基于二次插值函数的分形插值曲面

基于二次插值函数的分形插值曲面

0分形插值曲面的生成分段插值曲线是截面几何理论的重要组成部分。广泛应用于图形和数据处理、科学研究、地理科学和计算机工程建模等领域。在矩形区域中,一般通过构造二元迭代函数系生成分形插值曲面,但有严格的限制条件。文献给出了矩形区域上分形插值曲面更加一般的连续性条件,但这一条件也过于苛刻,且在实际应用中不易判别。文献中应用一元递归分形插值函数生成分形插值曲面,并给出了这类插值曲面盒维数的一个下界估计,这种方法解除了边界插值结点共线和压缩因子相等的限制条件,使得分形插值更具灵活性,更有利于实际应用。本文研究了由二次分形插值函数生成的分形插值曲面的变差与盒维数。第1节介绍了基于二次插值函数的分形插值曲面的构造方法;第2节给出了连续函数中心变差的概念,以及连续函数图像的盒维数的计算公式;第3节研究了分形插值函数的中心变差的性质,对分形插值曲面的的中心变差进行了估计,并利用二元连续函数的中心变差与其图像计盒维数之间的关系,得到了分形插值曲面的计盒维数。1定义双曲迭代函数,型fy,a设I=,J=,△={(xi,yj,zij):i=0,1,…,N;j=0,1,…,M}为I×J上的插值结点,其中,0=x0<x1<…<xN=1;0=y0<y1<…<yM=1。记Ii=[xi-1,xi],Jj=[yj-1,yj]和K=J×R。对于i=0,1,2,…,N,假设ui(y),y∈J,分别是过插值结点△xi={(xi,yj,zij):j=0,1,2,…,M}的一组连续函数。现给定压缩因子集S={s1,s2,…,sN},其中,|si|<1‚i=1,2,⋯,Ν|si|<1‚i=1,2,⋯,N。固定y∈J,对于i=1,2,…,N,令Fy,i(x,z)=siz+by,ix2+cy,i满足条件:Fy,i(x0,u0(y))=ui-1(y);Fy,i(xN,uN(y))=ui(y),(1)定义映射wy,i:K→K,wy,i(xz)=(Li(x)Fy,i(x,z))=(aix+eisiz+by,ix2+cy,i),i=1,⋯,Ν,(2)其中,ai=xi-xi-1;ei=xi-1。由条件(1)可得:{siu0(y)+by,ix20+cy,i=ui-1(y);siuΝ(y)+by,ix2Ν+cy,i=ui(y)。(3)定义度量d((x1,z1),(x2,z2))=|x1-x2|+θ|z1-z2|,其中θ=min{1-ai}4max{|by,i|}。易证wy,i在此度量下是压缩映射。则由文献可得下面的定理。定理1对y∈J=,{K,wy,i,i=1,2,…,N}构成双曲迭代函数系,且存在I上的连续函数fy,使得fy的图像Γ(fy)={(x,fy(x))|x∈Ι}是迭代函数系{K,wy,i,i=1,2,…,N}的不变集,即Γ=∪Νi=1wy,i(Γ),并且fy(xi)=ui(y),i=1,2,…,N,称fy是对应于{K,wy,i,i=1,2,…,N}的二次分形插值函数。定义函数F:×→R,使得F(x,y)=fy(x)。(4)引理1设fy、fy′分别为过插值集△y={(xi,y,ui(y)):i=0,1,…,N},△y′={(xi,y′,ui(y′)):i=0,1,…,N}的分形插值函数,且有相同的压缩因子S={s1,s2,…,sN},则:|fy(x)-fy′(x)|≤3(1+s)1-smax{|ui(y)-ui(y′)|,i=0,1,⋯,Ν},其中s=max{|si|,i=1,2,⋯,Ν}。引理2F为式(4)定义的二元连续函数,则F连续。证明|F(x,y)-F(x′,y′)|≤|fy(x)-fy(x′)|+|fy(x′)-fy′(x′)|,因为fy连续,则|x-x′|<δ1时,∀ε>0,|fy(x)-fy(x′)|<ε2,又由引理1得:|fy(x′)-fy′(x′)|≤3(1+s)1-smax{|ui(y)-ui(y′)|,i=1,2,⋯,Ν},又ui连续,则|y-y′|<δ2时,∀ε>0,max{|ui(y)-ui(y′)|<1-s6(1+s)ε。所以,|fy(x′)-fy′(x′)|<ε2。故|x-x′|+|y-y′|<min{δ1,δ2}时,|F(x,y)-F(x′,y′)|<ε,即证F连续。2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,连续函数的变差是量化函数图像粗糙性质的一个重要参数,对于变差的性质及它与分形维数的关系有了较多的研究,参见文献。为了方便以后的研究,下面给出中心振幅与中心变差的定义。设D={ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn):ai≤ξi≤bi,i=1,2,…,n}⊂Rn,任给ξ∈D,令D[ξ;δ1,δ2,…,δn]=D∩([ξ1-δ1,ξ1+δ1]×[ξ2-δ2,ξ2+δ2]×…×[ξn-δn,ξn+δn])。定义1设f为D上的连续函数,实数δ1,δ2,…,δn≥0,对于ξ∈D,称supξ´∈D[ξ;δ1,δ2,⋯,δn]|f(ξ´)-f(ξ)|为f在点ξ处的(δ1,δ2,…,δn)-中心振幅,记为Ocf;δ1,δ2,⋯,δn(ξ)。由振幅的定义,显然振幅与中心振幅有下面关系:12Οf;δ1,δ2,⋯,δn(ξ)≤Οcf;δ1,δ2,⋯,δn(ξ)≤Οf;δ1,δ2,⋯,δn(ξ)。(5)定义2称∫DOcf;δ1,δ2,⋯,δn(ξ)dξ为函数f在D上的(δ1,δ2,…,δn)-中心变差,记作Vcf;δ1,δ2,…,δn(D)。特别地,当δ1=δ2=…=δn=δ时,简记为Vcf;δ(D)。由式(5),显然有:12Vf;δ1,δ2,⋯δn(D)≤Vcf;δ1,δ2,⋯δn(D)≤Vf;δ1,δ2,⋯δn(D)。根据计盒维数与变差的关系,容易得到计盒维数与中心变差的关系。定理2设Γ(f,D)是连续函数f的图像,则:¯dimB(Γ(f,D))=¯limδ→0+(n+1-logVcf;δ(D)logδ);dim¯B(Γ(f,D))=lim¯δ→0+(n+1-logVcf;δ(D)logδ)。3中心振幅定义引理3设fy是定理1确定的分形插值函数,则Vcfy;δ(I)在J上关于y连续。证明Γ={fy:y∈J}⊂C()在<C,|⋅|∞>上紧,则Γ等度连续,即对每一x0∈I,ε>0,∃δ>0,若|x-x0|<δ,对∀y∈J,|fy(x)-fy(x0)|<ε2;|fy0(x)-fy0(x0)|<ε2。|y-y0|<δ时,|fy(x)-fy(x0)|-|fy0(x)-fy0(x0)|≤|fy(x)-fy(x0)|+|fy0(x)-fy0(x0)|,则Ocfy;δ(x)<Ocfy0;δ(x)+ε,因此,Vcfy;δ(I)<Vcfy0;δ(I)+ε。故|Vfy;δ(Ι)-Vfy0;δ(Ι)|<ε,即证Vfy;δ(I)连续。引理4若对于某一yc∈J,插值结点{xi,ui(yc),i=0,1,…,N}不共线,则存在闭区间[a,b]⊂J,对于任意y∈[a,b],插值结点{xi,ui(y),i=0,1,…,N}均不共线。证明因为{xi,ui(yc),i=0,1,…,N}不共线,存在i0∈{1,…,N-1},使得h(yc)≠0,其中,h(y)=ui0(y)-[u0(y)+(uN(y)-u0(y))xi0]。由于ui0(y)、u0(y)和uN(y)均为区间J上的连续函数,从而h(y)在J上也连续。因此,存在闭区间[a,b]⊂J,对于任意y∈[a,b],函数h(y)≠0。所以,当y∈[a,b]时,点集{xi,ui(y),i=0,1,…,N}均不共线。引理证毕。定理3F是由式(4)定义的二元连续函数,对于任意0≤a<b≤1有:VcfyA;δ(Ι)(b-a)≤VcF;δ(Ι×J)≤VcfyB;δ(Ι)+3(1+s)1-sΝ∑i=1Vcui;δ(J),(6)其中,VcfyB;δ(I)=max{Vfy;δ(I),yB∈J};VcfyA;δ(I)=min{Vfy;δ(I),yA∈[a,b]}。证明任给(x,y)∈D,由中心振幅定义容易证明Ocfy;δ(x)≤OcF;δ(x,y)。另一方面,由于|F(x,y)-F(x′,y′)|≤|f(x,y)-f(x,y′)|+|f(x,y′)-f(x′,y′)|,由引理1得:ΟcF;δ(x,y)≤Οcfy;δ(x)+3(1+s)1-sΝ∑i=1Οcui;δ(y)。因此,ΟcF;δ(x,y)≤ΟcF;δ(x,y)≤Οcfy;δ(x)+3(1+s)1-sΝ∑i=1Οcui;δ(y)。则:∫JVcfy;δ(Ι)dy≤VcF;δ(Ι×J)≤∫JVcf;δ(Ι)dy+3(1+s)1-sΝ∑i=1Vcui;δ(J)。(7)由引理3知:存在yB∈J和yA∈[a,b],使得:VcfyB;δ(I)=max{Vfy;δ(I),yB∈J},VcfyA;δ(I)=min{Vfy;δ(I),yA∈[a,b]}。由式(7)可得式(6)成立。定理即证。定理4F∶×→R是连续函数,Γ(F,D)是它的图像,设maxdimB(fy)=d1,y∈J,max{dimB(ui),i=1,2,…,N}=d2且d1≥d2,则:dimB(Γ(F,D))=dimB(Γ(F,D))=dimB(Γ(F,D))=1+d1。证明(Ⅰ)∑Νi=1|si|>1,且△y={(xi,y,ui(y)):i=0,1,…,N}不共线时,d1>1,由文献中结论及定理2可得,存在正常数B1、B2和B3,以及δ0>0,使得当0<δ<δ0时,有VcfyA;δ(I)≥B1δ2-d1,VcfyB;δ(I)≤B2δ2-d1,Vcui;δ(J)≤B3δ2-d2。再由定理2和定理3得:¯dim(Γ(F,D))≤¯limδ→0+(3-log[B2δ2-d1+3(1+s)1-sB3δ2-d2]logδ)=1+d1;dim¯B(Γ(F,D))≥lim¯δ→0+(3-log[(b-a)B1δ2-d1]logδ)=1+d1。(Ⅱ)∑Μj=1|sj|=1时,d1=1,存在正常数B4和δ0,使得当0<δ<δ0时有:VcfyB;δ(I),Vcui;δ(J)≤(-B4)lnδ·δ,从而,¯dimB(Γ