2023-2024学年上海市浦东新区高一下册期中数学质量检测模拟试题合集2套（含解析）

2023-2024学年上海市浦东新区高一下册期中数学质量检测模拟试题一、填空题1．扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___________.【正确答案】4【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．【详解】根据扇形的面积公式得，．故42．已知，且是第二象限角，则___________．【正确答案】【详解】∵是第二象限角，∴．又，∴．答案：3．在中，，，，那么的面积等于______．【正确答案】【分析】由三角形面积公式即可求【详解】由三角形面积公式得.故4．已知向量，，则与共线，则实数_________．【正确答案】【分析】根据向量平行得到，解得答案.【详解】向量，，与共线，则，解得.故5．已知，，则满足条件的__________（用反三角记号表示）【正确答案】【分析】根据反三角函数求解即可.【详解】因为，，所以.故6．已知，则在上的数量投影为__________．【正确答案】【分析】根据题意，由向量的数量投影的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，设与的夹角为，则在上的数量投影为故答案为:7．设是两个单位向量，向量，且，则的夹角为______.【正确答案】/【分析】利用向量数量积的定义和运算律求解即可.【详解】由可得，又因为是两个单位向量，所以，所以，解得，即的夹角为，故8．函数的定义域是_________【正确答案】【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域．【详解】由题意知，，即，所以的定义域为：故关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．9．已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数，都有，则的最小值为______．【正确答案】根据存在实数，，使得对任意的实数，都有，得到分别是函数的最小值和最大值，则一定是半个周期的整数倍，再求出函数的最小正周期即可.【详解】因为存在实数，，使得对任意的实数，都有，所以分别是函数的最小值和最大值，所以一定是半个周期的整数倍，又函数的最小正周期是，所以，所以的最小值为故本题主要考查三角函数的周期性的求法及应用以及最值问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.10．已知函数，且，则___．【正确答案】/【分析】利用正弦函数的的对称性可得，由此求得的值．【详解】∵函数，，（），则由正弦函数的对称性可得：，所以，故答案为.11．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为___________m．【正确答案】【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.【详解】因为，，所以，，所以，又因为，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故12．已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为_____.【正确答案】【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.【详解】由题意知满足，故是以8为周期的函数，结合，作出函数在上的图象，如图示：因为，故时，即或，则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不同的交点，由图象可知，和的图象有6个不同的交点，则和的图象需有2个不同的交点，即，故，则实数的取值范围为，故方法点睛：根据函数的周期以及解析式，可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求解.二、单选题13．下列说法正确是（

）A．角60和角600是终边相同的角B．第三象限角的集合为C．终边在轴上角的集合为D．第二象限角大于第一象限角【正确答案】C【分析】根据终终边相同角的表示，可以判断A错误，C正确；根据象限角的表示可以判断B错误；举特例可以判断D错误.【详解】，与终边不相，故A错误；第三象限角的集合为，故B错误；终边在轴上角的集合为，即，即，故C正确；是第二象限角，第一象限角，，故D错误；故选：C.14．函数的图像向左平移个单位得到下列哪个函数（

）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】根据相位平移,结合诱导公式即可求解.【详解】的图像向左平移个单位得到，故选：D15．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（

）A． B． C．1 D．【正确答案】C【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解.【详解】因为，，，所以，又，所以，则，由可得，所以，所以，故，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s．故选：C.16．已知，给出下述四个结论:①是偶函数;

②在上为减函数;③在上为增函数;④的最大值为.其中所有正确结论的编号是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④【正确答案】D【分析】利用偶函数的定义即可判断①；利用举反例即可判断②和③；分四个范围对进行化简，然后利用三角函数的性质进行求值域，即可得到时的最值，结合偶函数即可判断【详解】解：对于①，易得的定义域为，关于原点对称，因为，所以是偶函数，故正确；对于②和③，因为，，且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错误；对于④，当时，，因为，所以，所以，所以；当时，，因为，所以，所以；当时，；当时，，因为，所以，所以，所以，综上所述，当时，的最大值为，由于为偶函数，所以当时，的最大值也为，故的最大值为，故④正确；故选：D方法点睛：利用四个象限对进行讨论，根据三角函数符号去掉绝对值，然后利用三角函数的性质进行求解值域三、解答题17．已知.(1)化简；(2)已知，求的值.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系化简；（2）直接利用倍角公式求解.【详解】（1）；（2）由（1）得，，.18．已知单位向量，，与的夹角为.(1)求证；(2)若，，且，求的值.【正确答案】(1)证明见解析(2)或.【分析】(1)利用向量数量积的运算即可证明；(2)根据向量的模和数量积的计算公式即可求解.【详解】（1）因为，与的夹角为，所以，所以.（2）由得，即.因为，与的夹角为，所以，，所以，即.所以或.19．已知向量.(1)求函数的最小正周期和严格増区间，(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.【正确答案】(1)最小正周期为；严格增区间为(2)故时，取得最大值为；当时，取得最小值，最小值为.【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间.（2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.【详解】（1）已知向量，，所以.故函数的最小正周期为；由，解得：，，故函数的严格增区间为.（2）由于，得.故当，即时，取得最大值，最大值为；当，即时，取得最小值，最小值为.20．在中，角的对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；【正确答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解；【详解】（1）由正弦定理，，由可得，由余弦定理，则，则，因为，所以；（2）由为锐角三角形，，可得，由正弦定理，则，则，则的周长为，由，则，因为，整理得：，解得或（舍去），所以，则周长范围是.21．已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T.(1)判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？(2)已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围；(3)是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论.【正确答案】(1)是，理由见解析；(2)当时，，且；(3)存在，.【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答.（3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.【详解】（1）依题意，函数定义域是R，，即，成立，所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数.（2）因，是上的P级周期函数，则，即，而当时，，当时，，，当时，，则，当时，，则，……当时，，则，并且有：当时，，当时，，当时，，……，当时，，因是上的严格增函数，则有，解得，所以当时，，且.（3）假定存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数，即，恒有成立，则，恒有成立，即，恒有成立，当时，，则，，于是得，，要使恒成立，则有，当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，此时恒成立，则，即，当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，所以存在，符合题意，其中满足.思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.2023-2024学年上海市浦东新区高一下册期中数学质量检测模拟试题一、填空题1．_________【正确答案】【分析】利用诱导公式，直接计算结果.【详解】.故2．且角与终边相同，则角α等于_______度.【正确答案】【分析】任意角表示出，结合其所在的范围确定其大小即可.【详解】由题设且，又，所以时，.故3．函数的最小正周期为_______________.【正确答案】【分析】利用正切函数的周期公式即可解决问题．【详解】解：由正切函数的周期公式得：．故．本题考查正切函数的周期性，易错点在于而不是，属于基础题．4．若，则__________.【正确答案】【分析】利用诱导公式求值即可.【详解】.故5．已知角α的终边过点，则角α的余弦值为________.【正确答案】/【分析】根据终边上的点坐标，应用三角函数的定义求余弦值即可.【详解】由三角函数的定义知.故6．扇形的圆心角为，半径长为2，则此扇形的面积为________.【正确答案】/【分析】利用扇形面积公式求面积即可.【详解】由题设，圆心角，半径，扇形面积为.故7．函数的值域是________．【正确答案】【分析】将函数配凑为，根据即可求解.【详解】解：因为，又，所以，所以，所以，故答案为.8．已知，则____________________________．【正确答案】【分析】分子、分母同除以，将代入化简即可.【详解】因为，所以,故答案为.本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于基础题.同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.9．已知，则_________【正确答案】【分析】原式两边平方后，即可计算的值.【详解】因为，两边平方后，，所以.故10．设函数，若对任意，都有成立，则的最小值为______.【正确答案】2【分析】由题意可得，的最小值等于函数的半个周期，由此得到答案．【详解】由题意可得是函数的最小值，是函数的最大值，故的最小值等于函数的半个周期，为T•，故答案为．本题主要考查三角函数的周期性及最值，熟记函数的基本性质和周期，准确计算是关键，属于中档题．11．已知函数在上的最大值为2，则实数a的值为________.【正确答案】【分析】首先排除的情况，再考虑端点处函数值，最后利用辅助角公式得，根据最大值求得，再验证是否满足题设，即可得结果.【详解】由，显然时最大值不为2，当时,;当时,当时,此时最大值为，舍去；所以函数最大值不可能在端点处取得；当，由且，，此时，此时，要使函数最大值为2，则，故，当时，，，此时有最大值2；当时，，，此时最大值不为2；综上，.故12．已知函数且，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为；（2）当且仅当时，；（3）对任意，恒成立.上述命题中正确的序号是________【正确答案】（2）（3）【分析】根据解析式可得且，进而画出其一个周期内的图象，数形结合及其周期性判断各项的正误即可.【详解】由，即，所以，由，即，所以，综上，且，则在一个周期的图象如下：由图知：值域为，该周期内的区间为，故恒有，（1）错，（2）对；当，时，；当时，；当时，；综上，任意，恒成立，（3）对.故（2）（3）二、单选题13．已知点在第四象限，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【正确答案】C【分析】由点的位置可确定的符号，根据符号可确定角终边的位置.【详解】在第四象限，，位于第三象限.故选：C.14．函数是（

）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数【正确答案】B【分析】应用诱导公式化简函数式，结合余弦函数性质判断奇偶性即可.【详解】由，故该函数为偶函数.故选：B15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若则该三角形一定是（

）A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【正确答案】D【分析】利用正弦边角关系及倍角正弦公式可得，结合三角形内角性质有或，即可判断形状.【详解】由正弦边角关系知：，则，即，又，所以或，即或，所以三角形一定是等腰三角形或直角三角形.故选：D16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知、有一封闭图形ABCDEF，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC、CD、EF、FA.角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，的终边与该封闭图形ABCDEF交于点P，点P的纵坐标y关于的函数记为，则有关函数图象的说法正确的是（

）A．关于直线成轴对称，关于坐标原点成中心对称B．关于直线成轴对称，且以2π为周期C．以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心D．夹在之间，且关于点(π,0)成中心对称【正确答案】C【分析】根据题设写出在一个周期内的解析式并画出该周期的图象，数形结合判断各项的正误即可.【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；当时；当时，；综上，在一个周期内的，在一个周期内的图象如下：由图知：以2π为周期，没有对称中心和对称轴，值域为.故选：C三、解答题17．已知点是角终边上的点，，，求：（1）（2）【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）根据三角函数的定义求；（2）利用两角差的余弦公式求解.【详解】（1）角终边上一点，，；（2）由（1）可知，因为，，，.18．已知函数.(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)若关于的方程在上有解,求实数的取值范围.【正确答案】(1)，单调递增区间为.(2).【详解】试题分析：(1)整理函数的解析式可得，据此可得函数的最小正周期，单调递增区间为.(2)由题意可得，结合(1)中的函数解析式可知的值域为.而，故.试题解析：(1)，最小正周期，函数的单调递增区间满足：，解得的单调递增区间为.(2)，所以，，所以的值域为.而，所以，即.点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ）的取值范围．第三步：求出所求函数的值域(或最值)．19．对于函数且.(1)求函数的定义域D；(2)判断π是否是的周期(不需要说明理由)；并证明2π是的一个周期.【正确答案】(1)(2)π不是的周期，证明见解析【分析】（1）根据解析式及正切函数的性质求定义域；（2）只需判断、是否成立即可.【详解】（1）由解析式知：且，故的定义域.（2）由，故π不是的周期；由，故2π是的一个周期；20．如图，甲船在距离A港口24海里并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里.(1)求∠ABC的正弦值；(2)当乙船行驶20海里到达D处时，接到港口指令，