高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第09讲 2.2基本不等式（学生版）

第02讲2.2基本不等式课程标准学习目标①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的内容，成立条件及公式的证明。②利用基本不等式的性质及变形求相关函数的最值及证明。通过本节课的学习，要求掌握基本不等式成立的条件，运用基本不等式这一重要的工具解决与最值有关的问题，会用基本不等式解决简单问题的证明.知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．如果，有（当且仅当时，取“”号）特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.知识点二：利用基本不等式求最值①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；知识点三：基本不等式链（其中，当且仅当时，取“”号）知识点四：三个正数的基本不等式如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）题型01对基本不等式的理解【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【典例2】（多选）（2023秋·广东广州·高一广州四十七中校考期末）以下结论正确的是（

）A．函数的最小值是4B．若且，则C．若，则的最小值为3D．函数的最大值为0【变式1】（2023·高一课时练习）下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．题型02由基本不等式比较大小【典例1】（多选）（2022秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）设为正实数，，则下列不等式中对一切满足条件的恒成立的是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知且，下列各式中最大的是_____.(填序号)①；②；③；④.【变式1】（多选）（2022秋·广东汕头·高一汕头市聿怀中学校考期中）若．且，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．题型03由基本不等式证明不等关系【典例1】（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知是实数.(1)求证：，并指出等号成立的条件；(2)若，求的最小值.【典例2】（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知，.(1)若，求的最大值；(2)若，证明：.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知都是正数，且.求证：（1）；（2）.题型04利用基本不等式求积的最大值【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的最大值是（）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习），的最大值为_________.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为________.题型05利用基本不等式求和的最小值【典例1】（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）设，则的最小值为（

）A．5 B．3 C．4 D．9【典例2】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值为______题型06利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值【典例1】（2022·高一课时练习）已知，则的最小值为___________.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（1）求函数的最小值及此时的值；（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为___________.题型07利用基本不等式求条件等式求最值【典例1】（2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（

）A．3 B．1 C．9 D．【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______.【变式1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）若正数x，y满足，则的最小值是（

）A．6 B． C． D．题型08基本不等式中的恒成立问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·高三课时练习）若对任意，恒成立，则的取值范围是_____．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（

）A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2【变式2】（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型09基本不等式的应用【典例1】（2023·全国·高三专题练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润(单位：万元)与机器运转时间(单位：年)的关系为，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.【典例2】（2023秋·内蒙古通辽·高一校联考期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．(1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式；(2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？【变式1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（

）A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米【变式2】（2023·全国·高一专题练习）为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，重庆十一中计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成．图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为2m和5m（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为（

）A．20m B．50m C．m D．100m题型10对钩函数【典例1】（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习）“”是“函数的最小值大于4”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例2】（2023·高三课时练习）设，则的取值范围是______．【变式1】（2023秋·江西吉安·高一江西省万安中学校考期末）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．有最小值4 B．有最大值4 C．有最小值 D．有最大值【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数取得的最小值时，的值为___________．题型11重点方法之凑配法【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数满足，则的最大值为（

）A． B．0 C．4 D．8【典例2】（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则的取值范围是__________，的最小值为__________．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）当时，的最小值为10，则（

）A．1 B． C．2 D．4【变式2】（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（

）A．－2 B．0 C．1 D．题型12重点方法之换元法【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为___________.【典例2】（2023·江西·高一宁冈中学校考阶段练习）的最大值为______.题型13重点方法之“1”的妙用法【典例1】（2023春·湖南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值是（

）A．1 B． C． D．【典例2】（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知正数满足恒成立，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．3【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知正数、满足，求的最小值为____________.【变式1】（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（

）A．12 B．25 C．27 D．36【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知正数、满足，求的最小值为____________；题型14重点方法之消元法【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为__________.【典例2】（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数，满足，则的最大值为__________．【变式1】（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知，且，则的最小值为___________.题型15易错题之忽视基本不等式中的“一正”【典例1】（多选）（2023秋·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校联考阶段练习）下列关于使用基本不等式说法正确的是（

）A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4B．由于，所以C．由于，故最小值为2D．由于，所以，故最大值为【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为________.题型16易错题之忽视基本不等式中的“三相等”【典例1】（2023·上海普陀·高一校考期中）下列不等式中等号可以取到的是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·江西赣州·高三校联考期中）下列几个不等式中，不能取到等号的是（

）A． B．C． D．题型17易错题之换元必换范围【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．2.2基本不等式A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·全国·高一专题练习）已知正数满足，则的最大值（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）“”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）若两个正实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．5．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高三专题练习）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（

）A．7 B．8 C．9 D．107．（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）实数满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·河北邯郸·统考一模）已知，，且，则的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．9二、多选题9．（2023·全国·高一专题练习）下列命题中正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，10．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在线段上任取一点（不含端点A，B），使得，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接.下面不能由直接证明的不等式为（

）A． B．C． D．三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）已知（），则的最大值是________.12．（2023·高一单元测试）若，则的最大值是______．四、解答题13．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知，求的最小值；（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．14．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最值，已知，求的最小值；B能力提升1．（2023·全国·高三专题练习）已知，为正实数，且，则下列选项错误的是（

）A．的最大值为2 B．的最小值为4C．的最小值为3 D．的最小值为2．（2023·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（

）．A． B．C． D．3．（多选）（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）下列结论中，正确的是（

）A．若，，则的最小值为8B．若，则函数的最小值为C．已知正数a，b满足，则D．已知，，且，则4．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为__________.5．（2023·全国·高一专题练习）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值．6．（2023·全国·高三对口高考）（1）已知，求函数的最大值.（2）已知，求函数的最大值.C综合素养1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品.实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药