误差的基本性质-随机误差

(一)随机误差教学目的和要求：

正确求解极限误差。了解随机误差的分布；掌握随机误差特征值的确定方法；掌握随机误差的产生原因、特点，服从正态分布随机误差的特征；1、随机误差的产生原因、特点，随机误差处理的基本原则；3、算术平均值原理：算术平均值原理、残余误差。

2、随机误差的分布：正态分布、非正态分布。

主要内容：4、测量的标准偏差：单次测量的标准偏差、贝塞尔公式、算术平均值的标准偏差、标准差的其它估计方法。5、极限误差：极限误差的定义、单次测量的极限误差、算术平均值的极限误差。一、随机误差产生的原因随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化，而这些微小变化又给测量带来误差。第一节随机误差概述例题结论：对具体测量问题具体分析，从所用的设备、人员、测量方法等资源以及环境等要素中去分析寻找主要的随机误差来源。举例：某台激光数字波面干涉仪，对其进行准确度考核，在相同测量条件下对某标准平晶的表面面形进行150次重复测量获得面形峰谷值数据。通过实验分析，查询有关的技术资料和其他信息，可知随机误差来源。150次的面形峰谷值数据0.1240.1200.1180.1190.1210.1250.1210.1230.1200.1180.1190.1170.1180.1210.1190.1180.1190.1190.1150.1200.1190.1190.1190.1160.1160.1180.1210.1200.1220.1220.1190.1210.1210.1240.1210.1180.1180.1190.1200.1180.1190.1220.1180.1190.1190.1170.1180.1180.1180.1200.1190.1180.1200.1240.1200.1180.1180.1190.1210.1230.1240.1230.1180.1190.1190.1200.1200.1190.1190.1180.1230.1210.1190.1180.1200.1200.1200.1190.1200.1230.1180.1210.1190.1210.1200.1230.1230.1210.1180.1190.1200.1210.1220.1190.1210.1220.1190.1200.1170.1250.1190.1270.1200.1240.1230.1230.1180.1190.1240.1220.1230.1240.1210.1230.1230.1210.1200.1210.1230.1270.1250.1210.1200.1240.1230.1230.1240.1230.1190.1210.1230.1290.1210.1200.1210.1240.1230.1210.1250.1190.1220.1270.1210.1200.1220.1210.1220.1230.1240.121数据特点但就数据整体而言，却明显具有某种统计规律，这个规律可以用统计直方图来表示。数据列表明，各次测值不尽相同，这说明各次测量中含有随机误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小。0.114

0.116

0.118

0.12

0.122

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0.128

0

10

20

30

40

50

统计直方图对于测量状态比较完好的光电类测量仪器，其随机误差的分布往往较好的呈现正态分布的特征。统计直方图在对称性方面有一些偏离理想正态分布的情形。对于测量状态不完好的光电类测量仪器，特别是对传动机械部件磨损较严重而规律尚未掌握的仪器，其测量随机误差可能就呈现其他分布的特征。激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源测量装置方面的因素

氦氖激光源辐射激光束的频率不够稳定造成激光波长的漂移

CCD光电探测器采集信号及其电信号处理电路造成干涉图像信号的随机噪声

离散化采样误差、各次装夹定位不一致

测量环境方面的因素

放置测量主机和被测试样的隔震台不能很好消除外界的低频震动

仪器所在实验室气流和温度的波动

空气尘埃的漂浮、稳压电源供电电压的微小波动

操作人员方面的因素

操作人员的装夹调整不当引起被采集的测量干涉图像质量低、条纹疏密不当

采集干涉图像的摄像头变焦倍数过小造成较大的离散化采样误差

减小随机误差的技术途径

(1)测量前，找出并消除或减小其随机误差的物理源;(2)测量中，采用适当的技术措施，抑制和减小随机误差;(3)测量后，对采集的测量数据进行适当处理，抑制和减小随机误差。对防震台充气减震、关空调减少气流、开机对激光器预热等。

戴工作手套装夹工件，调整光路要尽量减少离焦、倾斜，并使干涉条纹疏密适当，人员尽量远离测量光路；必要的话，适当增加重复测量次数取算术平均值等

视需要，有针对性地对采集的测量干涉图进行预处理，如用低通滤波、平滑滤波等方法来消除中高频随机噪声，用高通滤波法则可以有效消除低频随机噪声。

二、随机误差的本质特征

与测量次数有关系：增加测量次数可以减小随机误差对测量结果的影响。产生在测量过程之中：影响随机误差的因素在测量开始之后体现出来。具有随机性：测量过程中误差的大小和符号以不可预知形式的形式出现。服从正态分布随机误差的特征2、对称性在一定测量条件下的有限次测量结果，其绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等。1、有界性随机误差总是有界限的，不可能出现无限大的随机误差。在一定测量条件下的有限次测量结果中，随机误差的绝对值不会超过某一界限。4、单峰性即绝对值小的误差出现的次数多于绝对值大的误差出现的次数。3、抵偿性由随机误差的对称性知，在有限次测量中，绝对值相同的正负误差出现的次数大致相同。因此，取这些误差的算术平均值时，绝对值相同的正负误差产生相互抵消现象，从而导致了随机误差的第三个特性——抵偿性。第二节

随机误差的分布随机误差概率分布密度函数表达式为：

数学期望：E（δ）＝0方差：D（δ）＝σ2

标准偏差：一、正态分布均匀分布又称等概率分布，其概率密度函数为：它的数学期望为：E（δ）＝0二、均匀分布它的方差为：

它的标准偏差为：三角分布的概率密度函数为：

数学期望：E（δ）＝0

它的方差为：

三、三角分布它的标准偏差为：四、反正弦分布它的方差为：

它的标准偏差为：数学期望：E（δ）＝0

反正弦分布的概率密度函数为：

设随机变量X1，X2，…，Xυ相互独立，且都服从标准正态分布N（0，1），则随机变量：其概率密度函数为：五、χ2

分布六、t

分布

设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布N（0，1），Y服从自由度为υ的χ2分布，则随机变量其概率密度函数为：第三节

算术平均值作为测量结果的最佳估计。在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值一、算术平均值的意义无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据

若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值x0。根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有最佳估计的意义若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性。满足最小二乘原理：在正态分布条件下，满足最大似然原理：该所有测量值对其算术平均值之差的平方和达到最小该测量事件发生的概率最大

由算术平均值原理可知，算术平均值是真值的最佳估计值，用算术平均值代替真值计算得到的误差称为残余误差。

在规定测量条件下，同一被测量的测量列x1，x2，…，xn有算术平均值：则称：为残余误差。二、残余误差

残余误差具有两个重要特性。（一）残余误差具有低偿性——残余误差代数和等于零；（二）残余误差平方和为最小

。第四节测量的标准偏差标准差（方均根误差）σ越小，各单次测量值分散度小，可靠性高，测量越精密。一、单次测量的标准偏差等精度测量中，单次测量的标准差(总体标准差)为：贝塞尔公式极差法最大误差法

如果这组数据是来自于某测量总体的一个样本，则该组数据的标准差是对该测量总体标准差的一个估计，称其为样本标准差，又称为实验标准差。

对于一组测量数据，用其标准差来表述这组数据的分散性。定理：对同一被测量，在相同测量条件下，进行有限次测量得测量列xi（i＝1，2，…，n），则单次测量标准偏差σ的估计值s为：

二、标准偏差的基本估计——贝塞尔公式值随n减少明显偏离系数1；在样本数较小的情形（如n≤6），为了提高对s估计的相对误差，最好用无偏修正的贝塞尔公式。２34567891015201.251.131.091.061.051.041.041.031.031.021.01贝塞尔公式的修正因子修正贝塞尔公式用某仪器测某物水份含量，测得50个数据如下（单位：水份百分比％）3.4,2.9,4.6,3.9,3.5,2.8,3.4,4.0,3.1,3.7,3.5,3.1,2.5,4.4,3.7,3.2,3.8,3.2,3.7,3.2,3.6,3.0,3.3,4.0,3.4,3.0,4.3,3.8,3.8,3.6,3.4,2.7,3.5,3.6,3.6,3.3,3.7,3.5,4.1,3.1,3.7,3.2,3.9,4.2,3.5,2.9,3.9,3.6,3.4,3.3试求其算术平均值及其标准差。【例2-1】【解】分别计算故该仪器的标准差（测量重复性）为0.44

。三、算术平均值的标准差

如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值，由于误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。

10次算术平均值与单次测量的分布关系

两者的分布类型和峰值位置未发生变化，只是分散性不同。增加测量次数，可以提高测量精度，但是测量精度是与测量次数的平方根成反比，因此，要显著地提高测量精度，必须付出较大的劳动。由图可知，s一定时，当n＞10以后，已减少得非常缓慢。由于测量次数愈大，也愈难保证测量条件的恒定，从而带来新的误差，因此一般情况下取n＝10以内较为适宜。总之，要提高测量精度，应采用适当精度的仪器，选取适当的测量次数。最佳测量次数确定【例2-2】例2－14已知测量的单次测量标准偏差s＝0.12（略去单位）。问在不改变测量条件的情况下，使被测量估计值的标准偏差达到0.04，需测量多少次？解：以算术平均值作为被测量的估计值，适当增加测量次数，以满足测量精密度的需要。即测量次数：即对被测量进行9次以上重复测量，它们的算术平均值的精密度便可达到要求。标准差的其他估计方法一、别捷尔斯法(Peters)二、极差法对多次独立测得的数据服从正态分布，为最大值，为最小值，两者之间的极差为：２1.130.7692.970.27163.5331.690.52103.080.26173.590.2142.060.43113.170.25183.640.2052.330.37123.260.24193.690.2062.530.34133.310.23203.7472.700.31143.410.2282.850.29153.470.22极差法系数三、最大误差法在只进行一次性实验中，是唯一可用的方法。

在一般情况下，被测量的真值难以知道，无法应用最大误差法估计标准差，而是最大残余误差估计标准差。四、最大残差法0.880.511.77４1230.750.451.020.680.400.83５0.640.360.74６0.610.330.68７0.580.310.64８0.560.290.61100.530.270.57200.460.230.251.250.75最大误差法系数【例2-3】【解】(1)用贝塞尔公式估算对某量测得数据7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，试分别用贝塞尔公式、修正贝塞尔公式、别捷尔斯法、极差法、最大误差法估计其测量标准差。(2)用修正贝塞尔公式估算(3)用别捷尔斯法估算(4)用极差法估算故：（5）用最大误差法估算故：几种估计标准差的相对误差贝塞尔公式0.80修正贝塞尔公式0.60极差法0.76最大误差法0.750.51４1230.570.460.520.450.470.390.430.40５0.400.340.370.36６0.360.310.340.33７0.320.280.310.31８0.300.260.290.2990.280.250.270.28100.260.230.260.27200.170.160.200.23当样本数较小的情形（如n≤6），用贝塞尔公式估计的信赖程度已经开始低于极差法和最大误差法，应当改用修正的贝塞尔公式来估计标准差。第五节极限误差极限误差是指极端误差，是误差不应超过的界限，此时对被测量的测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差，不超过极端误差的置信概率为p，并使差值1－p＝α可以忽略。此极端误差称为测量的极限误差，并以δ表示。极限误差δ的值可依据测量标准差、误差分布及要求的置信概率确定：t称为置信系数，是误差分布、自由度和置信概率的函数，通常有表可查。2.03.02.580.990.010.9540.0461.960.950.051.6450.900.101.00.6830.3170.67450.50.50.99730.00273.300