自动控制原理-非线性控制系统分析

1非线性控制系统分析8-1非线性控制系统概述线性控制系统是指系统中所有环节的输入输出都呈线性关系,若有的环节所具有的非线性特性不很强烈,且可对其线性化,则也可当作线性环节处理.但如此处理后,应使对系统的分析和设计的精度满足工程上的要求.

系统中只要有一个环节的非线性特性很强烈,对其线性化将影响对系统分析和设计的精度或者非线性环节属本质非线性无法对其线性化,则只能用非线性理论对系统进行分析和设计.

在工程实际中,大多数被控对象都具有非线性特性,因此学习和研究非线性控制理论具有很现实的意义.在某些情况下,在线性控制系统人为地加入适当的非线性因素反而有利于控制质量的提高.2

在系统中,只要有一个环节或元件有非线性特性,则整个系统就叫非线性系统,如下图所示.上图中,大方框表示一具有理想继电特性的非线性环节,表示非线性系统中线性部分的传递函数.

非线性的特性是各种各样的,教材P.350图8-1及P.379表8-1给出了一些工程上常见的典型非线性特性.

3饱和特性

在电子放大器中常见的一种非线性，如图8－1所示，

饱和装置的输入特性的数学描述如下：

(8-1)xekbe0-e0

图8－1饱和特性

4死区特性

死区特性也称为不灵敏区，如图8-2所示。其数学描述如下：

X(t)e(t)e0-e0k

图8－2死区特性(8-3)5间隙

如图8-3所示，它的数学描述如下：X(t)>0X(t)<0X(t)=0e0-e0eb-bkk

图8－3间隙

(8-4)x...6继电特性

在使用继电特性时，有四种可供选择的形态，如图8－4a所示理想继电特性0Me图8-4(a)理想的继电特性

（8-5）x7具死区的继电特性（8-6）xe-e0e00图8-4(b)具死区的继电特性

8具磁滞回环的继电特性e(t)>0,e>e0;e(t)<0,e>-e0e>0,e<e0;e<0,e<-e0

....xe-e0e00M图8-4（c)具滞环的继电特性

(8-7)9具磁滞回环和死区的继电特性

e>0,e>e0e<0,e>me0e>0,-me<e<e0e<0,-e0<e<me0e>0,e<-mee<0,e<-e0......xe-e0-me00me0e0M图8-4(d)具磁滞回环和死区的继电特性

(8-8)10

1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的方法。

2）描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。

3）计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。

研究非线性系统的方法11数有关,还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小有关.

由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程,而从数学上讲,非线性微分方程没有一个统一的解法,再由于第二个特征,对非线性控制系统也没有一个统一的分析和设计的方法,只能具体问题具体对待.

本章将介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描述函数法,是在非线性控制系统满足一定的条件下,将线性控制理论的某些内容给以扩充和变通后得出的,因此具有一定的局限性.8-2非线性控制系统的特征非线性控制系统有如下两个基本特征:(1)非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程

(2)非线性控制系统的性能不仅与系统本身的结构和参12非线性系统的运动特点(一)稳定性与系统的结构和参数及系统的输入信号和初始条件有关。研究时应注意：

1、系统的初始条件；

2、系统的平衡状态。13非线性系统的运动特点tE0e(t)(二)系统的零输入响应形式

某些非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态有关。14

非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。非线性系统的运动特点(三)极限环（自激振荡）15e(t)频率0振幅K′<0>0K

′K′=0K非线性弹簧M重物粘性阻尼器B系统微分方程：M+B+Kx+x=0K′3x..x.(四)频率响应16系统进行强迫振荡实验时的微分方程是：M+B+Kx+x=PcoswtK′3x..x.17频率响应具有硬弹簧的机械系统ωω00x123465K′>0具有软弹簧的机械系统ω0ω40x51326K′<0188-3相平面法

1.相平面法的基本概念所谓相平面法,是一种二阶微分方程的图解法.此法即可用于线性二阶系统,也可用于线性部分是二阶的非线性系统.该方法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上的相轨迹，从而比较直观、准确地反映系统的稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响。相轨迹的绘制方法步骤简单、计算量小，特别适用于分析常见非线性特性和一阶和二阶线性环节组合而成的非线性系统。设二阶系统可用下面常微分方程描述:上面微分方程的解可用对的关系曲线表示,也可用与的关系曲线表示,当用后一种关系曲线时,是把曲线画在的直角坐标平面上,而作为参变量在平面上并不出现.19设下图为式(1)在初始条件情况下的与的关系曲线.当时,平面上的点随时间的增大,将沿曲线移动.当初始条件确定后,曲线也确定,则曲线上任何一点的坐标也确定.当的值确定后,由式(1)可知的值也唯一确定,从而系统的整个运动状态也完全确定.整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动性质.上图中的平面叫相平面,曲线叫系统在某一初始条件下的相轨迹.由于系统的初始条件可有无穷多个,因此相应的相轨迹也有无穷多条,这无穷多条相轨迹构成的相轨迹簇叫相平面图.因为20所以,当确定后,也唯一确定.而是相轨迹在处的曲线斜率,由于每一点上的斜率确定,所每一点上只能通过一条相轨迹,这说明由不同初始条件出发的相轨迹曲线互不相交.如果在相平面上某些点的,即曲线在这一点上的斜率不定,可有无穷多条相轨迹通过这一点,称这一点为系统的平衡点,或叫奇点.在相平面的上方(如下图),由于所以总是朝大的方向变化,故相轨迹上的点总是按图中箭头所指从左向右移动.在相平面的下方,由于所以总是朝小的方向变化,故相轨迹上的点总是按图中箭箭头所指从右向左移动.在轴上,由于,即不变化,达到最大值或最小值,故相轨迹曲线与轴的交点处的切线总垂直于轴.212.相轨迹作图法

先以线性系统为例,说明相轨迹曲线的画法.(1)解析法根据系统的微分方程求出相轨迹方程,然后由相轨迹方程绘制相平面图,此方法仅用于简单的一﹑二阶线性系统或分段线性系统.(a)线性一阶系统系统自由运动的微分方程为:相轨迹方程为:设初始条件:,当T>0,相轨迹如下图系统从任一初始点出发,均将沿相轨迹收敛于原点.当T<0,相轨迹如图中绿线所示.系统从任一初始点出发均将沿相轨迹发散至无穷.22(b)线性二阶系统系统自由运动的微分方程为:式(5)可用两个一阶微分方程联立表示:式(6)除以式(7):第一种情况,,式(8)为:对式(9)两边积分得:23式(10)中,,是由初始条件决定的积分常数,当取不同的数值时,式(10)在平面上表示一簇同心的椭圆,如下图所示.每一个椭圆相当于一个简谐运动.由于在原点,,所以,原点叫奇点.这种奇点对于式(9)是唯一的一个,故又叫孤立奇点,又由于奇点附近的相轨迹是一簇封闭的曲线所以这样的孤立奇点又叫中心点.在的其它各种情况下,通过对式(8)两边积分求出与间的解析表达式,不仅求解过程较困难和复杂即使由解析表达式画相轨迹也不太容易.教材P.360~P.367给出了其它各种情况下的相轨迹图及关于各奇点的概念.24(2)等倾线法等倾线法是对一般二阶系统画相轨迹的图解法.设二阶系统一般形式的微分方程如下:式(11)又可化为:正是相轨迹方程的导函数,当取不同值时,的值也不同,即相轨迹上各点的曲线斜率不一样,但对于一个微分方程,当初始条件不同时,其有一簇相轨迹,而这一簇相轨迹上各斜率相同的点连起来就可得一条曲线,这条曲线叫等倾线.从数学角度分析,有:令为某一常数,则是关于的方程.25

当各不相同的相轨迹通过上面方程所表示的曲线时,各条相轨迹与这一曲线的交点处的斜率均等于例:设一二阶线性系统的齐次微分方程为:即,此系统在初始条件激励下呈衰减振荡过程.由式(13)可得:令,得等倾线方程为:若令,则等倾线如下图所示.如则等倾线如图中蓝线.依此类推,取不同的值,由式(15)画出足够密的一簇等倾线,然后按各条等倾线所表示的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连成一条光滑的曲线,如左上图所示.26图中相轨迹表示系统在某一初始条件下的运动轨迹.此系统有一对实部为负的共轭复根,因此在任何一对初始条件激励下,其自由运动均呈率减振荡形式不同初始条件下的各条相轨迹从不同方向趋向于相平面的原点,这种奇点叫稳定的焦点.3.由相平面图求时间解曲线在相平面上得到的是表示与间函数关系的相轨迹曲线,但在工程上分析系统时,往往希望得到比较直观的关于时间的函数图象,因此要利用相平面上的相轨迹曲线来确定的曲线图形.下图表示相轨迹曲线中的某一段.若A点对应的时刻为,

求B点对应的时刻可在AB段沿相轨迹运动的方取若干个点27计算出相邻两点间的时间增量,则系统从点A运动到B点时,B点的时刻,而的计算有下面三种方法.(1)增量法设相轨迹上两点位移增量较小,设为两点处相轨迹上速度变量的平均值,则:(2)积分法设点对应的时间为,点对应的时间为,则其几何意义见右图.28(3)圆弧法

设相平面上某条相轨迹的某一段如下图所示.用圆心坐标为,半径为的圆上的一段圆弧来近似表示相轨迹上两点间的一段曲线.设这段圆弧上的任一点坐标为,这点与圆心的连线和横轴正方向间的夹角为,则有:若点与圆心的连线和横轴正方向间的夹角为点与圆心的连线和横轴正方向间的夹角为,且.积分法中的式(17)可转化为:294.非线性系统的相平面分析例1.继电型非线性系统阶跃响应和斜坡响应的分析.设系统初始条件:(1)单位阶跃输入信号对的微分方程式为:因与没有直接关系.设法把变量换成变量.当时,代入式(19):由于与为非线性关系,将式(20)分段线性化,30由右图得:区域令,则等倾线为一组平行于轴的直线.当时,31相轨迹为一组平行的曲线,所由相轨迹均趋向于的直线,如下图所示.这一特定的相轨迹如上图所示.32区域因相轨迹的斜率始终为-1,所以相轨迹为一簇平行的斜率为-1的直线,见下图.特定的相轨迹为33区域相轨迹与区域类似,但所有相轨迹均趋向于直线,见下图.特定的相轨迹为,最后形成一个极限环.系统作持续振荡,振荡的幅值与及线性部分的时间常数和传递系数有关.34(2)等速度输入信号代入式(19)并分段线性化得:a)当R=1.2>0.8,

则:区域,所有相轨迹趋近于的水平直线.区域,所有相轨迹趋近于的水平直线.区域,所有相轨迹趋近于的水平直线.35相轨迹图见下图.由上图可见,当初始偏差位置在点时,系统将沿轨线运动,当时,,显然系统不稳定.36b)当R=0.8,则区域,相轨迹在平面上任一点的斜率均为-1,相轨迹为一簇区域,所有相区域,所有相轨迹趋近于轨迹趋近于直线.斜率为-1的直线.37c)当时,分段线性化方程如下:区域,所有相轨迹趋近于的水平直线.同理可得区域的相轨迹簇和区域的相轨迹簇.从某一初始点出发的相轨迹见下图,存在极限环38

例2.速度反馈对继电型系统的性能影响

设有下图所示无速度反馈的理想继电型非线性系统.分段线性化方程为:区域,其上相轨迹如左图.区域,其上相轨迹如坐图.从任一初始点出发的相轨迹也见左图,系统呈衰减振荡,振荡时间较长.39其它参数不变,有速度反馈的理想继电型非线性系统见下图.分段线性化方程为:两区域的分界线即开关线方程为:即斜率为过原点的直线,区域区域与无速度反馈相比,开关线向左倾斜了一个角度.40两个区域的相轨迹簇见下图.两区域中各自分别总有一条相轨迹与开关线切于两点.当相轨迹曲线与开关线交于线段内时,系统状态必将沿开关线迅速滑向原点.如左图所示.如继电非理想,即开关在切换时有滞后,则相轨迹在线段内时,系统状态呈抖动式地滑向原点,出现小幅振荡.由上分析可知,有速度反馈的继电型非线性系统的动态性能比无速度反馈的继电型非线的动态性能要好.8-4描述函数法

1.描述函数的基本概念描述函数法又叫谐波线性化法.41非线性系统的典型结构可由下图所示.描述函数法的基本思想是用某一数学方法,将非线性系统谐波线性化后,引用分析线性系统的频率响应法.为此,非线性系统本身必须满足以下几个条件:(1)非线性环节N的特性不是时间的函数,即是非时变的;(2)非线性环节的输入信号是幅值为A的正弦信号,不包含恒定直流分量;(3)非线性环节的输出信号一般情况下是非正弦信号,从付里叶级数角度看,它是直流分量,一次谐波即基波分量及高次谐波分量的叠加.8-4描述函数法(谐波线性化法)1.描述函数的基本概念42如线性部分具有良好的低通虑波特性,能将y(t)中的高次谐波分量虑有效地虑掉,则可近似认为只有y(t)中的一次谐波分量y1(t)沿闭环通道传送;

(4)要求沿闭环通道传送的信号不能有的直流分量,因此非线性环节的特性必须斜对称,即满足如下关系式:,则的直流分量2.描述函数的定义非线性环节输出信号一次谐波分量与输入正弦信号的复数比定义为非线性环节的描述函数,即:式(21)中:为非线性环节的描述函数;是非线性环节正弦输入信号的幅值;为非线性环节输出信号一次谐波分量的幅值;输出一次谐波分量和输入正弦信号的初相位之差.43描述函数式(21)的一般计算公式如下.设非线性环节输入正弦信号,非线性环节的非正弦输出信号经付里叶级数展开后可表为:根据上述条件(4)有:根据上述条件(3)有:上式中:因此,左式中:,从而描述函数式(21)表为44描述函数的特性:(1)当非线性环节包含储能元件时,其输出与输入信号的幅值和频率有关,故N也是输入信号幅值和频率的函数,可用表示;(2)工程上大多数非线性环节包含储能元件,它们的输出信号仅与输入信号的幅值有关,故N也仅是输入信号幅值的函数,可用表示;(3)若非线性环节是单值函数,则其描述函N是实数,若非线性环节是多值函数,则其描述函N是复数;(4)若非线性环节输出,其中,且它们都是单值非线性,描述函数分别为,则此非线性环节的描述函数为45特性(4)可用下图说明:

采用描述函数法研究非线性系统,其优点是不管非线性系统的线性部分是几阶的,它均能被采用.但用它研究问题的范围仅限于分析和校正非线性系统的稳定性,稳定性的性质,如自激振荡的稳定性和振荡参数.不能研究非线性系统的瞬态响应性能,且非线性系统无外加输入信号,线性部分要具有良好的低通虑波特性,以满足分析的精度要求.463.典型非线性特性描述函数的求取举例

饱和非线性是最常见的一种非线性特性,如各类放大器就具有饱和非线性特性,其输入输出关系可用下图表示.由图可见,当时,即:因非线性为斜对称,输出可分段表为:对进行付里叶分解,由于非线性斜对称故,取分解后的一次谐波,有:,由于为奇函数,为偶函数所以47由于为奇函数,则为偶函数,所以48求取描述函数的其它例子请见教材P.376~P.379,工程上常见的非线性特性及其描述函数见教材P.379~P.380表8-1.4.非线性系统稳定性分析的描述函数法设一非线性系统方框图如下所示.令系统在虚线处开环,且假设,则式(23)中,设,式中是的幅值,则49若系统产生振荡,则有,比较式(23)和式(24)可得系统产生振荡的条件为:非线性系统产生自激振荡的上述条件,也可表为:的形式,推导如下:称上式中为非线性特性的负倒描述函数.有上分析可得两个结论:(1)当非线性系统的线性部分的频率特性与非线性环节的乘积等于-1时,系统将产生自激振荡;(2)由于是关于的复变函数,而50是关于A的复变函数,因此两者的曲线可画在同一复平面上,而和A均作为参变量在复平面上并不出现.则由两者曲线的交点,可确定系统产生自激振荡的性质,自激振荡的频率和幅值.由这一等式,可将线性系统中的奈氏稳定判据推广应用到非线性系统,说明如下:假如系统中没有非线性环节,则闭环特征方程的频域表达式为:,即,与非线性系统产生自激振荡的条件复平面上的点相比较可知,线性系统,在非线性系统的复平面上被负倒描述函数曲线所取代.从而奈氏判据用于非线性系统时可作如下表述:当非线性系统的线性部分传递函数的所有极点均在S的左半平面上时,(1)当曲线未被奈氏曲线包围时,非线性系统是稳定的,在稳态时,系统不会产生自激振荡.51如下图所示.两曲线相距越远,系统越稳定.其稳定程度也可仿照线性系统稳定裕量的概念,用幅值裕度和相角裕度来表征.但由于A值不同,曲线上的点与曲线的相对位置也不一样,因而对于不同的A值就有不同的稳定裕量数值,假如当A等于