勾股定理 省赛获奖

勾股定理本课内容本节内容3.61.在方格纸上画一个顶点都在格点上的直角三角形ABC，使两直角边分别为3cm和4cm，如图3-79所示，试量出它的斜边c的长度.探究b=4ACc=?我量的为5cm.Ba=32.再分别以这个直角三角形的三边为为边长向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图3-80，那么这三个正方形的面积有什么关系呢？3.是否对于所有的直角三角形，它的三边之间都有这样的特殊关系呢？即任作Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，是否都有a2+b2=c2成立呢？

其中图(甲)中的大正方形的面积为，图(乙)中的大正方形的面积为，容易看出图(甲)和图(乙)中的两个大正方形面积是相等的.

于是有

即结论

直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.

a2+b2=c2.

直角三角形的性质定理：结论

其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的这个性质；

由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质称为勾股定理.

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.因此根据勾股定理，在直角三角形中，已知任意两条边长，可以求出第三边的长.小提示做一做

如图3-84，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm.（1）你能算出BC边上的高AD的长吗？图3-84证明：因为在等腰三角形ACB中，AD是BC边上的高，AB=AC，BC=10cm，所以BD=DC=5cm，即，在Rt△ADC中，AD2=132-52=144.(直角三角形性质定理)所以AD=12.所以AD的高为12cm.（2）△ABC的面积是多少呢？图3-84解：因为三角形ACB中，面积=底×高÷2，即10×12÷2=60.所以△ABC的面积是60cm2.练习1.你能不能只用图3-83(乙)来证明勾股定理吗？图3-83(乙)证明：图(乙)中的大正方形的边长为a+b，其面积为四个直角三角形与正方形C的面积之和，即，化简得a2+b2=c2，勾股定理得证.2.图3-85是一个边长为3的正方形，两条对角线AC与BD相交于O.观察此图形并回答下面问题：（1）对角线AC有多长呢？(精确到小数点后面第二位)（2）图中有多少个直角三角形？图3-85答：4.24答：有8个直角三角形.3.有一颗树较高(如图3-86)，无法直接量出它的高度.可以先用测角器在离树底部不远处的地面上找一点B，使此时测得树顶点A的仰角为60°，再用皮尺测得BC之间的距离为a，由此你能得出这棵树的高度吗？图3-86证明：在Rt△ABC中，∠ABC=60°，可知∠BAC=30°，由于BC=a，因此有AB=2a，再由勾股定理可得将a的具体数值代入，即可求得树高AC的近似值.

如图3-87，已知在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？探究图3-87你能画一个直角三角形，使它的两直角边分别为a和b，斜边为c吗？可以画一个，使∠C′=90°，，，如图3-88.根据勾股定理，因为a2+b2=c2，所以于是斜边图3-88图3-87图3-88在△ABC和中，因为，，，所以△ABC≌

(SSS)于是

(全等三角形的对应角相等)所以△ABC是直角三角形.结论

如果三角形的边长a，b，c有下面的关系：

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

直角三角形的判定定理：举例例1

如图3-89，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，

AC=17.求DC的长.图3-89先根据直角三角形判定定理再根据勾股定理解：在△ABD中，已知AB=10，BD=6，AD=8，根62+82=102，即AD2+BD2=AB2.所以∠ADB=90°，(

)

∠ADC=180°-∠ADB=90°.在Rt△ADC中，根据勾股定理，可得DC2=AC2-AD2，所以图3-89直角三角形判定定理练习1.已知△ABC的三边是下列各值，那么它们是直角三角形吗？（1）a=8，b=15，c=17；（2）a=10，b=24，c=25.答：是.答：不是.2.某地有A，B，C三个村，建立了直角坐标系后，它们的坐标分别为：A(1，0)，B(4，0)，C(1，4)，现要建立一所希望小学，要求学校到三村的距离相等.你能在图3-90中根据这一要求确定学校的地址吗？图3-90答：建在BC的中点.举例例2

如图3-91，电工师傅把4m长的梯子靠在墙上，使梯脚离墙脚的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？图3-91′证明：在△ABC中，AC=4，BC=1.5，由勾股定理得，在中，，，故，从而A′A=3.87-3.71=0.16.

即梯子顶端A只向上移动了0.16m，而不是移动0.5m.图3-91′C举例例3

(我国古代数学问题)有一个正方形水池，每边长4m，池中央长了一棵芦荟，露出水面1m，把芦苇的顶端引到岸边(水池边的中点)，芦苇顶和岸边水面刚好相齐.你能算出水池的深度吗？图3-92证明：如图3-92，设水池深为xm，则BC=xm，AC=(x+1)m.

因为池边长为4m，所以BA′=2m.

在中，根据勾股定理，得

x2+22=(x+1)2，即x2+22=x2+2x+1，解得x=1.5.

答：水池的深度为1.5m.练习1.将图3-93中的Rt△AOB以O点为旋转中心，逆时针方向旋转，使OA落在y轴上.（1）作出旋转后的直角三角形；（2）写出旋转后顶点A的坐标.答：(0，5)或(0，-5).图3-932.如图3-94，小明和小强攀登一无名高峰，他俩由山脚望主峰B测得仰角为45°.然后从山脚沿一段倾角为30°的斜坡走了2km到山腰C，此时望主峰B测得仰角为60°.于是小明对小强说：“我知道主峰多高了.”你能根据他们的数据算出主峰的高度吗？图3-93证明：因为∠ABC=∠BAC=15°，所以BC=AC=2km，在Rt△BCD中，CD=1km，，所以主峰高度为中考试题例1

如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点.已知∠BAC=60°，∠DAE=45°

，点D到地面的垂直距离DE=，求点B到地面的垂直距离BC.分析

在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半.

本题中，因为△ADE是等腰直角三角形，所以AE=DE=m，由勾股定理可求梯子AD长.在Rt△ACB中，由∠ABC=90°-60°

=30°，可求AC=.再由勾股定理可求BC.解在Rt△AED中，∵∠DAE=45°，∴AE=DE=m.由勾股定理得在Rt△ACB中，∵BAC=60°，∴∠B=30°.∴∴点B到地面的垂直距离