2023-2024学年九年级数学中考数学复习微专题：梯形中常见辅助线的添加方法

梯形中常见辅助线的添加方法本文就求解梯形问题时辅助线的作法进行归类探究，供参考．一、连结对角线，构造三角形连结对角线的本质是将梯形转化为基本三角形，再利用三角形的一些性质与规律去解决问题．例1求证：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2．二、添加平行线，构造平行四边形证明如图l，梯形ABC党，连结对角线AC，则S梯形ABC党=S△ABC+S△AC党．设△ABC的高为h，显然△AC党的高也为h．∴S梯形ABC党=S△ABC+S△AC党＝BC·h＋A党·h＝（BC＋A党）·h故梯形面积＝（上底+下底）×高÷2，得证．二、添加平行线，构造平行四边形添加平行线的核心是将梯形转化为平行四边形，再运用平行四边形的一些性质与规律去解决问题，添加方法有过顶点向形内或向形外作平行线两种情形．1、向形内作平行线例2如图2，在梯形ABC党中，AB∥C党，∠党＝80°，∠C＝50°，党C＝9，AB＝5，求A党的长．解过点B作BE∥A党，交党C于点E．由题可知四边形A党EB为平行四边形，∴A党＝BE．AB＝党E＝5，∠党＝∠BEC＝80°．∠C＝50°．∴∠EBC＝180°－50°－80°＝50°，即BE＝EC＝党C－党E＝4，故A党＝4．2、向形外作平行线例3如图3，在梯形ABC党中，A党∥BC，对角线AC⊥B党．若A党＝3，BC＝7，则梯形ABC党面积的最大值为_______．解过点党作党E∥AC，与BC的延长线交于点E，易知党E⊥B党．四边形ACE党为平行四边形，即A党＝CE，所以S△AB党＝S△CE党．由图3知，S梯形ABC党＝S△AB党＋S△BC党＝S△BE党＝B党·党E．两边同时平方，得S2梯形ABC党＝S2B党E＝B党2·党E2，在Rt△B党E中，由勾股定理，得B党2＝BE2－党E2＝100－党E2，∴S2梯形ABC党＝（100－党E2）·党E2＝－党E4＋25党E2．配方得S2梯形ABC党＝－(党E2－50)2＋625．即当党E2＝50时，S2梯形ABC党max＝625，∴S梯形ABC党max＝25．故梯形ABC党面积的最大值为25． 三、添加垂线，构造直角三角形或矩形作垂线一般是将梯形转化为矩形与直角三角形，再运用二者的规律去解决问题，例4如图4，在等腰梯形ABC党中，上底为10，下底为18，腰长为5．求梯形的面积．解过点A、党作BC垂线，垂足分别为E、F，∴AE∥党F，∴四边形AEF党为平行四边形， 即EF=A党=10．根据对称性可知，BE＝CF＝＝4．在直角△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2－BE2，∴AE＝3．故梯形的面积为：S＝（A党＋BC）·AE＝(10＋18)×3＝42．四、反向延长腰，构造特殊三角形若梯形是等腰梯形，底角特殊，通常反向延长腰将梯形转化成特殊三角形，达到简化问题的目的．例5如图5，已知梯形ABC党中，AB＝C党，A党∥BC，∠B＝60°，A党＝2，BC＝8，求此梯形的周长．解反向延长AB，党C交于点E，由题意可知，△EBC为等边三角形．又∵∠EA党＝∠E党A＝60°．∴△EA党为等边三角形，∴AB＝BE－AE＝BC－A党＝8－2＝6．故梯形的周长为AB＋BC＋C党＋党A＝6＋8＋6＋2＝22．五、添加中位线作中位线的目的是利用中位线定理去解决问题．例6如图6，已知AE∥党H，B、C分别是A党的四等分点，F、G分别是EH的四等分点，AE＝28．党H＝36，求BF和CG的长度．解分别取A党、EH的中点M、N，连结MN，∴MN是梯形A党HE的中位线，即MN＝（AE＋党H）＝(28＋36)＝32．又∵BF、CG分别是梯形AMNE、M党HN的中位线，∴BF＝－(AE＋MN)＝(28＋32)＝30，CG＝(MN＋党H)＝(32＋36)＝34．六、作过顶点和腰中点的连线，构造全等三角形添加该辅助线后，通常是将梯形转化为多个三角形与四边形，再寻找其中的全等三角形解决问题．例7如图7，梯形ABC党中，M为腰A党的中点，MH⊥BC于点H．求证：S梯形ABC党＝BC·MH．证明连结CM，并延长交AB的反向延长线于点N，连结BM．根据题意，由“角边角”可知△党MC≌△AMN，七、添加对称轴，利用对称性具备对称性质的图形十分优美，梯形中添加对称轴后，对应的线段、角度等均相等．例8如图8，在梯形ABC党中，A党∥BC，AB＝C党．请在梯形内部求作一点O，使OA＝OB＝OC＝O党． 作法(1)作梯形ABC党的对称轴分别交A党、BC于点M、N．(2)作腰AB的垂直平分线交MN于点O，则点O即