福建省南平市高三上学期第一次综合质量检查数学(文)试题及答案_第1页
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文档简介

试卷第=page22页,总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat23页福建省南平市高三上学期第一次综合质量检查数学(文)试题及答案一、单选题1.设集合,,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】先求集合的补集,再进行交集运算,即可得答案.【详解】因为集合,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查集合的基本运算,即补集和交集,考查基本运算能力,属于基础题.2.若复数为纯虚数,则实数的值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】对得复数进行除法运算,再利用纯虚数的概念,求得的值.【详解】因为,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的运算及纯虚数的概念,考查基本运算求解能力,属于基础题.3.已知,,(其中为自然对数的底数),则()A. B.C. D.【答案】C【解析】引入中间变量0和1,易得,即可得到答案.【详解】因为,则;因为,则;因为,则;所以.故选:C【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较式子的大小,考查数形结合思想的应用.4.已知平面向量与满足,,且,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】对式子进行平方,再将已知条件代入计算求解,即可得答案.【详解】因为,所以,因为,所以,所以.故选:C【点睛】本题考查向量的模的计算、向量数量积、向量垂直关系,考查逻辑推理能力和运算求解能力.5.一个盒子中装有个大小、形状完全相同的小球,其中个白球,个红球,个黄球,若从中随机取出个球,记下颜色后放回盒子,均匀搅拌后,再随机取出个球,则两次取出小球颜色不同的概率是()A. B. C. D.【答案】A【解析】列出所有等可能结果,计算两次取出小球颜色不同事件所含的基本事件总数,再利用古典概型概率计算公式求解.【详解】记白球为1,红球为2,3,黄球为4,则试验的基本事件总数有:共16个基本事件,则两次取出小球颜色不同的基本事件有:共10个基本事件,所以两次取出小球颜色不同的概率为.故选:A.【点睛】本题考查古典概型概率计算,考查基本运算求解能力,求解时注意区分有放回和无放回的区别.6.已知椭圆:过点,椭圆的离心率为,则椭圆的焦距为()A. B. C. D.【答案】B【解析】将点代入椭圆方程得,结合离心率及,求得的值,即可得到答案.【详解】因为椭圆的离心率为,所以,因为椭圆过点,所以,又,解得:,所以焦距为.故选:B.【点睛】本题考查椭圆的离心率及焦距的概念,考查基本运算求解能力,求解时注意焦距是而不是.7.已知函数,把函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象.下列关于函数的说法正确的是()A.在上是减函数 B.在区间上值域为C.函数是奇函数 D.其图象关于直线对称【答案】D【解析】先通过平移得到,再一一对照选项进行验证,即可得到答案.【详解】对A,因为,所以,所以的递减区间为,不是递减区间的子区间,故A错误;对B,因为,所以,利用单位圆三角函数线可得,函数的值域为,故B错误;对C,因为,所以函数为偶函数,故C错误;对D,当时,,故D正确;故选:D.【点睛】本题考查函数图象的平移、三角函数的单调性、奇偶性、周期性,考查逻辑推理能力和数形结合思想的应用,求解时注意左右平移是针对自变量而言的.8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:“松长六尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,何日竹逾松长?”下图是解决此问题的一个程序框图,其中为松长、为竹长,则输出的()A. B. C. D.2【答案】C【解析】根据的输入值分别为,,执行程序中的循环结构,从而得到输出值.【详解】由题意得:的输入值分别为,,,,,此时,终止循环,输出.故选:C【点睛】本题考查数学文化与程序框图的交会,考查阅读理解能力和有条理思考问题的能力,求解时注意根据判断框的条件,得到何时终止循环.9.函数在上的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【解析】先根据函数为奇函数,排除B,C选项,再根据函数值的正负,排除选项,从而得到正确答案.【详解】因为,所以函数为奇函数,故排除B,C选项;当时,,所以,故排除D;故选:A【点睛】本题考查利用函数解析式挖掘函数的性质,考查数形结合思想的应用,求解时要充分利用选项中的图象,提取有用的信息,并利用排除法得到正确选项.10.给出下列四个命题:①,使得;②是恒成立的充分条件;③函数在点处不存在切线;④函数存在零点.其中正确命题个数是()A. B. C. D.【答案】B【解析】对①,存在成立;对②,求出使恒成立的的取值范围,再根据子集关系判断;对③,利用导数的几何意义可求出切线方程;对④,利用零点存在定理判断零点存在性.【详解】对①,当时,显然成立,故①正确;对②,当恒成立时,或解得:,因为推不出,所以不是恒成立的充分条件,故②错误;对③,因为,所以,所以切线方程为,故③错误;对④,因为,所以函数在存在零点,故④正确;故选:B【点睛】本题考查命题真假的判断、简易逻辑知识的运用、导数的几何意义、零点存在定理,考查逻辑推理能力和运算求解能力.11.在中,,是线段上的点,,若的面积为,则的最大值是()A. B. C. D.【答案】B【解析】将的面积分成两个小三角形面积和,得到关于的方程,再利用基本不等式求最值.【详解】因为,所以,即,因为,所以,等号成立当且仅当.故选:B【点睛】本题考查三角形面积公式、基本不等式的应用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意等号成立的条件.12.已知定义在R上的连续函数满足,且,为函数的导函数,当时,有,则不等式的解集为()A. B.C. D.【答案】D【解析】根据不等式构造函数,再利用导数研究函数在的单调性,再根据对称性得到的图象特征,将不等式化为:或即可得到答案.【详解】,,在单调递增,,当时,,当时,,又,当时,,当时,,又满足,图象关于直线对称,当时,,当时,,不等式等价于或解得:.故选:D【点睛】本题考查抽象函数不等式的求解,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解的关键是根据题目所给的不等式构造函数,再利用导数研究所构造函数的性质,进而求解不等式.二、填空题13.已知,则__________.【答案】【解析】∵∴,即∴∴故答案为.14.已知函数是公差为等差数列,若,,成等比数列,则________;【答案】【解析】利用等比中项性质得,再利用等差数列的通项公式求得,进而得到的值.【详解】因为,,成等比数列,所以,所以,解得:,所以.故答案为:【点睛】本题考查等比数列中项的性质、等差数列通项公式的应用,考查基本量法的运用.15.已知直三棱柱的高为,,,则该三棱柱外接球的表面积为________;【答案】【解析】根据三棱柱的特征,先确定其外接球球心的位置,再列出关于外接球半径的方程,解方程即可得到答案.【详解】设上下底面的外心分别为,则球心为的中点,则,因为底面外接圆半径为外接球的半径所以外接球的表面积为:.故答案为:.【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理的应用、柱体体积、球的表面积计算公式、三棱柱与其外接球的关系,考查空间想象能力和运算求解能力.16.已知点,分别为双曲线:的左、右焦点,为直线与双曲线的一个交点,若点在以为直径的圆上,则双曲线的离心率为________.【答案】【解析】求出点,再由点在以为直径的圆上得,接着利用向量数量积为0,从而得到关于的方程,进而得到离心率.【详解】设,代入化简得,由已知得,则.因为所以,又,整理得:,故答案为:【点睛】本题考查双曲线的离心率,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意平面几何知识的应用及向量知识的应用.三、解答题17.国家大力提倡科技创新,某工厂为提升甲产品的市场竞争力,对生产技术进行创新改造,使甲产品的生产节能降耗.以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对照数据.(吨)(吨)(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;(,)(2)已知该厂技术改造前生产吨甲产品的生产能耗为吨,试根据(1)求出的线性回归方程,预测节能降耗后生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨?【答案】(1)(2)1.75吨.【解析】(1)直接利用最小二乘法求回归直线方程;(2)将代入回归方程可预测相应的生产能耗,从而求得生产能耗比技术改造前降低的吨数.【详解】(1),则所求的方程为(2)把代入回归方程可预测相应的生产能耗是,吨,所以,预测生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低1.75吨.【点睛】本题考查回归直线方程的求解,考查数据处理能力和运算求解能力.18.已知等比数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)利用临差法得到,再根据求得,从而求得数列通项公式;(2)由题意得,再利用裂项相消法求和.【详解】(1)当时,.当时,,因为是等比数列,所以满足式,所以,即,因此等比数列的首项为1,公比为2,所以等比数列的通项公式.(2)由(1)知,则,即,所以,所以.【点睛】本题考查数列的通项公式、裂项相消法求和,考查方程思想、转化与化归思想的应用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意先对通项进行改写,再决定选用什么方法求和.19.如图,在几何体中,四边形为矩形,且,为的中点.(1)求证:平面;(2)若平面平面,,,求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)取A1B1中点F,连接EF,FC1,证明CE∥C1F,即可证明线面平行;(2)根据三棱锥的等积法得,即可求得答案.【详解】(1)证明如图,取A1B1中点F,连接EF,FC1,∵E为AB1中点,∴EF//A1A且EF=A1A,∵AA1∥CC1且AA1=2CC1,∴EF//CC1且EF=CC1,即四边形EFC1C为平行四边形,∴CE∥C1F.∵,,∴CE∥平面A1B1C1.(2)∵平面ABB1A1⊥平面ABC,交线为AB又矩形ABB1A1中AA1⊥AB,∴AA1⊥平面ABC,∵AA1∥CC1,∴CC1⊥平面ABC,∵BB1∥CC1,,,∴BB1∥,∴【点睛】本题考查线面平行判定定理、三棱锥体积的求解,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意等积法的应用.20.已知抛物线:准线为,焦点为,点是抛物线上位于第一象限的动点,直线(为坐标原点)交于点,直线交抛物线于、两点,为线段中点.(1)若,求直线的方程;(2)试问直线的斜率是否为定值,若是,求出该值;若不是,说明理由.【答案】(1)(2)是,定值0【解析】(1)由=5及抛物线定义得点横坐标为4,求出直线OA的方程,进而求得,利用点斜式方程即可得到直线的方程;(2)由已知直线OA的斜率存在,设直线OA的方程为,与准线联立解得;由为线段中点,得坐标为,将直线OA的方程与抛物线方程联立可得,计算直线的斜率即可得到答案.【详解】(1)抛物线的准线为,的焦点为,由及抛物线定义得点横坐标为4,由点位于第一象限内且在抛物线上得点坐标为,于是=1,则直线OA的方程为,与准线联立解得,因此=,所以直线的方程为,即.(2)由已知直线OA的斜率存在,设直线OA的方程为,与准线联立解得,于是,由已知,故设直线的方程为,与联立并消去得,,其中.设,则,则,由于为线段中点,于是点坐标为,直线OA的方程,与联立解得,所以直线的斜率为0,综上可知直线的斜率为定值0.【点睛】本题考查直线方程的求解、直线与抛物线中的定值问题,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解的关键是通过坐标法思想,将点的坐标及斜率转化成用变量表示.21.已知函数,其中.(1)试讨论函数的单调性;(2)若,试证明:.【答案】(1)在区间上为减函数;在区间上为增函数.(2)证明见解析【解析】(1)对函数进行求导得,再对分成和两种情况讨论,从而得到函数的单调性;(2)将不等式等价于,再对分成和两种情况讨论.【详解】(1)由知:(i)若,,∴在区间上为增函数.(ii)若,∴当时,有,∴在区间上为减函数.当时,有,∴在区间上为增函数.综上:当时,在区间上为增函数;当时,在区间上为减函数;在区间上为增函数.(2)若,则要证,只需证,即证:.(i)当时,,而∴此时成立.(ii)当时,令,,∵,设,则,∴∴当时,单调递增,∴,即∴在单调递增,∴即,即,∴综上:当时,有成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式,考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,属于难题.22.在平面直角坐标系中,以原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为:(为参数),,为直线上距离为的两动点,点为曲线上的动点且不在直线上.(1)求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程.(2)求面积的最大值.【答案】(1)直线的直角坐标方程为,曲线的普通方程为(2)【解析】(1)直线的极坐标方程利用两角差的余弦公式展开,再利用公式,将方程化成普通方程形式;对曲线的参数进行消参,从而得到普通方程;(2)设点,将点到直线的距离转化为三角函数的值域问题.【详解】(1)直线的极坐标方程化成,,直线的直角坐标方程为,曲线的参数方程化成:.平方相加得,即(2)设点,则到直线的距离为:,当时,,设的面积为,则.【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程的互化、利用三角函数的值域求点到直线距离的

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