高中数学空间向量的向量积

、、、、空间向量的数量积本次课课堂教学内容要点一：空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量、，则||·||cos〈，〉叫做向量与的数量积，记作·，即·=||·||cos〈，〉．要点诠释：①由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．②两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．③两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设是非零向量，是单位向量，则①；②；③或；④；⑤3．空间向量的数量积满足如下运算律①（）·=（·）；②·=·（交换律）；③·（+）=·+·（分配律）．要点诠释：①对于三个不为的向量、、，若·=·，则=；对于三个不为的向量，若不能得出，即向量不能约分．②若·=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算．③对于三个不为0的实数，、、有（）=（），对于三个不为0的向量、、，有，向量的数量积不满足结合律．要点二：空间两个向量的夹角1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作〈，〉，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：·=||·||·cos〈，〉，那么空间两个向量、的夹角的余弦,要点诠释：1.规定：2.特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。2.利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。要点三、空间向量的长度1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地·=||·||cos0°=||2，所以向量的模：。将其推广：；。2.利用向量求线段的长度。将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用||2=2来求解。要点四、空间向量的垂直若，则称与互相垂直，并记作⊥．根据数量积的定义：⊥⇔·＝0要点诠释：⊥⇔·＝0是数形结合的纽带之一，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．学习目标1.掌握空间向量的数量积的运算法则、运算律和性质。2.能用向量的数量积计算向量的夹角、长度。3.能用向量的数量积判断向量的垂直．重点难点1.能用向量的数量积计算向量的夹角、长度。2.能用向量的数量积判断向量的垂直．【典型例题】类型一：空间向量的数量积例1．已知向量，向量与的夹角都是，且，试求：（1）；（2）．举一反三：【变式1】已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·=_____.例2、如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．（1）；（2）；（3）；（4）．举一反三：【变式】已知在长方体中，，AD=4，E为侧面的中心，F为的中点．求下列向量的数量积：（1）；（2）．类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角．例3．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角.举一反三：【变式1】如图所示，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求异面直线OA与BC所成角的余弦值。【变式2】如图，在棱长为1的正方体中，M、N分别是和的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（）A.B.C.D.类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。例4、已知，，，求的值。举一反三：【变式】已知向量、、两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则等于（）A．B．5C．6D．例5、在直二面角的棱上有两点A、B，AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的长。举一反三：【变式1】已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，求线段PC的长。【变式2】已知在平行六面体中，AB=4，AD=3，AA＇=5，∠BAD=90°，∠BAA＇=∠DAA＇=60°，则AC＇等于（）A．85B．C．D．50类型四：利用空间向量的数量积证垂直．例6．已知空间四边形中，，，求证：．举一反三：【变式1】已知在四棱锥中，底面为正方形,平面，且，点分别是的中点.求证：；【变式2】如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点。（1）求证：MN为AB和CD的公垂线；（2）求MN的长；（3）求异面直线AN与MC所成角的余弦值。本次课课后练习一、选择题：1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c2．已知向量a、b是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|=()A. B.C. D．44．若A，B，当取最小值时，的值等于（）A．B．C．D．5．已知向量，满足且则与的夹角为（） A．B．C．D．6．若平面向量与向量平行，且，则()A．B．C．D．或7．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（）．A．6B．C．3D．二、填空题：8．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝__________.9．已知a，b是空间两个向量，若|a|=2，|b|=2，，则cos〈a，b〉=________．10．已知线段AB的长度为，与直线的正方向的夹角为120°，则在上的射影的长度为______。11．已知，，，，，，则________。三、解答题12．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F，G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：（1）；（2）；（3）；（4）。13．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求〈a，b〉．14．平面向量，若存在不同时为的实数和，使且，试求函数关系式。15．如图，在四棱锥P-AB