专题05导数与不等式（讲）【原卷版】

第一篇热点、难点突破篇专题05导数与不等式（讲）真题体验感悟高考1．（2022·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．2．（2019·天津·高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．3．（2022·全国·高考真题（理））已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．总结规律预测考向（一）规律与预测1.高考对本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.2.涉及导数与不等式问题，主要有：单变量不等式的证明、双变量不等式的证明、不等式恒成立时求参数的取值范围、含导数不等式的求解问题、比较函数值大小问题等（二）本专题考向展示考点突破典例分析考向一导数与解不等式问题【核心知识】1.利用导数解决解不等式或取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造，，想到构造等.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.【典例分析】典例1.（2022·宁夏六盘山高级高三阶段练习（理））若，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．典例2.（2021·河南·温县第一高级高三月考（理））函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（）A． B．C．或 D．或典例3.（2022·上海市奉贤高三期中）定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，都有，且，则不等式的解集是_________【总结提升】(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．考向二利用导数比较大小【核心知识】利用函数的单调性、构造函数法（常见构造函数法见考向一）等，是应用导数比较大小的常见方法.【典例分析】典例4.（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（

）A． B． C． D．典例5.（2022·广东·深圳实验光明部高三期中）定义在上的偶函数满足,当时,,则（

）A． B．C． D．典例6.（2022·湖北·荆门市龙泉高三阶段练习）已知，，且，则（

）A． B．C． D．【总结提升】从上述典型例题发现，无论是比较函数值的大小，还是比较某些自变量值的大小，应用导数研究函数的单调性，构造函数，是常见方法，也是基本方法．考向三不等式恒成立问题中求参数值（范围）【核心知识】1.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.2.含参数的不等式恒成立的处理方法：①的图象永远落在图象的上方；②构造函数法，一般构造，；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值.3.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.【典例分析】典例7.（2022·河南驻马店·高三期中（理））已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．典例8.（2022·湖北·高三期中）若不等式对任意恒成立，则a的取值范围是_______________.典例9.（生标准学术能力诊断性测试2022-2023学年高三上学期11月测试）已知，，若对于任意，都有，则实数的取值范围为______.【规律方法】1.不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.2.在解题过程中，必要时可作出函数图象，借助几何图形直观分析转化.通过围绕参数分类讨论不等式是否成立，不失为一种好的方法【如例9】.考向四单变量不等式的证明【核心知识】1.利用单调性证明单变量不等式一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可．2.利用最值证明单变量不等式利用最值证明单变量的不等式的常见形式是f(x)>g(x)．证明技巧：先将不等式f(x)>g(x)移项，即构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，转化为证不等式h(x)>0，再次转化为证明h(x)min>0，因此，只需在所给的区间内，判断h′(x)的符号，从而判断其单调性，并求出函数h(x)的最小值，即可得证.3.通过题目中已有的或常用的不等式进行证明．适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论，如和是两个典型的不等式，可变形得，.4.利用赋值法证明与正整数有关的不等式.5.利用分析法，通过不等式的等价转换，改证新的不等式成立.【典例分析】典例10.（2023·四川资阳·模拟预测（文））已知函数．(1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程；(2)当时，对于任意，证明：．典例11.（2022·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．典例12.（2022·河南驻马店·高三期中（理））已知函数(1)求的最大值；(2)求证：【总结提升】1.常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋eq\f(1,2)x2,当且仅当x＝0时取等号；(4)当x≥0时，ex≥eq\f(e,2)x2＋1,当且仅当x＝0时取等号；(5)eq\f(x－1,x)≤lnx≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号；(6)当x≥1时，eq\f(2x－1,x＋1)≤lnx≤eq\f(x－1,\r(x))，当且仅当x＝1时取等号．2.数列不等式的证明，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．考向五双变量不等式的证明【核心知识】破解含双变量（参）不等式的证明的关键一是分析转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．【典例分析】典例13.（2021·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.典例14.（2020·天津·高考真题）已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．典例15.（2022·江苏南通·高三期中）已知函数的极值为．(1)求p的值，并求的