北京市海淀区2023-2024学年高一上册期末数学质量检测模拟试题合集2套（含解析）

北京市海淀区2023-2024学年高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】首先求得集合，结合图象求得正确结论.【详解】，所以，图象表示集合为，，.故选：B2．设，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】，但，不满足，所以是充分不必要条件，选A.充要条件【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充分条件.3．已知，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】利用诱导公式可得，再由二倍角余弦公式求.【详解】由，即，又.故选：D4．幂函数在R上单调递增，则函数的图象过定点（

）A．（1，1） B．（1，2） C．（-3，1） D．（-3，2）【正确答案】D【分析】由函数为幂函数且在R上单调递增，可得，再由指数函数过定点，即可得函数所过的定点.【详解】解：因为为幂函数且在R上单调递增，所以，解得，所以，又因为指数函数恒过定点，所以恒过定点.故选：D.5．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】求出函数的定义域，由单调性求出a的范围，再由函数在上有意义，列式计算作答.【详解】函数，因为在上递增，则在上递减，所以得，解得，由，有意义得：，解得，因此，，所以实数的取值范围是.故选：C.6．关于的不等式的解集为，则的最大值是（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】由题意可得是方程的两个根，利用根与系数的关系，可得，再求出，代入中化简后利用基本不等式可求得结果.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以是方程的两个根，且，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，故选：C7．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【正确答案】C【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性、单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式组，解得即可.【详解】解：对于函数，令，解得或，所以函数的定义域为，又，所以为偶函数，当时，则在上单调递增，令，，所以，所以在上单调递增，则在上单调递增，从而得到在上单调递减，则不等式等价于，解得或，所以不等式的解集为.故选：C8．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（

）A． B． C． D．【正确答案】A由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.【详解】由题意知：或∴或∴或∵在上单调递减，∴∴①当时，取知此时，当时，满足在上单调递减，∴符合取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合当时，，舍去，当时，也舍去②当时，取知此时，当时，，此时在上单调递增，舍去当时，，舍去，当时，也舍去综上：或2，.故选：A.本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.二、多选题9．下列能成为充分条件的是（

）A． B． C． D．【正确答案】BD分别解出选项中的集合，再根据充分条件与集合的包含关系，求参数的取值范围.【详解】，即，分别解出选项中的集合：A.或，得或，即或；B.，即；C.，得或，即或；D.，即，要能成为充分条件，选项中的解集需是集合的子集，其中只有BD符号题意.故选：BD本题考查充分条件与集合的包含关系，重点考查计算能力，以及理解充分条件，属于基础题型.10．已知关于的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则下列关系式中正确的有（

）A． B．C． D．【正确答案】BC【分析】由不等式的解集，可知，从而判断A错误；根据图像的平移变换，可得变换前后对称轴不变，即，变形后可判断B正确；根据,亦可判断C正确，通过举反例，即可判断D错误.【详解】解：由题意得,故A错误，因为将二次函数的图像上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函数的图像，所以,即，B正确，如图，又，所以，C正确，当时，，，所以，D错误.故选：BC.11．函数在区间上的大致图象可能为（

）A． B．C． D．【正确答案】ABD【分析】根据函数图象的对称性可得函数的奇偶性，从而确定参数的值，再判断即可.【详解】解：对于A，B中函数图象关于原点对称，则对应的为奇函数，令，则为偶函数，即，即，所以，解得，当时，，符合A项，当时，，符合B项.对于C，D中函数图象关于y轴对称，则对应的为偶函数，令，则为奇函数，即，即，所以，此时，当时，，故D正确，故C错误；故选：ABD.12．已知函数的最小值为0，e是自然对数的底数，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【正确答案】AD【分析】由已知得当时，，对于AC，当时，为上的减函数，则，代入解不等式得解；对于BD，当时，由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，判断的单调性，求出最小值即可判断.【详解】由函数的最小值为0，当时，，即，故当时，的值域为的子集，即对于AC，当时，为上的减函数，又，则，即，故A正确，C错误；当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，对于B，当时，对勾函数在上单调递增，则函数在上单调递减，由A知，，故B错误；对于D，当时，对勾函数在上单调递减，则函数在上单调递增，又，则，即，故D正确；故选：AD思路点睛：本题考查已知函数的最值求参数，解题时需先求出由函数在时的值域为，进而将问题转化为当时，函数的值域为的子集，即，分类讨论研究函数的单调性求出最值，考查学生的分析转化能力，属于难题.三、填空题13．已知函数为定义在上的奇函数，则的值为________．【正确答案】【分析】根据奇函数的定义及性质计算可得.【详解】解：因为函数为定义在上的奇函数，则有，解得，又由函数为奇函数，则有，则，所以恒成立，即，所以；故14．若函数(，且)，在上的最大值比最小值大，则______________.【正确答案】或.分和两种情况，根据指数函数的单调性确定最大值和最小值，根据已知得到关于实数的方程求解即得.【详解】若，则函数在区间上单调递减，所以，，由题意得，又，故；若，则函数在区间上单调递增，所以，，由题意得，又，故.所以的值为或.本题考查函数的最值问题，涉及指数函数的性质，和分类讨论思想，属基础题，关键在于根据指数函数的底数的不同情况确定函数的单调性.15．已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是______________．【正确答案】【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间上恰有个零点得到，求得答案.【详解】由已知得：恒成立，则，，由得，由于在区间上恰有3个零点，故，则，，则,只有当时，不等式组有解，此时，故，故16．已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是______.【正确答案】【分析】求出函数在区间上的值域为，由题意可知，由，可得出，由题意知，函数在区间上的值域包含，然后对分、、三种情况分类讨论，求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式（组），解出即可.【详解】由于函数在上的减函数，则，即，所以，函数在区间上的值域为.对于函数，内层函数为，外层函数为.令，得.由题意可知，函数在区间上的值域包含.函数的图象开口向上，对称轴为直线.（i）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即，此时，函数在区间上的值域为，由题意可得，解得，此时，；（ii）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即，此时，函数在区间上的值域为，由题意可得，解得或，此时；（iii）当时，函数在区间上单调递减，则，，则函数在区间上的值域为，由题意可得，解得，此时，.综上所述，实数的取值范围是.本题考查指数函数与对数函数的综合问题，根据任意性和存在性将问题转化为两个函数值域的包含关系是解题的关键，在处理二次函数的值域问题时，要分析对称轴与区间的位置关系，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于难题.四、解答题17．已知函数的定义域为.（1）求实数的取值集合；（2）设为非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可知，在上恒成立，在对参数进行分类讨论，根据二次函数的性质，即可求出结果；（2）由命题的关系与集合间的包含关系得：是的必要不充分条件，所以，由此列出关系式，即可求出结果.【详解】（1）可知，在上恒成立，当时，，成立；当时，，解得；综上所述，.

所以集合（2）因为，是的必要不充分条件.

所以，故,解得所以，实数的取值范围是.18．设.(1)求的值及的单调递增区间；(2)若，求的值.【正确答案】(1)1，(2)【分析】（1）根据余弦的二倍角公式、三角恒等变换公式以及辅角公式可得，由此即可求出的值，再根据正弦函数的性质可求得单调递增区间；（2）由（1）可得以及，可得，再根据和同角基本关系可得，再根据和两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】（1）解：因为，所以；令，所以，所以单调递增区间为；（2）解：因为，即，所以，又，所以，即，又，所以，所以，所以，因为.所以的值.19．某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，，经测算.该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中.(1)求，并说明的实际意义：(2)若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益.【正确答案】(1)；发车时间间隔为分钟时，载客量为(2)发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元．【分析】（1）将代入函数的解析式，可计算出，结合题意说明的实际意义；（2）求出函数的解析式，分别求出该函数在区间和上的最大值，比较大小后可得出结论.【详解】（1），实际意义为：发车时间间隔为分钟时，载客量为；（2），当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以，当时，取得最大值；当时，，该函数在区间上单调递减，则当时，取得最大值．综上所述，当发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元．20．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且(1)分别求出函数的解析式；(2)若，都有成立，求实数的取值范围.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用函数的奇偶性，根据，得到，两式联立解得答案.(2)用换元法，将原问题转化为在上恒成立的问题，然后根据二次函数在给定区间上的值的情况，分类讨论解答.【详解】（1）（1），①，分别是定义在上的奇函数和偶函数，，由①②可得：;（2）令，则，原命题等价转化为：在上恒成立，（i）当时，则在上恒成立，成立.（ii）当时，则等价转化为：在上恒成立，令，要满足题意，，解得：，又（iii）当时，则等价转化为：在上恒成立令，要满足题意，，解得：，又，综上，实数的取值范围为21．已知函数，其中.(1)，求的值；(2)设函数，其中常数.若函数的一个单调减区间内有一个零点，且其图象过点，记函数的最小正周期为，试求取最大值时函数的解析式.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角公式以及辅助角公式可得，结合条件即可求解；（2），由题设可得，和，，令，则，进而由周期最大时确定、的值，进而求解.【详解】（1），即，所以，所以或，，则或，，又因为，所以.（2），因为函数图象过点，所以，则，，所以，.又函数的一个单调减区间内有一个零点，所以，，即，.所以，令，则，又，且，要使取最大值，则取最小值，当时，，此时，，由，可得没有符合题意的值；当时，，此时，，由，可得，符合题意.综上所述，.22．已知实数，设函数.(1)当时，求函数f（x）的值域：(2)求|f（x）|的最大值.【正确答案】(1)(2)【分析】(1)令，则即求函数f（x）的值域转化为求，的值域，根据二次函数在闭区间的最值求法即可；(2)令得从而问题转化为求函数，的最大值.通过分类讨论对称轴与区间的位置关系，即可求解最大值.【详解】（1）当时，，令，则，所以，即.则，即所以函数f（x）的值域.（2）令令，则，所以，即.则，令，所以是对称轴为，开口向上的抛物线，且记|f（x）|的最大值为.当，即时，此时在上单调递减，且；当，即时，此时，当，即时，此时，当，即时，不符合题意舍去.,即关键点点睛：求二次函数在闭区间的最值时，要注意讨论对称轴与区间的位置关系，一般讨论对称轴在区间的左边，对称轴在区间的里面，对称轴在区间的右边.北京市海淀区2023-2024学年高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设P和Q是两个集合，定义集合，如果，，那么=（）A． B． C． D．2．已知，，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．3．若函数的定义域是[1，2023]，则函数的定义域是（）A．[0，2022] B． C．（1，2024] D．4．已知某药店只有A，B，C三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买A品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买B品牌口罩的概率分别为0.6，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（）A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.365．已知函数，是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．（1，2]6．已知，，规定：当时，；当时，，则（）A．有最小值－1，无最大值 B．有最小值－2，无最大值C．有最大值2，无最小值 D．有最大值－1，无最小值7．若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（1，2] B．（1，2） C． D．8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[]）的乘积等于常数．已知pH值的定义为，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据：1g2≈0.301，1g3≈0.477）（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是分层抽样B．这5名男生成绩的20%分位数是87C．这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数一定小于该班女生成绩的平均数10．5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲、然后由乙各抽一张，则下列结论正确的是（）A．甲中奖的概率 B．乙中奖的概率C．只有乙中奖的概率 D．甲、乙都中奖的概率11．下列结论正确的是（）A．当时，B．当时，的最小值是2C．当时，的最小值是5D．设，，且，则的最小值是12．符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[－1.6]=－2．定义函数：，则下列命题正确的是（）A． B．当时，C．函数的定义域为R，值域为[0，1] D．函数是增函数三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若关于x的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______________________14．已知，，若对，，使得，则实数m的取值范围是______．15．已知函数，则不等式的解集为______．16．已知函数，则的值为______．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知集合，，．（1）求（2）若，求m的取值范围；18．（本小题满分12分）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元），在年产量不小于8万件时，（万元），每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本）（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？19．（本小题满分12分）函数．（1）当时，恒成立，求实数a的取值范围；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围；（3）当时，恒成立，求实数x的取值范围．20．（本小题满分12分）为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假设每名学生的成绩均不低于50分）．（1）求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用样本估计总体，若高三年级共有2000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于80分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在[80，100]的学生恰有1人被抽到的概率．21．（本小题满分12分）某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲、乙两队进行比赛，已知甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．（1）若采用三局两胜制进行比赛（即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束），求甲队获胜的概率；（2）若采用五局三胜制进行比赛（即先胜三局者赢得比赛，同时比赛结束），求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．22．（本小题满分12分）已知函数（其中e为自然对数的底）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值，并写出的解析式；（2）判断在R上的单调性，并用定义证明；（3）若函数在上的最小值为－2，求k的值．

试题答案1～4AADD 5～8ABBC 9BC 10AD 11AB 12AB13（－3，1）17．（1）解：由题，，（2）因为，则．①当时，即当时，，合乎题意；②当时，即当时，，要使得，则，解得，此时．综上所述，实数m的取值范围是．18．解：（1）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意当时，；当时，．∴（2）当时，，此时，当时，取得最大值10；当时，，此时，当即时，取得最大值16．∵10＜16，∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是16万元．19．解：（1）当时，恒成立，需，即，∴实数a的取值范围是[－6，2]．（2）当时，设，则其对称轴为，判别式．若使，即恒成立，需或或①由，即，解得．②由即解得．③由即解得．综上，实数a的取值范围是[－7，2]．（3）令．当时，恒成立．只需即解得或．∴实数x的取值范围是．20．解：（1）由频率分布直方图可得，第4组的频