83曲面及其方程

LI/S/0Z0Z燥

喜与口

口

三喜\/男第

三

节

曲

面

及

其

方

程一

、

曲

面

方

程

的

概

念二

、

旋

转

曲

面三

、

柱

面四

、

二

次

曲

面2020/8/17

2一

、

曲

面

方

程

的

概

念定义：若曲面S与三元方程F(

x,y,z)=0

有如下关系：(1)S

上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0;(2)坐标满足方程F(x,y,z)=

0的点都在S

上；那末，方程F(x,y,z)=0

叫做曲面S的方程，而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0

的图形.曲面S1-1对应±F(x,y,z)=

0(三元方程)2020/8/17

3研

究

空

间

曲

面

有两

个

基

本

问

题：(

1

)

已

知

曲

面

作

为

点

的

轨

迹

时

，

求

曲

面

方

程.(

讨

论

旋

转

曲

面

)(

2

)

已

知

曲

面

方

程

，

研

究

曲

面

形

状

.(

讨

论

柱

面

、

二

次

曲

面

)2020/8/17

4球球

心

在

原

点

时

a²-5²+2=R表

示

上

(

下

)

球

面

.2020/8/17以下给出几例常见的曲面.例1

建立球心在点M₀(xo,yo,zo)、

半径为R的球面方程。解

居Z.R.M₀根

据

题

意

有

IMK=R,面

的

标

准

方

程M5此方程表示：

球心为

N8(1—2,半径为

√

的球面.

说明：如下形式的三元二次方程(A≠0

)

—球面的一般方程都可通过配方研究它的图形.其图形可能是一个球面，或点

，或虚轨迹.2020/8/17

6例2.研究方程的

曲

面

.解

：配

方

得表

示

怎

样例

3解

根

据

题

意

有

N化

简

得

所

求

方

程

—平面方程2020/8/17

7实

正

题角

位

自

的

曾

灰

矿解

根

据

题

意

有

z≥3医下合之眉排是复例4方程

一的图形是怎样的?2020/8/17

8图

形

上

不

封

顶

，

下

封

底

.Z二

、旋

转

曲

面定义一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴

.旋转曲线称为该旋转曲面的母线.2020/8/17

9例

如

：旋转轴母

线2020/8/17

10旋

转

曲

面>

具

语

食

计

角

由

备

倍

馨母

线

：fCy,z)=O,x=0,设①曲z

Z

任

意

意

，y,z),¹上建立yoz面上曲线C

绕

z

轴旋转所成曲面的方程：2020/8/17

11代

)将yoz坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为

22020/8/17

12得

方

程

f+x²²,-0此即yoz

坐标面上的已知曲线

Cf(y,z)=0旋转一周的旋转曲面方程.当曲线

C绕

y

轴旋转时，

方

程

如

何

?绕

z轴代

入将例5

直

线

工

绕

另

一

条

与L

相

交

的

直

线

旋

转

一

周

，

所

得

旋

转

曲

面

叫

圆

锥

面

.

两

直

线

的

交

点

叫圆锥面的顶点，

两直线的夹角

叫圆

锥

面

的

半

顶

角

.

试

建

立

顶

点

在

坐

标

原

点

，旋

转

轴

为z轴

，

半

顶

角

为

α

的

圆

锥

面

方

程

.解所以圆锥面方程为令

a=cota

两

边

平

方Z=aa²+³)—

—

圆锥面的标准方程2020/8/17G3yZ13例6以

曲

线为

母绕

z

轴

旋

转

而

成

的

曲

面

方

程

为2020/8/17

14—

—

旋转单叶双曲面线

，即2020/8/17

15—

—

旋转双叶双曲面以曲线为母线

：例7即旋转曲面方

程

的

特

点

：有

系

数

相

等

的

两

坐

标

平

方

和的项.2020/8/17

16例9以曲线曲

面

方

程

为为：母线，绕z

轴旋转而成的一旋转椭球面=1即三

、

柱

面定

义平

行

于

定

直

线

并

沿

定

曲

线

C

移

动

的

直

线

工所形成的曲面称为柱

面

.这条

定

曲

线C

叫

柱

面

的准线，动

直

线L

叫

柱

面

的母

线.观

察

柱

面

的

形成

过

程

：2020/8/17

17柱

面

演

示2020/8/1718注意：

在空间直角坐标系，

缺项方程(不完全方程)的图形是柱面.2020/8/17

19在xoy面上，x²+y²=R²表示以

原点O

为圆心，半径为R

的圆.曲

面

可

以

看

作

是

由

平

行

于z轴的直线L沿xoy面上的

圆x²+y²=R²

移动而形成，称该曲面为圆柱面.例如：考虑方程

x²+y²=R²

所表示的曲面.(1)y²=2x表示抛物柱面，母

线

平

行

于z

轴

；准线为xoy面上的抛物线.(2)

x-y=0

表示母线平行于z

轴的平面.(且z轴在平面上)注意：

描述柱面只须指出其准线及母线.2020/8/17

20一般地，在空间解析几何>

柱

面，母线平行于z轴；准线xoy

面上的曲线Z=F(sy)=是

B

元是主面，母

线

平

行

于x

轴

；准线yoz

面上的曲线z=G3Z方后

x

B元是柱面，母线平行于y

轴；准线xoz

面上的曲线3二2020/8/1721指

出

下

列

方

程

在

平

面

解

析

几

何

中

和

空

间

解

析

几

何

中

分

别

表

示

什

么

图

形

?2020/8/17

22思

考

题2x²+²-4(x=3方程平

面

解

析

几

何

中空

间

解

析

几

何

中xC2一

桥

宁

牵

的

能个方的o子圆忙在(Q0),平

的斜率为1的直线碎

于

文

车

书

可2020/8/17

23思

考

题

解

答四

、

二

次

曲

面二

次

曲

面

的

定

义

：三

元

二

次

方

程

所

表

示

的

曲

面

称

之

.相

应

地

平

面

被

称

为一

次

曲

面.讨

论

二

次

曲

面

性

状

的截

痕

法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，

考察其交线(即截痕)的形状，然后加以综合，从而

了

解

曲

面

的

全

貌

.以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面.2020/8/17

241°

用

坐

标

面z=0,x=0

和y=0

去截割，分别得椭圆2020/8/17

25(1)

椭

球

面当

lkl≤c

时

，lk

l越

大

，

椭

圆

越

小

；当

lk|=c

时

，

椭

圆

退

缩

成

点

.2020/8/172°

用平面z=k去截割(要求

lkl≤c),得椭圆(1)

椭

球

面26

球

面球面方程可写为

a²-b²²

椭

球

面

的

几

种

特

殊

情

况

：

V

乙

:1旋

转

椭

球

面2020/8/17

27(

2

)

椭

圆

抛

物

面2020/8/17

282020/8/17

29(2)椭圆抛物面—

—

旋转抛物面

.特

殊

情

况

：(3)椭圆锥面特

殊

情

况

：—

圆

锥

面

.2020/8/17302特

殊

情

况

：

—

圆

锥

面

.若

方

程

为2020/8/17

31(3)椭圆锥面则图形如右图ZWX7

—22N—-(

5

)

双

叶

双

曲

面(

4

)

单

叶

双

曲

面2020/8/1732抛

物

线x₁两

条

相

交

直

线双

曲

线y(z=0)(6)

双

曲

抛

物

面

(

马

鞍

面

)2020/8/17