工程制图第4章 投影变换习题课

第4章投影变换换面法习题课下一页返回目录投影变换就是将空间几何元素从不利于解题的一般位置变换为和投影面平行或垂直的特殊位置,以利于解题,这种方法称为投影变换。

换面法空间几何元素不动，对投影面体系进行更换

换面法的四个基本问题:１、把一般位置直线变换为投影面平行线（一次）

2、把投影面平行线变为投影面垂直线（一次）３、把一般位置平面变为投影面垂直面（一次）

４、把投影面垂直面变为投影面平行面

（一次）

基于以上四个基本问题可以解决以下两个问题:１、把一般位置直线变为投影面垂直线（两次）

２、把一般位置平面变为投影面平行面（两次）

上一页下一页返回目录1、求直线实长和与投影面的倾角将直线变换成投影面的平行线。2、求平面实形和形心将平面变换成投影面的平行面。3、求平面与投影面的倾角将平面变换成投影面的垂直面。4、求距离（1）点与直线之间

a将直线变换成投影面垂直线。

b将点与直线组成的平面变换成投影面的平行面。换面法的应用上一页下一页返回目录（2）点与平面之间

将平面变换成投影面垂直面。（3）两平行线之间

将两直线变换成投影面垂直线。（4）两平行平面之间

将两平面变换成投影面垂直面。

5、求夹角（1）两直线之间

将两直线组成的平面变换成投影面平行面。（2）两平面之间

将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两平面的交线变换成投影面的垂直线。上一页下一页返回目录换面法解题的基本过程★分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中几何元素（点、直线、平面等）与原投影面的相对位置。★

根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。★

在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系，既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。上一页下一页返回目录【例4-1】过点G作直线与直线AB垂直相交。oxa′b′g′gab

根据直角投影定理可知，若互相垂直的两条直线，其中有一条直线平行于某一投影面时，则此两条直线在该投影面上的投影仍互相垂直。a′b′g′abgoxVH分析o1x1HV1a′1g′1b′1kk′k′1上一页下一页返回目录【例4-2】求平面四边形ABCD与△EFG的交线，并判别可见性。a′b′c′d′e′f′g′abcdefgoxo1x1V1Ha′1d′1()g′1b′1c′1()f′1e′1m′1n′1mnm′n′分析当相交两平面中有一个是投影面的垂直面时，就可以利用投影面垂直面投影的积聚性确定交线的投影。润饰上一页下一页返回目录

当平面为某一投影面的垂直面时，则点至该平面的垂线为该投影面的平行线。此时点到垂足的距离在该投影面上的投影必反映实长。平行于o1x1轴

真实距离【例4-3】求点A到△BCD的距离及其投影。k′a′b′c′d′akoxVHo1x1HV1bcdaa′11b′()1d′1k′1c′分析上一页下一页返回目录【例4-4】直线MN与△ABC平行且相距20㎜，且知△ABC的两个投影及MN的正面投影，求作MN的水平投影。oxVHbcaa′b′c′m′n′

因直线MN平行于△ABC且相距20㎜，所以MN必定位于与△ABC平行且相距20㎜的平面P上。当△ABC

为投影面的垂直面时作图简便，为此选用变换投影面法。

PMNABCacbmn20

变换到利于解题的位置（如图所示）仅需要一次换面。分析上一页下一页返回目录o1x1HV120PH1oxVHbcaa′b′c′m′n′作图AD∥OXdd′ma1(d1)c1b1m1n1n（本题两解）上一页下一页返回目录【例4-5】AB,CD是交叉两管道，用一最短的管子将它们连接，求出连接管的长度和位置。a′oxVHbcdab′c′d′

由立体几何知，两交叉直线的最短距离是它们的公垂线。若两交叉直线中有一条直线(AB)为某一投影面的垂直线时，则两交叉直线的公垂线(KG)一定是该投影面的平行线，则在该投影面上投影反映公垂线的实长。ABCDGa(b)cdkgK公垂线分析上一页下一页返回目录a′bcdab′c′d′oxVHo1x1HV1o2x2V1H2c′1d′1b′1a′1c2d2g2b2(a2)k2kgk′g′k′1g′1作图上一页下一页返回目录【例4-6】求漏斗两个相邻侧面ABCD及ABFE之间夹角的真实大小。()d′b′()c′a′e′f′abcdef

当两平面同时垂直于一个投影面时，它们在该投影面上的投影均积聚为直线，此两直线的夹角就反映了两平面间的真实夹角。θABCDEFabcdef

将交线AB变换为投影面的垂直线即可，须经两次换面。分析上一页下一页返回目录()d′b′()c′a′e′f′abcdefOXVHO1x1V1HO2x2H2V1a′1b′1c′1e′1e2a2()b2c2作图θ真实夹角上一页下一页返回目录【例4-9】过点A作直线AB∥⊿DEF，并与MN相交于点B。OXHVf′d′e′am′n′mna′edf分析

解题的有利位置是，使⊿DEF成为新投影面的垂直面。上一页下一页返回目录oxHVd′1f′d′e′am′n′mna′edfb′bo1x1HV1a′1n′1f′1b′1m′1k′k∥f′1d′1上一页下一页返回目录K点距离AB直线为15㎜，所以K点应在以AB直线为轴线、半径15㎜的圆柱面上，另外K点还应在包含K′的水平面上。通过两轨迹的交可得K点的水平投影。Vb′a′【例4-10】作⊿ABK，使AB边上的高为15㎜。（ab∥ox）′′aba′b′k′kkaboxxoV1HVHR15分析本题两解k′kkxx1动画ABKKa′1b′1k′1k’1上一页下一页返回目录【例4-11】已知直线AB的两面投影，过A作直线AC，使其与直线AB垂直，与H面夹角60°，且C点在H面上方8㎜。oxVHa′b′abABPCC

由题意可知，直线AC应位于过A点垂直于AB的平面P上；由夹角条件，AC还应是以A点为锥顶、以过A点的铅垂线为轴线、底角为60°的圆锥面上的素线。由C点的高度条件可知，它应位于在H面上方8㎜高的水平面上。（即在P平面上的高8㎜一条水平线上）P平面与圆锥面的交线与水平面的交点即为所求。本题有两解图解分析上一页下一页返回目录oxVHa′b′ab