理论力学之刚体力学例题

一大型回转类“观览圆盘〞如下图。圆盘的半径R=25m，供人乘坐的吊箱高度L=2m。假设大圆盘绕水平轴均速转动，转速为0.1r/min。例1解求吊箱底部A点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。吊箱平动

例题2设发动机飞轮的角速度在12s内由1200r/min均匀地增加到3000r/min，试求：(1)飞轮的角加速度；(2)在这段时间内发动机飞轮转过的圈数。解：此题中的飞轮作匀加速定轴转动(2)计算12s内飞轮的角位移飞轮在这一段时间内转过的圈数为

例题3中子星(又称脉冲星)是恒星衰亡时坍缩而成的一种密度很大()、半径很小的星体。中子星在形成时，获得了很大的自转角速度。设中子星的自转是匀角速转动的，转一圈的时间为。中子星的半径为8km，试求中子星的自转角速度，中子星赤道上一点的速度和法向加速度。

解：中子星的自转角速度为

赤道上一点的速度大小和法向加速度分别为

上述中子星的和与地球外表处的第二宇宙速度和重力加速度的关系为由此可见，中子星赤道处的速度和法向加速度都非常大。要使星体外表的物质不被离散掉，在中子星体外表附近必然有很强的引力场。xL

OMy例4棒长L,质量M，在摩擦系数为的桌面转动(如图)解根据力矩xdxTT'例如TT'在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算•求摩擦力对y轴的力矩(1)飞轮的角加速度(2)如以重量P=98N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速解(1)(2)两者区别例5求一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦不计，(见图)一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴

O

在竖直平面内转动，初始时它在水平位置求它由此下摆

角时的

Olm

Cx解取一质元重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩dm例6圆盘以

0

在桌面上转动,受摩擦力而静止解例7求到圆盘静止所需时间取一质元由转动定律摩擦力矩

R例8一个刚体系统，如下图，，转动惯量，现有一水平力作用于距轴为

l'

处求轴对棒的作用力〔也称轴反力〕。解设轴对棒的作用力为N由质心运动定理打击中心质心运动定理与转动定律联用质点系由转动定律解：取线元dx，质量元为O’Lxdx杆一端O’杆中心O例题9一个长为L、质量为M的均质细杆。试求该杆对通过中心并与杆垂直的轴的转动惯量。h例题10试求质量均匀分布的圆柱体对其对称轴z轴的转动惯量。该圆柱体的质量为M，高度为h，半径为R。解：取半径为r宽为dr的薄圆壳，其质量为例题11一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1<m2。设滑轮的质量为m，半径为r，滑轮所受的摩擦阻力矩为Mr，绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。例题3-5阿特伍德机β解：因m1<m2，设物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转。按牛顿运动定律和转动定律可列出以下方程：滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即令m=0、Mr=0时，可解得

该题中的装置叫阿特伍德〔Atwood〕机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。在实验中可使两物体的质量相近，从而使它们的加速度a和都较小，这样就能较精确地测出a来。例题12一个飞轮的质量m=60kg，半径R=0.25m，正在以ω0=1000r·min-1的转速转动。现在要制动飞轮，要求在t=5.0s内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力N为多大?假定闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为μk=0.8，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的外周上

。解：飞轮在制动的角加速度β摩擦力对轮的转轴的力矩为解得例题13一测量刚体的转动惯量。待测的物体装在转动架上，细线的一端绕在半径为R的轮轴上，另一端通过定滑轮悬挂质量为m的物体，细线与转轴垂直。从实验测得m自静止下落高度h的时间为t，求待测刚体对转轴的转动惯量。忽略各轴承的摩擦，忽略滑轮和细线的质量，细线不可伸长，预先测定转动架对转轴的转动惯量为J0。解：隔离物体m，设线中的张力为T，物体m的加速度为a，由牛顿第二定律由绕定轴转动的转动定律解得从数据J0、R、h、t即可算出待测的转动惯量J来。例14一根长为

l，质量为

m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置解由动能定理求它由此下摆

角时的

此题也可用机械能守恒定律方便求解Olm

Cx图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上，转轴Z上装一半径为r

的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为

m的重物。重物下落时，由绳带动被测物体

A绕Z轴转动。今测得重物由静止下落一段距离

h，所用时间为t，例15解分析〔机械能〕：求物体A对Z

轴的转动惯量Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。假设滑轮质量不可忽略，怎样？机械能守恒例题16一根质量为m、长为l的均匀细棒OA，可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动。今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时重力所做的功。解：在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支承力N通过O点，所以支承力N的力矩等于零，重力G的力矩那么是变力矩，大小等于mgcosθ。当棒转过一个极小的角位移dθ时，重力矩所做的元功是重力矩所做的总功为重力矩做的功也就是重力做的功。例题17有一个半径为r的匀质圆柱体，从其质心距地面高为h的滑道上由静止滚动而下，进入半径为R的圆环形滑道。设圆柱体在两段滑道上均作纯滚动。问此圆柱体能在圆环形滑道内完成圆周运动时，h至少需有多大的值?例题3-9解：设圆柱体滚到圆环形滑道的顶点P处时，圆柱体质心的速率为，它绕圆柱体质心的角速度为ω，并设圆柱体质量为m。

取圆柱体、弯形和圆形滑道以及地球为一个系统，在圆柱体下滑过程中机械能守恒，应有

由于圆柱体在圆环形滑道顶点时的质心运动方程为圆柱体能完成圆周运动的条件应当是F≥0，即例题18一个长为l、质量为m的均质细杆AB，用摩擦可忽略的柱铰链悬挂于A处。如欲使静止的杆AB自铅垂位置恰好能转至水平位置，求必须给杆的最小初角速度。解：取杆AB为研究对象，作用于杆的力有铰链处的支承力(不做功)和重力。设必须给杆的最小初角速度为ω0，那么杆具有的初动能为当杆到达水平位置时，动能应为零杆重力矩所做的功为当飞船静止于空间距行星中心4R

时，以速度v

0发射一

求

θ角及着陆滑行的初速度多大？解引力场〔有心力〕质点的动量矩守恒系统的机械能守恒例19

发射一宇宙飞船去考察一质量为M

、半径为R的行星，质量为m的仪器。要使该仪器恰好掠过行星外表解：由于从子弹进入棒到二者开始一起运动所经过的时间极短，在这一过程中棒的位置根本不变，即仍然保持竖直。因此。对于木棒和子弹系统，在子弹冲入过程中，系统所受的外力(重力和轴的支持力)对于轴O的力矩都是零。这样，系统对轴O的角动量守恒。由角动量守恒可得例题20一根长l，质量为M的均匀直棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。今有一个子弹，质量为m，以水平速度射入棒的下端而不复出。求棒和子弹开始一起运动时的角速度。一长为l的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度v0垂直落到距点Ol/4处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如下图。假设要使杆以匀角速度转动Or

昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零，动量矩守恒例21解求

昆虫沿杆爬行的速度。使杆以匀角速度转动代入得转动定律其中例题22半径为R，质量为4m，且均匀分布的转盘可绕铅垂轴无摩擦地转动，盘上站有质量各为m的四个人，两人站在盘的边缘，两人站在离转轴R/2处，整个系统起始时以角速度ω0转动。此后，人相对于盘作圆周运动，站在边缘上的两人相对于圆盘的速度为u，站在离轴R/2处的两人相对于圆盘的速度为2u。试求：(1)人走动后，转盘的角