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文档简介
安徽省淮南市第九中学2022年高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列的前项和为,且满足S3≤6,S4≥8,S5≤20,当a4取得最大值时,数列的公差为(
)A1
B
4
C
2
D
3参考答案:2.若向量,,,则实数的值为A.
B.
C.2
D.6参考答案:A试题分析:,,得,故答案为A.考点:平面向量平行的应用.3.已知全集U=R,A={x|lgx≥0},B={x|x<},则A∩(CUB)=
A.
B.{1}
C.{0,1}
D.[0,1]参考答案:B略4.若,则“=3”是“2=9”的()条件A.充分而不必要
B.必要而不充分
C.充要
D.既不充分又不必要参考答案:A5.若长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点都在体积为288π的球O的球面上,则长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积的最大值等于(
)A.576
B.288
C.144
D.72参考答案:B6.已知,,满足约束条件,若的最小值为1,则()A.
B.
C.
D.参考答案:【知识点】简单的线性规划。E5【答案解析】B
解析:由已知约束条件,作出可行域如图中△ABC内部及边界部分,由目标函数的几何意义为直线l:在轴上的截距,知当直线l过可行域内的点时,目标函数的最小值为1,则。故选B.【思路点拨】根据线性约束条件画出可行域,再利用目标函数所表示的几何意义求出a的值。7.在四面体ABCD中,二面角A﹣BC﹣D为60°,点P为直线BC上一动点,记直线PA与平面BCD所成的角为θ,则()A.θ的最大值为60° B.θ的最小值为60°C.θ的最大值为30° D.θ的最小值为30°参考答案:A【考点】MI:直线与平面所成的角;MT:二面角的平面角及求法.【分析】作出二面角和线面角,根据利用三角函数的定义表示出AO即可得出θ和60°的大小关系.【解答】解:过A作AM⊥BC,AO⊥平面BCD,垂足为O,连结OM,则∠AMO为二面角A﹣BC﹣D的平面角,∴∠AMO=60°,在直线BC上任取一点P,连结OP,AP,则∠APO为直线AP与平面BCD所成的角,即∠APO=θ,∵AP≥AM,AM?sin60°=AO,AP?sinθ=AO,∴sinθ≤sin60°,即θ的最大值为60°.故选A.8.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为
A.
B.
C.
D.参考答案:A由三视图可知该三棱锥的侧棱和底面垂直,三棱锥的高为1,底面直角三角形的两直角边分别为2,1,所以三棱锥的体积为,选A.9.已知函数的值为
(
)
A.10
B.C.D.20参考答案:C10.已知定义在上的函数满足:①;②对所有,,且,有.若对所有,,,则的最小值为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量,的夹角为,||=,||=2,则?(﹣2)=.参考答案:6【考点】平面向量数量积的运算.【专题】对应思想;综合法;平面向量及应用.【分析】求出2和,将?(﹣2)展开得出答案.【解答】解:==﹣2,2=||2=2,∴?(﹣2)=2﹣2=2+2×2=6.故答案为:6.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,属于基础题.12.下列命题:①若是定义在[—1,1]上的偶函数,且在[—1,0]上是增函数,,则
②若锐角满足
③若则对恒成立。
④要得到函数的图象,只需将的图象向右平移个单位。
其中是真命题的有
(填正确命题番号)。参考答案:13.设z=2x+y,其中x,y满足,若z的最大值为6,则z的最小值为_____.参考答案:-214.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了1万人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这1万人中用分层抽样方法抽100人作进一步调查,则在(元)月收入段应抽出
人.参考答案:25
15.如图所示,三个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上,边上有10个不同的点,记(),则
.参考答案:180【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.【试题分析】延长,则,又,所以,即,则,则,故答案为180.16.已知函数在区间上恰有一个极值点,则实数的取值范围
是
;参考答案:[–1,7)17.命题“”的否定是_______。参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(20分)知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,椭圆C过点且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点.(1)求椭圆C方程;(2)直线l过椭圆C的右焦点F2且斜率为1与椭圆C交于A,B两点,求弦AB的长;(3)以第(2)题中的AB为边作一个等边三角形ABP,求点P的坐标.参考答案:考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.分析: (1)由题意得c=2,,由此能求出椭圆方程.(2)直线l的方程为y=x﹣2,联立方程组,得2x2﹣6x+3=0,由此利用韦达定理能求出|AB|.(3)设AB的中点为M(x0,y0),由题意得,,线段AB的中垂线l1:y=﹣x+1,由此能求出点P的坐标.解答: 解:(1)由题意得F1(﹣2,0),c=2…(2分)又,得a4﹣8a2+12=0,解得a2=6或a2=2(舍去),…(2分)则b2=2,…(1分)故椭圆方程为.…(1分)(2)直线l的方程为y=x﹣2.…(1分)联立方程组,消去y并整理得2x2﹣6x+3=0.…(3分)设A(x1,y1),B(x2,y2).故x1+x2=3,.…(1分)则|AB|=|x1﹣x2|==.…(2分)(3)设AB的中点为M(x0,y0).∵x1+x2=3=2x0,∴,…(1分)∵y0=x0﹣2,∴.…(1分)线段AB的中垂线l1斜率为﹣1,所以l1:y=﹣x+1设P(t,1﹣t)…(1分)所以.…(1分)当△ABP为正三角形时,|MP|=|AB|,得,解得t=0或3.…(2分)即P(0,1),或P(3,﹣2).…(1分)点评: 本题考查椭圆C方程的求法,考查弦AB的长的求法,考查点P的坐标的求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.19.已知数列{an}的递推公式为(1)令bn=an﹣n,求证:数列{bn}为等比数列;(2)求数列{an}的前n项和.参考答案:考点:数列递推式;等比关系的确定;数列的求和.专题:等差数列与等比数列.分析:(1)利用数列递推式,可得,利用等比数列的定义,可得结论;(2)确定数列的通项,利用分组求和,可求数列{an}的前n项和.解答:(1)证明:由题意,bn=an﹣n=3an﹣1﹣2n+3﹣n=3an﹣1﹣3n+3=3(an﹣1﹣(n﹣1))=3bn﹣1,n≥2又b1=a1﹣1=1,所以bn≠0(n∈N*),所以,数列{bn}是以1为首项3为公比的等比数列.(6分)(2)解:由(1)知,,an=bn+n(8分)所以数列{an}的前n项和Sn=(b1+b2+…+bn)+(1+2+…+n)=(14分)点评:本题考查数列递推式,考查等比数列的判定与通项,考查分组求和,考查学生的计算能力,确定数列的通项是关键.20.正三棱柱中,点是的中点,.(1)求证:平面;(2)求证:平面.参考答案:略21.(本小题满分10分)已知直线的参数方程为(为参数),曲线C的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴正方向建立直角坐标系,点,直线与曲线C交于、两点.(Ⅰ)写出直线的极坐标方程与曲线C的普通方程;(Ⅱ)线段,长度分别记为,,求的值.参考答案:(Ⅰ)直线的极坐标方程,(3分)曲线普通方程(5分)(II)将代入得,(8分)(10分)22.某中学有初中学生1800人,高中学生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们课外阅读时间,然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组,再将每组学生的阅读时间(单位:小时)分为5组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],并分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)写出a的值;(Ⅱ)试估计该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数;(Ⅲ)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人,求至少抽到1名高中生的概率.参考答案:【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;B8:频率分布直方图.【分析】(Ⅰ)由频率分布直方图中小矩形面积之和为1,能求出a的值.(Ⅱ)由分层抽样,知抽取的初中生有60名,高中生有40名,从而求出所有的初中生中,阅读时间不小于30个小时的学生约有450人,高中生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数约有420人.由此能求出该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数约有多少人.(Ⅲ)记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人,至少抽到1名高中生”为事件A,利用列举法能求出至少抽到1名高中生的概率.【解答】解:(Ⅰ)由频率分布直方图得(0.005+0.020+a+0.040)×10=1,∴a=0.03.…(3分)(Ⅱ)由分层抽样,知抽取的初中生有60名,高中生有40名.…(4分)∵初中生中,阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.02+0.005)×10=0.25,∴所有的初中生中,阅读时间不小于30个小时的学生约有0.25×1800=450人,…(6分)同理,高中生中,阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.03+0.005)×10=0.35,学生人数约有0.35×1200=420人.∴该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人.…(8分)(Ⅲ)记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人,至少抽到1名高中生”为事件A,…(9分)初中生中,阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05,样本人数为0.05×60=3人.高中生中,阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05,样本人数为0.05×40=2人.…(10分)记这3名初中生为A1,A2,A3,这2名高中生为B1,B2,则从阅读时间不足1
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