专题二十三 圆-知识点与题型全解析(解析版)

23圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：圆心；半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）QUOTE半径2圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。弓形与扇形弓形的概念：由弦及其所对的弧组成的图形。扇形的概念：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。【典型例题】1．如图，AB是⊙O直径，点C，D在⊙O上，OD∥AC，下列结论错误的是（）A．∠BOD=∠BAC B．∠BAD=∠CAD C．∠C=∠D D．∠BOD=∠COD【答案】C【解析】∵OD//AC，∴∠BOD=∠BAC、∠D=∠CAD、∠C=∠COD，故A选项正确，∵OA=OD，∴∠D=∠BAD，∴∠BAD=∠CAD，故B选项正确，∵OA=OC，∴∠BAD=∠C，∴∠BOD=∠COD，故D选项正确，由已知条件无法得出∠C=∠D，故C选项错误，故选C.2．有下列四种说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的说法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】B【解析】圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．

其中错误说法的是①③两个．故选：B．3．下列说法中，正确的个数共有（）（1）一个三角形只有一个外接圆；（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】（1）一个三角形只有一个外接圆，正确；（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；（4）三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误；故选：C．4．有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】试题解析：同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫等弧，所以长度相等，故正确；连接圆上任意两点的线段叫做弦，所以直径是最长的弦，故正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；圆中90°圆周角所对的弦是直径，故错误；弦所对的圆周角可在圆心一侧，也可在另一侧，这两个圆周角互补，但不一定相等，所以同圆中等弦所对的圆周角也不一定相等，故错误.综上所述，正确的结论有2个，故应选B.5．如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵在⊙O中，AB为直径，∴∠ADB=90°，∵∠B=∠ACD=40°，∴∠BAD=90°﹣∠B=50°．故选D．题型一利用圆的半径相等进行相关计算例1．如图，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是（）．A．10°B．20°C．40°D．80°【答案】B【解析】根据同一弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半,所以∠ACB的度数等于∠AOB的一半,故选B跟踪训练一1．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）A．70° B．80° C．110° D．140°【答案】C【解析】作AC对的圆周角∠APC，如图，∵∠P=12∠AOC=1∵∠P+∠B=180°，∴∠B=180°﹣70°=110°，故选：C．2．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是A．AC=AB B．∠C=12∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠【答案】B【解析】解：∵直径CD⊥弦AB，∴弧AD=弧BD，∴∠C=12∠BOD故选B．3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（）A．43 B．63 C．23 D．8【答案】A【解析】连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=12∠∴∠COD=∠B=60°；在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，∴CD=32OC=23∴AC=2CD=43．故选A．4．如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（）A．70° B．45° C．35° D．30°【答案】C【解析】解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，∴=AC，∴∠ADC=12∠AOB故选C．5．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD＝136°，则∠C的度数是（）A．44° B．22° C．46° D．36°【答案】B【解析】∵∠AOD＝136°，∴∠BOD＝44°，∴∠C＝22°，故选：B．题型二圆心角与圆周角的关系解题例2．如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE、EC．（1）若∠AEC＝28°，求∠AOB的度数；（2）若∠BEA＝∠B，EC＝3，求⊙O的半径．【答案】（1）56【解析】解：1连接OC．∵半径OA⊥∴AC∴∠AOC∵∠AOC∴∠AOB2∵BE是∴∠ECB∵∴∠AEC∵∠BEA∴∠∵∠B+∴∠B=∵EC∴EB∴⊙O跟踪训练二1．如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与⊙O相切于点D，连结BD、AD．（1）求证；∠BDC＝∠A．（2）若∠C＝45°，⊙O的半径为1，直接写出AC的长．【答案】（1）详见解析；（2）1+2【解析】(1)证明：连结OD．如图，∵CD与⊙O相切于点∴OD∴∠∵AB是⊙∴∠ADB＝90°，∴∠1＝∵OA∴∠1＝∴∠BDC（2）解：在Rt△ODC∴OC=2．已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD＝30°，且BE＝2，求弦CD的长．【答案】4【解析】解：连接OD，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，∵∠BAD＝30°，∴∠DOE＝60°，∵CD⊥AB，∴CD＝2DE，∠ODE＝30°，∴OD＝2OE，即r＝2（r﹣2），解得r＝4；∴OE＝4﹣2＝2，∴DE＝OD2-OE2∴CD＝2DE＝43．知识点二圆的基本性质QUOTE（12弦长）2对称性圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线圆是中心对称图形。垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：过圆心，作垂线，连半径，造RT△2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等圆周角定理（考点）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．题型三运用垂径定理进行相关计算例3．如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB＝AC，tan∠ABC＝13【答案】BC＝6．【解析】连接AO，交BC于点E，连接BO，∵AB＝AC，∴AB=又∵OA是半径，∴OA⊥BC，BC＝2BE，在Rt△ABE中，∵tan∠ABC＝13∴AEBE设AE＝x，则BE＝3x，OE＝5﹣x，在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2，∴(3x)2+(5﹣x)2＝52，解得：x1＝0(舍去)，x2＝1，∴BE＝3x＝3，∴BC＝2BE＝6．跟踪训练三1．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2．（1）求OD的长．（2）求EC的长．【答案】（1）5（2）2【解析】解：(1)设⊙O半径为r，则OA＝OD＝r，OC＝r﹣2，∵OD⊥AB，∴∠ACO＝90°，AC＝BC＝12在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2，r＝5，∴OD＝r＝5；(2)连接BE，如图：由(1)得：AE＝2r＝10，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，由勾股定理得：BE＝6，在Rt△ECB中，EC＝BE2+BC2故答案为：(1)5；(2)2132．如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长．【答案】r＝5【解析】解：∵OD⊥弦AB，AB＝8，∴AC＝12AB=1设⊙O的半径OA＝r，∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAC中，r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5题型四利用垂径定理解决实际问题例4．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．【答案】10cm【解析】解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，∵OC⊥AB∴BD=12AB=1由题意可知，CD=4cm∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x﹣4）2+82=x2解得：x=10．答：这个圆形截面的半径为10cm．跟踪训练四1．用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．【答案】20㎝．【解析】连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD∴四边形ACDB是矩形∵CD=16cm，PE=4cm∴PA=8cm，BP=8cm，在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2即OA2=82+（OA﹣4）2解得：OA=10．答：这种铁球的直径为20cm．2．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你用直尺和圆规作出这个输水管道的圆形截面的圆心(保留作图痕迹)；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝8cm，水面最深地方的高度为2cm，求这个圆形截面的半径．【答案】（1）详见解析；（2）这个圆形截面的半径是5cm.【解析】(1)如图，作线段AB的垂直平分线l，与弧AB交于点C，作线段AC的垂直平分线l′与直线l交于点O，点O即为所求作的圆心．(2)如图，过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D，设半径为r，则AD＝12AB＝4，OD＝r－2在Rt△AOD中，r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，答：这个圆形截面的半径是5cm.题型五圆心角、弧、弦的关系的应用例5．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、BC.求证：⑴AD=⑵AE=CE.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】证明（1）∵AB=CD，∴AB=CD，即∴AD=（2）∵AD=∴AD=BC，又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．跟踪训练五1．已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径．求证：BD=CD．【答案】见解析【解析】证明：∵AB=AC，∴AB∴∠ADB=∠ADC，∵AD是⊙O的直径，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴BD∴BD=CD．2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧CD的中点，连接AM，BM，求证：AM＝BM．【答案】见解析.【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∴弧AD=弧BC，∵M为弧CD中点，∴弧MD=弧MC，∴弧AM=弧BM，∴AM＝BM．题型六圆周角定理求角的度数例6．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．70°【答案】A【解析】∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°-∠AOC=40°，∵∠BOC与∠BDC都对AMFM∴∠D＝12∠故选A．跟踪训练六1．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．【答案】40【解析】连接BD，如图，∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，∴∠ACD=∠ABD=40°，故答案为：40．2．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC=120°，则∠CDB=_____°．【答案】30【解析】∵∠∴∠故答案为：30．3．如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC=30∘，则【答案】6【解析】∵OA∴AB∴∠AOB=2∵∠ADC=3∴∠AOB=6故答案为60题型七圆周角定理推论的应用例7．如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB=CD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则【答案】70°【解析】∵CB=CD，∴∠CAB=∴，∵∠ABD=∠ACD=50°，∴∠ADB=180°-故答案为：70°.跟踪训练七1．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_____．【答案】30°【解析】如图，连接OC．∵AB是直径，AC=∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A=60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°﹣60°=30°．故答案为30°2.如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB=2，∠ACD=30°，则【答案】1【解析】解：∵AB为直径，∴∠ADB=9∵∠B=∴AD=1故答案为1．题型八利用圆内接四边形的性质定理求角的度数例8．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC=CB．若∠C=110°A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】A【解析】连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°，∵DC=∴∠CAB=12∠∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选A．跟踪训练八1．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPDA．30° B．36° C．60° D．72°【答案】B【解析】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，故∠CPD=72°×1故选B.2．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝40°，点D是劣弧BC上一点，连结CD、BD，则∠D的度数是()A．50° B．45° C．140° D．130°【答案】D【解析】∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°-∠ACB=90°-40°=50°，∵∠D+∠A=180°，∴∠D=180°-50°=130°．故选D．3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=80°，则∠ADC的度数是（）A．60° B．80° C．90° D．100°【答案】D【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC=180°-∠B=180°-80°=100°.故选D.知识点三与圆有关的位置关系点与圆的位置有三种：位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部d>r⇔点P在⊙点在圆上点在圆周上d=r⇔点P在⊙点在圆内点在圆的内部d<r⇔点P在⊙三点定圆的方法：1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．2）经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个．3）经过三点时：情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．反证法：首先假设某命题结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。题型九点与圆的位置关系例9．在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（）A．0＜r＜4 B．3＜r＜4 C．4＜r＜5 D．r＞5【答案】D【解析】∵O（0，0），P（3，4），∴OP=，∵点P(3,4)在⊙O内，⊙O的半径r，∴r>5，故选D.跟踪训练九1．矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）．A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．【答案】C【解析】∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP∴AP=2，∴根据勾股定理得出，r=PD==7，PC==9，∵PB=6＜r，PC=9＞r∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C．2．在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），∴OA＝32OB＝32∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，∴13＜r＜5，∴r＝4符合要求．故选B．3．已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（）.A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25【答案】C【解析】当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．在直角△BCD中CD=AB=15，BC=20，则BD===25．由图可知15＜r＜25，故选C．直线和圆的位置关系位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点d>r⇔直线l与⊙O相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点d=r⇔直线l与⊙O相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线d<r⇔直线l与⊙O切线的性质及判定（重点）切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．【考查题型汇总】题型十直线与圆的位置关系的应用例10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm长为半径作圆，试判断⊙C与AB的位置关系．【答案】相切【解析】作CD⊥AB于点D，∵∠B＝30°，BC＝4cm，∴CD＝BC＝2cm，即CD等于圆的半径．∵CD⊥AB，∴AB与⊙C相切．跟踪训练101．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由．【答案】⊙A与直线BC相交．理由见解析.【解析】⊙A与直线BC相交．过A作AD⊥BC，垂足为点D．∵AB=AC，BC=16，∴BD=12BC=1在Rt△ABC中，AB=10，BD=8，∴AD=AB∵⊙O的半径为7，∴AD＜r，⊙A与直线BC相交．题型十一利用切线的判定定理判定直线为切线的方法例11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AC的长为．【解析】（1）如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC．∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC，∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD．∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD=4．在Rt△BCD中，BD==4，同理：△CFD∽△BCD，∴，∴，∴CF=，∴AC=2AF=．跟踪训练十一1．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B＝30°，延长BA到D，使∠BDC＝30°．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若AB＝2，求DC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接OC．∵OB=OC，∠B=30°，∴∠OCB=∠B=30°，∴∠COD=∠B+∠OCB=60°，∵∠BDC=30°，∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC，∵BC是弦，∴点C在⊙O上，∴DC是⊙O的切线，点C是⊙O的切点；（2）解：∵AB=2，∴OC=OB==1，∵在Rt△COD中，∠OCD=90°，∠D=30°，∴DC=OC=.题型十二三角形内心的应用例12．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI=∠BAI，由平移得：AC∥DI，∴∠CAI=∠AID，∴∠BAI=∠AID，∴AD=DI，同理可得：BE=EI，∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，即图中阴影部分的周长为4，故选B．跟踪训练十二1．如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：设，∵直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，，，，在中，，解得，即的长度为．故选：D．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56° B．62° C．68° D．78°【答案】C【解析】∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，∵∠AIC=124°，∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）=180°﹣2（180°﹣∠AIC）=68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE=∠B=68°，故选C．题型十三利用切线长定理进行计算例13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．（1）求证：BE=EC（2）填空：①若∠B=30°，AC=2，则DB=______；②当∠B=______度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．【答案】（1）见解析；（2）①3；②45.【解析】（1）证明：连接DO．∵∠ACB=90°，AC为直径，∴EC为⊙O的切线；又∵ED也为⊙O的切线，∴EC=ED，又∵∠EDO=90°，∴∠BDE+∠ADO=90°，∴∠BDE+∠A=90°又∵∠B+∠A=90°，∴∠BDE=∠B，∴BE=ED，∴BE=EC；（2）解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，∴AB=2AC=4，∴BC==6，∵AC为直径，∴∠BDC=∠ADC=90°，由（1）得：BE=EC，∴DE=BC=3，故答案为3；②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：∵∠ACB=90°，∴∠A=45°，∵OA=OD，∴∠ADO=45°，∴∠AOD=90°，∴∠DOC=90°，∵∠ODE=90°，∴四边形DECO是矩形，∵OD=OC，∴矩形DECO是正方形．故答案为45．跟踪训练十三1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE(1)求证：EH＝EC；(2)若AB＝4，sinA＝，求AD的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】(1)如图，连接OE，∵AC与⊙O相切，∴OE⊥AC，且BC⊥AC，∴OE∥BC∴∠CBE＝∠OEB，∵EO＝OB，∴∠EBO＝∠OEB∴∠CBE＝∠EBO，且CE⊥BC，EH⊥AB，∴CE＝EH(2)∵sinA＝=，∴设OE＝2a，AO＝3a，(a≠0)∴OB＝2a，∵AB＝AO+OB＝3a+2a＝4∴a＝，∵AD＝AB﹣BD＝4﹣4a∴AD＝.2．如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）CD=2．【解析】（1）证明：连接OD，如图所示．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．（2）∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴．∵BD=AD，∴，∴，又∵AC=3，∴CD=2．题型十四直角三角形周长、面积与内切圆半径的应用例14．已知关于的一元二次方程.（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；（3）若△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.【答案】（1）详见解析；（2）2；（3）1【解析】（1）证明：∵，无论为任何实数时，此方程总有两个实数根.（2）由题意得：，，即，解得：；（3）解：解方程得：，根据题意得：，即设直角三角形的内切圆半径为，如图，由切线长定理可得：，直角三角形的内切圆半径=；跟踪训练十四1．实践操作如图，∠△ABC是直角三角形，∠ACB=90，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹，不写作法)①作∠BAC的平分线，交BC于点0②以点0为圆心，OC为半径作圆.综合运用在你所作的图中，(1)直线AB与⊙0的位置关系是(2)证明:BA·BD=BC·BO;(3)若AC=5,BC=12，求⊙0的半径【答案】实践操作，作图见解析；综合运用：（1）相切；（2）证明见解析；（3）【解析】实践操作，如图所示：综合运用：综合运用：（1）AB与⊙O的位置关系是相切．∵AO是∠BAC的平分线，∴DO=CO，∵∠ACB=90°，∴∠ADO=90°，∴AB与⊙O的位置关系是相切；（2）∵AB、AC是切线∴∠BDO=∠BCA=90°又∠DBC=∠CBA∴ΔBDO∽ΔCBA∴即：（3）因为AC=5，BC=12，所以AD=5，AB=13，所以DB=13﹣5=7，设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12﹣x），x2+82=（12﹣x）2，解得：x=．答：⊙O的半径为．题型十五圆内接四边形综合例15.如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．（1）求证：BD=CD；（2）若圆O的半径为3，求的长．【答案】（1）证明过程见解析；（2）π【解析】（1）∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB+∠BAD=180°，∵∠BAD=105°，∴∠DCB=180°﹣105°=75°，∵∠DBC=75°，∴∠DCB=∠DBC=75°，∴BD=CD；（2）∵∠DCB=∠DBC=75°，∴∠BDC=30°，由圆周角定理，得，的度数为：60°，故===π，答：的长为π．跟踪训练十五1．如图所示，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B两点，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内OB上一点，∠BMO＝120°，求⊙C的半径．【答案】3.【解析】∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∵AB是⊙C的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，∵点A的坐标为（0，3），∴OA=3，∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长=AB2圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系的定义、性质及判定：设⊙O1、⊙O2的半径分别为位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．d>R+r⇔外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．d=R+r⇔相交两个圆有两个公共点．R-r<d<R+r⇔内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．d=R-r⇔内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．0≤d<R-r⇔【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．题型十六圆与圆的位置关系例16．已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】C【解析】设⊙A的半径为X,⊙B的半径为Y,⊙C的半径为Z.解得故选C跟踪训练十六1．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7【答案】A【解析】设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选A．2．已知⊙的半径长是5，点在上，且，如果⊙与⊙有公共点，那么⊙的半径长的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵⊙的半径长是5，点在上，且，∴点到⊙的最大距离为8，最小距离为2，∵⊙与⊙有公共点，∴．故选D．3．在△ABC中，∠C=90°．AC=3cm．BC=4cm，若⊙A．⊙B的半径分别为1cm，4cm．则⊙A与⊙B的位置关系是()A．外切 B．内切 C．相交 D．外离【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，∴AB==5cm，∵⊙A，⊙B的半径分别为1cm，4cm，又∵1+4=5，∴⊙A与⊙B的位置关系是外切．故选A．4．已知⊙和⊙，其中⊙为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1 B．4 C．5 D．8【答案】B【解析】解：已知⊙为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，故⊙半径为1，故两圆外切时圆心距等于3＋1＝4.故选B.题型十七利用圆的相关知识解决动态问题例17．如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切⊙O于点D，已知点E是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED＝45°．（1）求证：CD∥AB；（2）填空：①当∠DAE＝时，四边形ADFP是菱形；②当∠DAE＝时，四边形BFDP是正方形．【答案】（1）详见解析；（2）①67.5°；②90°．【分析】（1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF＝∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF＝∠AOD，从而可以解答本题；（2）①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；②根据四边形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度数．【解析】（1）证明：连接OD，如图所示，∵射线DC切⊙O于点D，∴OD⊥CD，即∠ODF＝90°，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝2∠AED＝90°，∴∠ODF＝∠AOD，∴CD∥AB；（2）①连接AF与DP交于点G，如图所示，∵四边形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PEG＝22.5°，∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，故答案为：67.5°；②∵四边形BFDP是正方形，∴BF＝FD＝DP＝PB，∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，∴此时点P与点O重合，∴此时DE是直径，∴∠EAD＝90°，故答案为：90°．知识点四正多边形和圆正多边形正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．半径、边心距，边长之间的关系：画圆内接正多边形方法：量角器（作法操作复杂，但作图较准确）量角器+圆规（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）圆规+直尺（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）圆锥设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l弧长公式：l=nπR180扇形面积公式：S母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。圆锥体表面积公式：S=πR2+πRl备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法【考查题型汇总】题型十八正多边形的有关计算例18．如图，要拧开一个边长为a＝6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为()A．6mm B．12mm C．6mm D．4mm【答案】C【解析】设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=6mm,∠AOB=60°，∴cos∠BAC=，∴AM=6×=(mm)，∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=AC，∴AC=2AM=(mm).故选C.跟踪训练十八1．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是()A．10 B．8 C．6 D．5【答案】A【解析】试题分析：设这个正多边形的边数是n，∵正多边形的中心角是36°，∴360n解得n=10．故选A．题型十九弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算方法1．（2019·盘锦市双台子区第四中学中考模拟）.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高OC的长度是_______．【答案】4【解析】设圆锥底面圆的半径为r，∵AC=6，∠ACB=120°，∴=2πr，∴r=2，即：OA=2，在Rt△AOC中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4，故答案为4．跟踪训练十九1．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为___．【答案】6.【解析】圆锥的底面周长cm，设圆锥的母线长为，则：，解得，故答案为．2．如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O、A、B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____cm．【答案】【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r，连结AB，如图，∵扇形OAB的圆心角为90°，∴∠AOB＝90°，∴AB为圆形纸片的直径，∴AB＝4cm，∴OB＝cm，∴扇形OAB的弧AB的长＝π，∴2πr＝π，∴r＝（cm）．故答案为．题型二十应用弧长公式解决运动轨迹或扫过面积问题例20．如图，在中，，将△AOC绕点O顺时针旋转后得到，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积故选：B．跟踪训练二十1．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．π【答案】A【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2∴S△ABC=AC•BC=．根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′．∴S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′-S△ABC==．故选A．2．如图，已知正方形的顶点、在上，顶点、在内，将正方形绕点逆时针旋转，使点落在上.若正方形的边长和的半径均为，则点运动的路径长为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：设圆心为O，连接AO，BO，OF，∵AB=6，AO=BO=6，

∴AB=AO=BO，

∴三角形AOB是等边三角形，

∴∠OAB=60°

∵AF=AO=FO=6，∴△FAO是等边三角形，∴∠OAF=60°∠FAB=∠OAB+∠OAF=120°，∴∠EAC=120°-90°=30°，

∵AD=AB=AF=6，

∴点D运动的路径长为：=π．

故选：C．3．如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，扇形CBD的圆心角为60°，点E为CD上一动点，P为AE的中点，当点E从点C运动至点D，则点P的运动路径长是()A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，取AB的中点Q，连结PQ，连结EB.∵P为AE的中点，Q为AB的中点，∴PQ为△AEB的中位线，∴PQ∥EB，且PQ=EB=BC=.∴点P在以Q为圆心，为半径的圆上运动.当点E从点C运动至点D时，点P所转动的角度为60°，∴点P的运动路径长是.故选：A.4．如图，平行四边形ABCD的对角线BD＝6cm，若将平行四边形ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D在旋转过程中所经过的路径长为（）A．3πcm B．6πcm C．πcm D．2πcm【答案】A【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD＝3，∵平行四边形ABCD绕其对称中心O旋转180°，∴点D在旋转过程中所经过的路径为以O点为圆心，OD为半径，圆心角为180的弧，∴点D在旋转过程中所经过的路径长＝＝3π（cm）．故选A．题型二十一不规则图形的面积的计算例21．如图,在边长为6的菱形中,,以点为圆心,菱形的高为半径画弧,交于点,交于点,则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，

∴AD=AB=6，∠ADC=180°-60°=120°，

∵DF是菱形的高，

∴DF⊥AB，

∴DF=AD•sin60°=6×=3，

∴阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=6×3=18-9π．

故选B．跟踪训练二十一1．如图，已知⊙O的周长为4π，的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】试题分析：∵⊙O的周长为4π，∴⊙O的半径是r=4π÷2π=2，∵的长为π，∴的长等于⊙O的周长的，∴∠AOB=90°，∴S阴影==．故选A．2．如图，在△ABC中，AB=AC，AB=8，BC=12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（）A．64π﹣127 B．16π﹣32C．16π﹣247 D．16π﹣127【答案】D【解析】试题解析：设半圆与底边的交点是D，连接AD．∵AB是直径，∴AD⊥BC．又∵AB=AC，∴BD=CD=6．根据勾股定理，得AD=AB2-B∵阴影部分的面积的一半=以AB为直径的半圆的面积﹣三角形ABD的面积=以AC为直径的半圆的面积﹣三角形ACD的面积，∴阴影部分的面积=以AB为直径的圆的面积﹣三角形ABC的面积=16π﹣12×12×27=16π﹣127故选D．3．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B，E是半圆弧的三等分点，弧AB的长为，则图中阴影部分的面积为（）A．6﹣ B．9﹣ C．﹣ D．6﹣【答案】C【解析】解：连接BD，BE，BO，EO，

∵B，E是半圆弧的三等分点，

∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，

∴∠BAC=∠EBA=30°，

∴BE∥AD，弧AB的长为，∴=解得：R=2，

∴AB=ADcos30°=2，

∴BC=AB=，

∴AC===3,∴S△ABC=×BC×AC=××3=，

∵△BOE和△ABE同底等高，

∴△BOE和△ABE面积相等，

∴图中阴影部分的面积为：S△ABC-S扇形BOE=-=-.故选C．题型二十二求圆锥侧面上两点之间的最短距离例22．如图，已知O为圆锥的顶点，MN为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M点出发，绕圆锥侧面爬行到N点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为MN为圆锥底面的直径，展开后D图中MN即为直径，也为所爬过的最短路线的痕迹，故选D．跟踪训练221．一圆锥体形状的圣诞帽，母线长是30cm，底面圆的直径是15cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用（）厘米（接口处重合部分忽略不计）A．30πcm B．30cm C．15πcm D．152cm【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得圆锥的展开图的圆心角=rl×360°=90°，则展开图为等腰直角三角形，根据勾股定理可得斜边长为302题型二十三运用圆锥侧面积知识解决实际问题例23．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）A．米2 B．米2 C．米2 D．米2【答案】C。【解析】连接OD，则。∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=OA=×6=3。∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA。在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴。又∵，∴∠DOC=60°。∴（米2）。故选C。跟踪训练二十三1．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2 B．350πcm2 C．πcm2 D．150πcm2【答案】B【解析】∵AB=25，BD=15，∴AD=10，∴S贴纸==175π×2=350cm2，故选B．基础题选择题（共12小题，每小题4分，共48分）1．如图，把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示．已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【答案】B【解析】由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧EF于点H、I，再连接OF，在矩形ABCD中，AD∥BC，而IG⊥BC，∴IG⊥AD，∴在⊙O中，FH=EF=2，设求半径为r，则OH=4-r，在Rt△OFH中，r2-（4-r）2=22，解得r=2.5，∴这个球的半径是2.5厘米．故选B.2．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°【答案】D【解析】由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD==，∴tan∠1=，∴∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴∠C=60°，∴∠E=180°-60°=120°,即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，故选D．3．如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是()A．3 B． C． D．【答案】D【解析】如图，设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，∵AC、AB都与圆O相切，∴AO平分∠BAC，OC⊥AC，OB⊥AB，∴∠CAO=∠BAO=60°，∴∠AOB=30°，在Rt△AOB中，AB=3cm，∠AOB=30°，∴OA=6cm，根据勾股定理得：OB=3，则光盘的直径为6，故选D.4．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为圆内接正三角形的面积为，所以圆的半径为，所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°＝×＝1，故选：B．5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（）A．π B．π C．2π D．π【答案】A【解析】连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB=BC=DC=AD，∴，∴∠AOB=×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，∴的长为=π，故选A．6．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（）A． B． C．2π D．【答案】D【解析】连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==，故选：D．7．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（）A．80° B．120° C．100° D．90°【答案】B【解析】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=180°-120°=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故选B．8．如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（）A．（2-π）cm2 B．（π-）cm2 C．（4-2π）cm2 D．（2π-2）cm2【答案】C【解析】连接AD，∵△ABC是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD==，∴S阴影=S△ABC-3S扇形AEF=×4×2﹣=(4﹣2π)cm2，故选C．9．如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分面积为（）A．π B．π C．6﹣π D．2﹣π【答案】C【解析】由题意可得，BC=CD=4，∠DCB=90°，连接OE，则OE=BC，∴OE∥DC，∴∠EOB=∠DCB=90°，∴阴影部分面积为：==6-π，故选C．10．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）A．55° B．110° C．120° D．125°【答案】D【解析】根据圆周角定理，得

∠ACB=（360°-∠AOB）=×250°=125°．

故选：D．11．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】A【解析】连接根据BM与⊙O相切于点B，则故选:A.12．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（）A．30° B．35° C．40° D．50°【答案】C【解析】解：∵∠APD是△APC的外角，∴∠APD=∠C+∠A；∵∠A=30°，∠APD=70°，∴∠C=∠APD-∠A=40°；∴∠B=∠C=40°；故选C．填空题（共5小题，每小题4分，共20分）13．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升______cm．【答案】10或70【解析】如图，作半径于C，连接OB，由垂径定理得：=AB=×60=30cm，在中，，当水位上升到圆心以下时

水面宽80cm时，则，水面上升的高度为：；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：，综上可得，水面上升的高度为30cm或70cm，故答案为：10或70．14．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．【答案】26【解析】连接OC，由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°-∠COD=26°，故答案为：26．15．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____．【答案】（-1，-2）【解析】连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD═DB=DA=，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2），16．如图，用一个半径为20cm，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计接头损耗，则圆锥的底面半径r为______cm．【答案】【解析】设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r，则由题意得，由得，由得，故答案是：．17．已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2.【答案】15π【解析】设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4，∴母线l=，∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π，故答案为15π.解答题（共4小题，每小题8分，共32分）18．如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．【答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O的半径为2．【解析】（1）如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵,∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵，∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=OC，设⊙O的半径为r，∵CE=2，∴r=(r+2)，解得：r=2，∴⊙O的半径为2．19．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，∴AE=ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴=．20．如图，AE为的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F.(1)求证：；(2)求证：;(3)若,求的值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】(1)证明：∵D为弧BC的中点，OD为的半径∴即∠BFO=90°又∵AB为的直径∴∴(2)证明：∵D为弧BC的中点∴∴∴∴即(3)解：∵，∴设CD=，则DE=，又∵∴∴所以又∴即21．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若BE=3，CE=3，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】解：（1）连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点E，∴CO⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）设⊙O半径为r，在Rt△OEC中，∵OE2+EC2=OC2，∴r2+27=（r+3）2，解得r=3，∴OC=3，OE=6，∴cos∠COE=，∴∠COE=60°，∴S阴影=S△COE﹣S扇形COB=•3•3﹣．提高题选择题（共12小题，每小题4分，共48分）1．如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm【答案】D【解析】过O作OE⊥AB于E，如图所示.∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=

OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴由勾股定理可得圆锥的高为：cm.故选D.2．如图，与相切于点，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，连接OA、OB．∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM=90°．∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°．∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°．故选A．3．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A【解析】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r²，连接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴，∴r=2，∴S四边形AEOF=r²=4，故选A.4．如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y=（k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A．若△OPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是（）A．S的值增大 B．S的值减小C．S的值先增大，后减小 D．S的值不变【答案】D【解析】作PB⊥OA于B，如图，则OB=AB，∴S△POB=S△PAB．∵S△POB=|k|，∴S=2k，∴S的值为定值．故选D．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A． B．2 C．2 D．8【答案】C【解析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=30°，∴OH=OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴CH=，∴CD=2CH=2．故选C．6．如图，的直径垂直于弦，垂足是点，，，则的长为()A． B． C．6 D．12【答案】A【解析】∵，AB为直径，∴，∵∠BOC和∠A分别为所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°，∴，∴为等腰直角三角形，∵OC=6，∴，∴.故选A．7．如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A(A为坐标原点)出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为()A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】B【解析】解：点运动一个用时为秒．如图，作于D，与交于点E．在中，∵，，∴，∴，∴，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∵，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选：B．8．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆锥的母线长为R，由题意得15π=π×3×R，解得R=5，∴圆锥的高为4，∴sin∠ABC=．故选C．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（）A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）【答案】A【解析】过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），∴BC=4，AC=3，则AB=5，∵I是△ABC的内心，∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，∴IF=1，故I到BC的距离也为1，则AE=1，故IE=3﹣1=2，OE=4﹣1=3，则I（3，2），∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，∴I的对应点I'的坐标为：（﹣2，3），故选A．10．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，BD＝AB，∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°，而CB＝CD，∴△CBD为等边三角形，∴BC＝BD＝AB，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．故选D．11．如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【答案】B【解析】过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，∴AM×BC=AC×AB，∴AM===2.4．∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE∥BC，DE=BC=2.5，∴AN=MN=AM，∴MN=1.2．∵以DE为直径的圆半径为1.25，∴r=1.25＞1.2，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．故选B．12．如图，内接于圆，，，若，则弧的长为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】连接OB，OC．∵∠A=18