eq\f(16\r(3),3)×4＝eq\f(64\r(3),3)，故选C.14．已知正四棱锥的高为eq\r(3)，侧棱长为eq\r(7)，求过该正四棱锥的斜高和高的截面面积．解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，则E为AB的中点，F为CD的中点，连接SE，SF，则SE，SF为斜高，△SEF为所求截面．在正四棱锥S­ABCD中，高SO＝eq\r(3)，侧棱SA＝